高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题11空间向量在立体几何中的应用练习理03132105Word文档格式.docx
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∵二面角A-PB-D的余弦值为,
∴|cos<
n1,n2>
|=,
即=,∴t=2,
∴P（0,-,2）.
设EC与平面PAB所成的角为θ,
∵=（-1,0,-）,n2=（,1,1）,
∴sinθ=|cos<
n2>
|==.
利用“向量法”求解空间角时,要注意基向量的选择或坐标系的正确建立等.求线面角时,先求出平面的法向量,再求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角,最后得出线面角.求二面角时,先求出二面角中两个平面的法向量,再求出法向量的夹角,最后求出二面角.
如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
A1B∥平面ADC1.
（2）求直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值.
解析▶
（1）如图,以,,为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,
则A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,A1（0,0,4）,D（1,1,0）,B1（2,0,4）,C1（0,2,4）,
∴=（2,0,-4）,=（1,1,0）,=（0,2,4）.
设平面ADC1的法向量为m=（x,y,z）,
则即
取z=1,得y=-2,x=2,
∴平面ADC1的一个法向量为m=（2,-2,1）.
由此可得,·
m=2×
2+0×
（-2）+（-4）×
1=0.
又∵A1B⊄平面ADC1,
∴A1B∥平面ADC1.
（2）=（-2,2,0）,设直线B1C1与平面ADC1所成角为θ,则sinθ=|cos<
m>
又∵θ为锐角,
∴直线B1C1与平面ADC1所成角的余弦值为.
能力2
▶ 利用空间向量法解决翻折问题
【例2】 已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
AC=2,D,E分别为AC,AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A1-BCDE.
平面A1DC⊥平面A1BC.
（2）当三棱锥C-A1BE的体积取最大值时,求平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角的余弦值.
解析▶
（1）∵在等腰三角形ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,∴DE∥BC,
又∵∠ACB=90°
∴DE⊥AC.
∴DE⊥A1D,DE⊥CD.
∵A1D⊂平面A1DC,CD⊂平面A1DC,A1D∩CD=D,
∴DE⊥平面A1DC,
∴BC⊥平面A1DC,又BC⊂平面A1BC,
∴平面A1DC⊥平面A1BC.
（2）由等体积法知=,
在平面A1CD内作A1H⊥CD于点H,因为ED⊥平面A1CD,所以ED⊥A1H,则A1H⊥底面BCDE,即A1H就是四棱锥A1-BCDE的高.
由A1H≤A1D知,当点H和点D重合时,三棱锥C-A1BE的体积取到最大值.
以D点为坐标原点,、、的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示,所以A1（0,0,1）,B（1,2,0）,E（0,1,0）,=（1,2,-1）,=（0,1,-1）,
设平面A1BE的法向量为n=（x,y,z）,
可取n=（-1,1,1）,易知平面A1CD的一个法向量为m=（0,1,0）.
则cos<
n,m>
=,
故平面A1CD与平面A1BE所成锐二面角的余弦值为.
利用向量求解翻折问题中的最值问题时,可以引进参数进行求解.求解探索性问题时,可用待定系数法求解.
如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,沿EF将矩形ADFE折起使得二面角A-EF-C的大小为90°
（如图2）,点G是CD的中点.
（1）若M为棱AD上一点,且=4,求证:
DE⊥平面MFC.
（2）求二面角E-FG-B的余弦值.
解析▶
（1）若M为棱AD上一点,且=4,则AD=4DM=4,即DM=1,
∵二面角A-EF-C的大小为90°
∴建立以F为坐标原点,FD,FC,FE所在的直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,如图,
∵AD=4,AE=BE=2,DM=1,
∴D（2,0,0）,F（0,0,0）,M（2,0,1）,C（0,2,0）,
A（2,0,4）,E（0,0,4）,B（0,2,4）,
则=（-2,0,4）,=（2,0,1）,=（0,2,0）,
故·
=（-2）×
2+4×
1=-4+4=0,·
=0,
则⊥,⊥,
即DE⊥FM,DE⊥FC,
∵FM∩FC=F,∴DE⊥平面MFC.
（2）∵点G是CD的中点,∴G（1,1,0）,且CD⊥FG,
则CD⊥平面EFG,则=（2,-2,0）是平面EFG的一个法向量,
设平面BFG的法向量为n=（x,y,z）,则=（0,2,4）,=（1,1,0）,
∴即
令z=1,则y=-2,x=2,即n=（2,-2,1）,
n>
===,
即二面角E-FG-B的余弦值是.
能力3
▶ 利用空间向量法解决探索性问题
【例3】
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB=EA=ED,EF∥BD.
（1）证明:
AE⊥CD.
（2）在棱ED上是否存在点M,使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为?
若存在,确定点M的位置;
若不存在,请说明理由.
解析▶
（1）∵四边形ABCD是正方形,∴CD⊥AD.
又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面AED.
∵AE⊂平面AED,
∴AE⊥CD.
（2）取AD的中点O,过点O作ON∥AB交BC于点N,连接EO.
∵EA=ED,∴OE⊥AD.
又∵平面AED⊥平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,OE⊂平面AED,
∴OE⊥平面ABCD.
以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设正方形ABCD的边长为2,=λ（0≤λ≤1）,
则A（1,0,0）,B（1,2,0）,D（-1,0,0）,E（0,0,1）,M（-λ,0,1-λ）,
∴=（-λ-1,0,1-λ）,=（1,0,1）,=（2,2,0）.
设平面EFBD的法向量为n=（x,y,z）,
令x=1,得n=（1,-1,-1）.
∴cos<
==.
由题意得||=,解得λ=0,
∴当点M与点E重合时,直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为.
求解此类问题的难点在于涉及的点具有运动性和不确定性,可用空间向量通过待定系数法求解存在性问题和探索性问题.这样思路简单,解法固定,操作方便.
如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长是,D是线段AC上一点,二面角A1-BD-A的大小为,则在线段AA1上是否存在一点E,使得平面B1C1E⊥平面A1BD?
若存在,求出AE的长;
若不存在,说明理由.
解析▶ 作CO垂直AB于点O,所以CO⊥平面ABB1A,所以在正三棱柱ABC-A1B1C1中,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为AB=2,AA1=,所以B（-1,0,0）,A（1,0,0）,C（0,0,）,A1（1,,0）,=（0,,0）,=（2,,0）,=（-1,0,）.
设D（a,0,b）,则=（a+1,0,b）,=（a-1,0,b）.
设平面A1BD的法向量为n=（x,y,z）,
令y=2,得x=-3,z=,
所以n=.
由题意知=（0,,0）是平面ABD的一个法向量,故cos=. ①
因为∥,设=λ,
所以 ②
由①②得a=,b=,
则D,n=（-3,2,3）.
设E（1,t,0）（0≤t≤）,又C1（0,,）,B1（-1,,0）,则=（-1,-t,）,=（-1,0,-）.
设平面B1C1E的法向量为n1=（x1,y1,z1）,
则
即
当t=时,平面B1C1E的一个法向量为n1=（0,1,0）,此时n1·
n≠0.
当t≠时,令z1=-,得n1=,由n1·
n=0,解得t=,
故在线段AA1上存在一点E,当AE=时,平面B1C1E⊥平面A1BD.
一、选择题
1.若向量a=（1,λ,2）,b=（2,-1,2）,a,b夹角的余弦值为,则λ=（ ）.
A.2B.-2
C.-2或D.2或-
解析▶ 由已知有cos<
a,b>
解得λ=-2或λ=.
故选C.
答案▶ C
2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）.
A.B.
C.D.-
解析▶ 如图,建立空间直角坐标系D-xyz,
由题意知A（1,0,0）,M,C（0,1,0）,N,
则=,=.
设直线AM与CN所成的角为θ,
则cosθ=|cos<
>
|=.
故选A.
答案▶ A
3.在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成角的大小是（ ）.
A.B.C.D.
解析▶ 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.
设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A（a,0,0）,B（0,a,0）,C（-a,0,0）,P,=（2a,0,0）,=,=（-a,-a,0）.
设平面PAC的法向量为n=（x,y,z）,
令z=1,则n=（0,1,1）,cos<
=-.
设直线BC与平面PAC所成的角为θ,则sinθ=|cos<
∴直线BC与平面PAC所成角的大小为.
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=AA1,P、Q分别是棱CD、CC1上的动点,当BQ+QD1的长度取得最小值时,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范围为（ ）.
C.D.
解析▶ 分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设A1A=1,Q（0,,z）,将面BB1C1C展开到后侧面,连接BD1,
可得当Q为C1C的中点时,BQ+QD1的长度最小,故Q.
设P（0,y,1）（0≤y≤）,当y=时,可得二面角B1-PQ-D1的大小为90°
此时余弦值为0.
当0<
y<
时,可分别求出平面B1PQ和平面PQD1的一个法向量为n1=和n2=（1,0,0）,
所以cos<
可得0<
cos<
=≤.
综上所述,二面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范围是.
故选B.
答案▶ B
5.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）.
解析▶ 以D点为坐标原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则=（0,2,4）,=（-2,0,4）,=（0,0,4）.
设截面AB1D1的法向量为n=（x,y,z）,
由得取z=1,则n=（2,-2,1）.
故点A1到截面AB1D1的距离d==.
6.已知在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,E,F分别是PB,PC的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）.
解析▶ 设点P在底面ABCD的射影为点O,由题意可得PO=,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A（1,-1,0）,B（1,1,0）,E,F,=,=.
设所成的角为θ,则cosθ==.
二、填空题
7.如图,在直三棱柱ABC-A'
B'
C'
中,AC=BC=AA'
∠ACB=90°
E为BB'
的中点,则异面直线CE与AC'
所成角的余弦值为 .
解析▶ 如图,建立空间直角坐标系.设AC=1,则C（0,0,0）,E,A（1,0,0）,C'
（0,0,1）,=,=（-1,0,1）,
即异面直线CE与AC'
所成角的余弦值为.
8.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上,EF∥AC,EF交BD于点H,OH=1,将△DEF沿EF折到△D'
EF的位置,D'
H⊥平面ABCD.则二面角B-D'
A-C的正弦值为 .
解析▶ 以H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=5,AC=6,∴BO=4,
∴B（5,0,0）,C（1,3,0）,D'
（0,0,3）,A（1,-3,0）,=（4,3,0）,=（-1,3,3）,=（0,6,0）.
设平面ABD'
的法向量为n1=（x,y,z）,
由
得取x=3,得y=-4,z=5,
∴n1=（3,-4,5）.
同理可求得平面AD'
C的一个法向量为n2=（3,0,1）,
设二面角B-D'
A-C的平面角为θ,则cosθ===.
∴二面角B-D'
A-C的正弦值为sinθ=.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°
.若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°
则二面角A-PB-C的余弦值为 .
解析▶ ∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,易得AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形.在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°
可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=2a.取AD的中点O,BC的中点E,连接PO,OE,以O为坐标原点,分别以、、的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则D（-a,0,0）,B（a,2a,0）,P（0,0,a）,C（-a,2a,0）,=（-a,0,-a）,=（a,2a,-a）,=（-2a,0,0）.
设平面PBC的法向量为n=（x,y,z）,
由得取y=1,得n=（0,1,）.
∵AB⊥平面PAD,PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.
又PD⊥PA,PA∩AB=A,
∴PD⊥平面PAB,∴为平面PAB的一个法向量.∴cos<
===-.
由图可知,二面角A-PB-C为钝角,
∴二面角A-PB-C的余弦值为-.
三、解答题
10.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
平面PQC⊥平面DCQ.
（2）求二面角Q-BP-C的正弦值.
解析▶
（1）由题意可得QA⊥平面ABCD,∴QA⊥CD.
由四边形ABCD为正方形,知CD⊥AD.
又∵QA、AD为平面PDAQ内两条相交直线,
∴CD⊥平面PDAQ,∴CD⊥PQ.
在直角梯形PDAQ中,可得DQ=PQ=PD,
∴PQ2+DQ2=PD2,
∴PQ⊥QD.
又∵CD、QD为平面DCQ内两条相交直线,
∴PQ⊥平面DCQ.
又∵PQ⊂平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.
（2）以D为坐标原点,线段DA的长为单位长度,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.
则Q（1,1,0）,C（0,0,1）,P（0,2,0）,B（1,0,1）,
=（1,0,0）,=（-1,2,-1）.
设n=（x,y,z）是平面PBC的法向量,
可取n=（0,-1,-2）.
同理求得平面PBQ的一个法向量m=（1,1,1）.
m,n>
===-,
∴sin<
即二面角Q-BP-C的正弦值为.
11.
如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
AB⊥DE.
（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值.
（3）线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?
若存在,求出;
解析▶
（1）取AB的中点O,连接EO,DO.
因为EB=EA,所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四边形OBCD为正方形,所以AB⊥OD.
因为EO∩OD=O,
所以AB⊥平面EOD.
因为DE⊂平面EOD,
所以AB⊥DE.
（2）因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB,
所以EO⊥平面ABCD.
因为OD⊂平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
因为△EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB=OD=OE.设OB=1,所以O（0,0,0）,A（-1,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,1,0）,E（0,0,1）.
所以=（1,1,-1）,平面ABE的一个法向量为=（0,1,0）.
设直线EC与平面ABE所成角为θ,
则sinθ=|cos<
|==,
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
（3）存在点F,且=时,有EC∥平面FBD.
证明如下:
设存在点F,且=λ（0≤λ≤1）,F（x1,y1,z1）,
则=λ.
在
（2）中的空间直角坐标系中,
可得=（x1,y1,z1-1）,=（-1,0,-1）,
所以（x1,y1,z1-1）=λ（-1,0,-1）,
所以x1=-λ,y1=0,z1=1-λ,
即F（-λ,0,1-λ）,
所以=（λ,1,λ-1）,=（-1,1,0）.
设平面FBD的法向量为v=（x2,y2,z2）,
令x2=1-λ,得v=（1-λ,1-λ,1+λ）.
由题意可知·
v=0,
即（1,1,-1）·
（1-λ,1-λ,1+λ）=0,
解得λ=,
所以存在点F,且=.
精美句子
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3、大自然的语言丰富多彩：
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鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！
当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！
当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！
当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！
当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！
你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；
朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；
朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；
青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；
青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；
青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。
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