《矩阵与数值分析》课程数值实验报告文档格式.docx

1、4.输出最后的求解结果。1.3程序代码本程序是用C+语言在Microsoft visual C+编译环境下编译和运行的。由于代码太长，程序代码见附录11.4 计算结果：1）Gauss消去法求解结果：1. 当矩阵阶数n=10，即附录1程序代码中的N设为10时，运行程序得到如下结果：消去之前的a和b： 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 | 7 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 | 15 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 | 15 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 | 15 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 | 15 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 | 15 0

2、 0 0 0 0 8 6 1 0 0 | 15 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 | 15 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 | 15 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 | 14请选择消元方法：1 （由键盘输入数字1，并回车）第1次消元结果: 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 | 7 0 4.6667 1 0 0 0 0 0 0 0 | 5.6667第9次消元结果: 0 4.6667 1 0 0 0 0 0 0 0 |5.6667 0 0 4.2857 1 0 0 0 0 0 0 |5.2857 0 0 0 4.1333 1 0 0 0 0 0 |5.1333 0 0

3、0 0 4.0645 1 0 0 0 0 |5.0645 0 0 0 0 0 4.0317 1 0 0 0 |5.0317 0 0 0 0 0 0 4.0157 1 0 0 |5.0157 0 0 0 0 0 0 0 4.0078 1 0 |5.0078 0 0 0 0 0 0 0 0 4.0039 1 |5.0039 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.002 | 4.002求解结果:X10=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2.当矩阵阶数n=84，即程序代码中的N为84时，将附录1程序中N的值改为84，运行程序得到如下结果：（由于此时矩阵太大，消元过程和1类似，所以省略写出。）X

4、84=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.999998 1 0.999992 1.00002 0.999969 1.00006 0.999878 1.00024 0.999512 1.00098 0.998047 1.00391 0.992188 1.01562 0.968752 1.0625 0.875008 1.24998 0.500031 1.99994 -0.999878 4.99976 -6.99951 16.999 -30.998 64.9961 -126.992 256.984

5、 -510.969 1024.94 -2046.87 4096.74 -8190.47 16383.9 -32764.5 65531 -131055 262097 -524127 1.048e+006 -2.09498e+006 4.18586e+006 -8.35533e+006 1.66451e+007 -3.30281e+007 6.50077e+007 -1.25821e+008 2.34867e+008 -4.02629e+008 5.36838e+008 2）Gauss列主元消去法求解结果：消去之前的A和b：2 （由键盘输入数字2，并回车） 0 -3.5 -0.75 0 0 0 0

6、 0 0 0 | -4.25 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 | 15 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 | 15 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 | 15 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 | 15 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 | 15 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 | 15 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 | 15 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 | 15 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 | 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.015617 |-0.015617求解结果：X84=1 1 1 1 1 1 1

7、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.999999 1 0.999997 1.5结果分析：1.当n=10时，用Gauss消去法和Gauss列主元消去法得到的值解和精确解全吻合，此时无论Gauss消法法还是列主元消去法求解，可以得到理想结果。2.当n=84，即矩阵阶数过大时，可以看出此时用Gauss消元法得到的数值解结果与精确解结果相去

8、甚远，误差很大。这就是因为当矩阵太大时，在消元过程中出现了小数做除数的情形，在计算过程中的舍入误差使解的面目全非了。而用Gauss列主元消元法得到的数值解与精确解仍然可以很好的吻合，所以比较Gauss消去法与Gauss列主元消去法求解方程组可知，后者能有效避免消元过程中的小主元做除数，从而使求解精度更高。附录1：#includeiomanipusing namespace std;#define N 10 /N表示矩阵大小void Set_value（double aN,double *b）;void Gauss_Array（double （*a）N,double *b,double* X）;

9、 /Gauss消元求解函数void Select_main（double aN,double *b,int i）;void Selectmain_Array（double （*a）N,double *b,double* X）; /Gauss列主元消去法void display（double aN,double *b）; /输出当前（A | b）的函数int main（） double ANN,bN; Set_value（A,b）; /初始化系数矩阵A和右端向量b double XN; /向量X用于存求解结果 int choice; coutchoice; switch（choice） case

10、 1: Gauss_Array（A,b,X）;break; case 2: Selectmain_Array（A,b,X）; default:cout输入有误！;exit（0）; XN= for（int i=0;iN;i+） coutXi return 0;void Set_value（double aN,double *b） for（int j=0;jj+） aij=0; if（j=i-1） aij=8; if（j=i） aij=6; if（j=i+1） aij=1; bi=15; if（i=0） bi=7; if（i=N-1） bi=14; display（a,b）;void Gauss_

11、Array（double （*a）N,double *b,double* X）N-1; for（int I=i+1;II+） /每次消元过程 if（aii=0） /如果对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序 cout矩阵奇异！ exit（0）; double L=aIi/aii; for（int j=i; aIj=aIj-L*aij; bI=bI-L*bi;第i+1=0;k-） /倒序求解方程 if（akk=0） /如果消元后对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序 coutk;m-） sum+=akm*Xm; Xk=（bk-sum）/akk;void Select_main（d

12、ouble aN,double *b,int j） int maxi=j; double max=ajj; for（int i=j;i+） /查找列主元 if（fabs（aij）fabs（max） max=aij; maxi=i; if（maxi!=j） /将列主元所在行放至列首 double Temp=bj; bj=bmaxi; bmaxi=Temp; for（int m=j;mm+） double temp=ajm; ajm=amaxim; amaxim=temp;void Selectmain_Array（double （*a）N,double *b,double* X） Select_

13、main（a,b,i）; exit（0）;次消元: /输出每次消元结果 if（akk=0） /如果消元后对角线元素出现为0的情况，则矩阵奇异，退出程序 double sum=0;void display（double （*a）N,double *b） /输出系数矩阵A和b for（int j=0;setw（6）setprecision（5）aij/控制输出的数据宽度和精度|bi二、用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组2.1. 问题（a） 选取不同的初始向量和不同的右端向量，给定迭代误差要求，用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法计算，观测得出的迭代向量序列是否收敛。

14、若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。（b） 选定初始向量，如取将的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次用Jacobi法计算，要求迭代误差满足，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。2.2.算法描述1）算法基本思路1Jacobi迭代法基本思路：，设A=（aij）nxn是可逆矩阵，对其移移项和变形后可得如下迭代格式：然后，取定一个初始向量如x（0）=（0,0,0）T，带入上式开始迭代，然后如果达到迭代精度则停止迭代，即得到方程的数值解。2. Guass-Seidel迭代法基本思路：Guass-Seidel迭代法是对Jacobi迭代法（1）做出如下改进：其余同Jacobi

15、迭代法。2） 算法实现步骤：1.用题目中已知的系数矩阵初始化矩阵A，并输入不同的右端向量b和不同的初始向量x（0）；2.选择迭代方式：1.Jacobi迭代法 2.GaussSeidel迭代法；当选择1时，按照迭代格式（1）开始迭代，并给定迭代误差，同时在每次迭代结束后输出此时的迭代结果，以便观测和检查；当选择2时，按照迭代格式（2）开始迭代，并给定迭代误差，同时在每次迭代结束后输出此时的迭代结果，以便观测和检查；3.如果达到给定迭代误差则迭代停止，得到方程数值解，并输出。2.3. 程序代码本程序是用C+语言在Microsoft visual C+编译环境下编译和运行的，由于代码太长，程序代码见

16、附录22.4计算结果a）对问题a的求解结果如下：1.当输入的右端向量b=1, 1, 1 ,1, 1, 1 ,1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1, 1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1T；初始向量x（0）= 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 0 T时，用Jacobi迭代法求解，得到如下结果：请选择迭代方式：1.Jacobi迭代法 2.GaussSeidel迭代法第1次迭代结果:X1=0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.

17、333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 0.333333 第15次迭代结果:X15=0.481632 0.573409 0.632792 0.65209 0.660932 0.664294 0.665702 0.66626 0.666483 0.66656 0.66656 0.666483 0.66626 0.665702 0.664294 0.660932 0.65209 0.632792 0.573409 0.48163

18、2 第16次迭代结果:X16=0.481634 0.573412 0.632797 0.652096 0.660939 0.664302 0.66571 0.666269 0.666492 0.666569 0.666569 0.666492 0.666269 0.66571 0.664302 0.660939 0.652096 0.632797 0.573412 0.481634 迭代精度达到要求，迭代停止！迭代结果为X162.同样输入右端向量b=1, 1, 1 ,1, 1, 1 ,1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1, 1, 1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1T；初始向量x（0）= 0 ,

19、0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0, 0, 0 T时，用G-S迭代法求解，得到如下结果：X1=0.333333 0.388889 0.425926 0.436728 0.441615 0.44333 0.444023 0.444281 0.444382 0.44442 0.444435 0.444441 0.444443 0.444444 0.444444 0.444444 0.444444 0.444444 0.444444 0.444444 第10次迭代结果:X10= 0.481629 0.573406 0.632791 0.

20、652091 0.660934 0.664298 0.665708 0.666268 0.666492 0.666571 0.666573 0.666497 0.666274 0.665716 0.664308 0.660944 0.652101 0.632801 0.573415 0.481636 第11次迭代结果:X11= 0.481634 0.573412 0.632798 0.652098 0.660941 0.664305 0.665715 0.666274 0.666498 0.666576 0.666576 0.666499 0.666276 0.665718 0.664308

21、0.660945 0.652101 0.632801 0.573415 0.481636 迭代结果为X11b）对问题b）的求解结果如下：选取初始向量和右端向量分别为，将的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角元素不变，每次选用Jacobi迭代法计算，要求迭代误差满足，将程序中表示倍数的M取1时，迭代次数为23次，能达到迭代误差精度要求；当M取2时，迭代次数为13次，能达到迭代误差精度要求；当M取3时，迭代次数为10次，能达到迭代误差精度要求；当M取4时，迭代次数为9次，能达到迭代误差精度要求；当M取5时，迭代次数为8次，能达到迭代误差精度要求；当M取7时，迭代次数为8次，能达到迭代误差精度要求；当M取8时，迭代次数为7次，能达到