脉冲响应不变法设计数字低通滤波器Word文档格式.docx
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宀
完成内容
收集消化资料、学习MATLAB软件，进行相关参数计算
编写仿真程序、调试
指导教
师签字
基层教学单
位主任签字
第一章前言4
第二章数字信号处理基础知识部分5
2.1巴特沃斯滤波器的设计5
2.2数字滤波器一一IIR9
第三章matlab部分基础知识14
3.1MATLAB介绍14
3.2巴特沃斯matlab函数介绍15
第四章仿真部分及仿真图16
4.1数字滤波器的设计步骤16
4.2MATLAB程序17
4.3仿真结果18
第五章结论19
第六章参考文献20
第一章前言
《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB的结合后的基本实验以后开设的。
本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB并实现一个较为完整的小型滤波系统。
滤波器是自动控制、信号处理和通信领域的重要组成部分,
广泛地应用于各种系统中。
MATLAB语言是一种简单、高效的高级语言,是一种内容丰富、功能强大的分析工具，其应用范围几乎覆盖了所有的科学和工程计算领域。
MATLAB中提供了丰富的用于模拟滤波器设计的函数，通过编程可以很容易实现低通、高通、带通、带阻滤波器，并能画出滤波器的幅频特性曲线，大大简化了模拟滤波器设计。
本文将通过利用MATLAB滤波器设计函数直接实现巴特沃斯低通滤波器的设计，找到应用MATLAB来设计
低通滤波器的方法。
介绍了用脉冲响应不变法设计巴特沃斯低通滤波器的基本理论和设计思想，给出了基于MATLAB设计巴特
沃斯低通滤波器的具体步骤，文中还给出了利用MATLAB产生
的滤波器的幅频及相频特性曲线。
详细介绍了在基于MATLAB
设计低通滤波器过程中常用到的工具和命令。
第二章数字信号处理基础知识部分
2.1巴特沃斯滤波器的设计
1.巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点
巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是
1
2N
1-（"
/j「c）
中N为整数，是滤波器的阶次。
0=0时，|Ha（j。
）=1时；
当0=0c时，Ha（jCc）=1/p2，所以称0c为半功率点。
此时通带内衰减6=-20|gHa（j0c）=3dB，Qc又被称为3dB截止频率。
巴特沃斯滤波器的振幅特性如图2.1.1所示。
由图可见，当门」」c时，随门加大，幅度迅速下降。
下降的速度与阶次N有关，N越大，幅度下降速度越快，过渡带越窄。
图2.1.1巴特沃斯幅度特性和N的关系
2•幅度平方函数的极点分布及Ha（S）的构成
2
将幅度平方函数Ha（j0）写成S的函数
Ha（S）Ha（-S）二2N
1+（j0/j0c）
“*1（S/j「c）2N（2-1-2）
12k1
j•••■（亠）
i.e22Nk=0,1,2,…
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点Sk用下式表示
2k仃
1/2N小加2N）j2c
Sk-（-1）（ji・）=e*e2i黒
2N-1（2-1-3）
这2N个极点分布在s平面半径为11
的圆（称为巴特沃斯圆）上,
角度间隔是n/N弧度。
N=3时，极点
间隔为n/3弧度或60度，如图2.1.2所示。
图2.1.2三阶巴特沃斯滤波器极点分布极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上。
当N是奇数时，实轴上有极点；
当N为偶数时，则实轴上没有极点。
巴特沃斯滤波器的N个极点为
12kJLj•：
】
（）
Sk-22N；
k=0,1,“—：
，N-1（2-1-4）
则Ha（S）的表达式即滤波器的系统函数为
N
Ha（s）二一（2-1-5）
I]（S-Sk）
k_0
3.频率归一化问题
式（2-1-5）即为所求滤波器的系统函数，可看出Ha（s）与门c有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要不同，Ha（S）就不一样。
为使设计统一，可将所以的频率归一化。
这里采用对3dB截止频率“C见归一化，归一化后的Ha（S）表示为
Ha（S）=（2-1-6），令九=乡幺，称人为归一化
SSk八"
i【（.一.）
0匚•：
c-■■-c
频率，则S门=j门门=j•，记为p称归一化复变量，这样归一
化巴特沃斯的传输函数为Ma（p）二一1（2-1-7）式中Pk为
丨丨（P-Pk）
k-0
归一化极点，再按照式（2-1-7）得到归一化的传输函数■:
a（p）
4•阶数N的确定
阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由：
•p,〉s"
和0s确定。
令扎。
=%p，，则N由下式表示:
k$p
N—⑨（2-1-9）
关于3dB截止频率I%,如果技术指标未给出，则按下式求出:
0.1-「c"
p（iop-1）2N（2-1-10）。
5.设计步骤
总结以上讨论，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下:
1）根据技术指标:
p^s/S和、，用式（2-1-9）求出No
2）按照（2-1-8），求出归一化极点pk，代入（2-1-7），得到归一化传输函数Ha（p）。
也可以直接查表.
3）将Ha（P）去归一化。
将P=S/l.代入Ha（P），得到实际的滤波器传输函数Ha（S）。
如果技术指标没有给出3dB截止频率-c，可以按照式（2-1-10）求出。
2.2数字滤波器一一IIR
1.IIR滤波器基础
IIR滤波器的设计就是在给定了滤波器的技术指标后，确定滤波器的阶数N和系数；
a,b二在设计IIR滤波器时，常用的方法是利用模拟滤波器来设计数字滤波器，设计方法是首先将数字滤波器技术指标转换为对应的模拟滤波器技术指标，然后设计满足技术指标的模拟滤波器HaS,最后将设计出的模拟滤波器Ha（S）转换为满足技术指标的数字滤波器Hz。
将系统函数H（z）从S平面转换到Z平面的方法很多，主要有两种：
一种是使数字滤波器的hn近似于模拟滤波器的hat，可导出脉冲响应不变法；
另一种是使数字滤波器的差分方程近似于滤波器的微分方程，由此可导出双线性变换法。
为保证转换后的Hz稳定且满足技术要求，对转换关系提出以下两点要求：
（1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。
模拟滤波器因果稳定要求其系统函数HaS的极点全部位于S平面的左半平面；
数字滤波器因果稳定则要求Hz的极点全部在单位圆内。
因此，转换关系应是S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内。
（2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器频率响应，S平面的虚轴映射z平面单位圆。
2•脉冲响应不变法
脉冲响应不变法的核心是通过对连续函数ha（t）等间隔采样得到离散序列hanT，使h（n）二ha（nT）（其中T为采样间隔），因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下
设模拟滤波器Ha（S）只有单阶极点，且分母多项式的阶次高
于分子多项式的阶次，将Ha（S）用部分分式表示，则
Ai
（2-2-1）
式中，Si为Ha（S）的单阶极点。
将Ha（S）进行拉氏逆变换得到
st
ha（t）Ae'
u（t）（2-2-2）
i
式中，u（t）单阶阶跃函数。
对ha（t）进行等间隔采样，采样间隔为
T，得到
lsnT
h（n）=ha（nT）八Aieu（nt）（2-2-3）
i仝
对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数
Na
H（z）sT_7（2-2-4）
i二1—ez
由这一转换过程看出，它对部分分式表达的模拟系统函数更为方
便，对任一极点Si，Ha（S）到H（z）得转换可直接用下式来完成
（2-2-5）
AiA
'
sT_L
s-Sj1-ez
将式（2-2-1）的HaS和式（2-2-4）的Hz加以比较，可以看出:
1）S平面的单极点s7变换到z平面上z=esT处的单极点。
2）Ha（s）与H（z）的部分分式的系数是相同的，都是Ai
3）如果模拟滤波器是稳定的，所有极点Si位于s平面的左半平面，及极点的实部小于零，则变换后的数字滤波器的全部极点在单位圆内，即模小于1，因此数字滤波器也是稳定的。
3.H（ej-■）与Ha（"
）的关系
下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，S平面和z平面
之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。
这里以采样信号ha（t）作为桥梁，推导其映射关系。
将ha（t）的采样信号用ha（t）表示，
■to
h?
a（t）='
、•ha（t）：
.（t-nT）
n
对ha（t）进行拉式逆变换，得到
H?
a（S）
st—snT
dt八ha（nT）e-
」n
式中，ha（nT）是ha（t）在采样点t=nT时的幅度值，它与序列的幅
度相等，即h（n）=ha（nT），因此得到
Ha（s）=送h（n）e^T=送h（n）z』zr=H（z）z』t（2-2-6）
nn
上式说明采样信号的拉氏变换与相应的Z变换之间的映射关系为
sTz=e（2-2-7）
已知模拟信号ha（t）的傅立叶变换Ha（V）和其采样信号ha（t）的傅立叶变换Ha（r」）之间的关系满足
1旳
Ha（j「）Ha（j「—jk「s）（2-2-8）
Tkn:
：
其中，嘔=2二/T，将S=B1带入上式，得
Ha（s）Ha（S—jk「s）（2-2-9）
Tk
H（z）Ha（s—jk「s）（2-2-10）
上式表明将模拟信号ha（t）的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期
<
.-'
s=2：
-JT延拓后，再按上式的映射关系映射到Z平面上，就得
到H（z）。
Z二esT可称为标准映射关系。
Ret]
图2.2.1冲击响应不变法的映射关系
-C-j'
-.1
jw
二re
则得到:
（2-2-11）
=1
0,r
那么虚轴映射z平面的单位圆上，s平面右半平面映射z平面单位圆外。
这说明：
第一，如果Ha（s）因果稳定，转换后得到H（z）仍因果稳定；
第二，数字滤波器频率响应H（eJ模仿模拟滤波器的频率响应Ha（j「），满足转换关系的两点要求。
Hej■-与Ha（j「）二者关系可由式（2-2-10）导出，考虑s=厂，
且•"
T，则得到
1旳1旳閒_2nk
He'
二'
Ha"
-jk）二aHa（j'
"
）（2-2-12）。
这
T—T—T
就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应以"
s为周
期的周期延拓。
因而正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器
的频率响应是有限的，且带限于折叠频率以内时，即
Ha（j0）=0,C兰兀，才能使数字滤波器的频率响应在折叠
T2
频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即
沁1⑷
H（e°
）=—Ha（j—）,⑷<
兀。
TT
4•频率混叠现象
实际上，任何一个模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。
如果原模拟信号hat的频带不是限于+/-n/T之间，则会在他的奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到z平面上，在3=+/-
n附近产生频率混叠。
脉冲响应不变法的频率混叠现象如下图所示
5.脉冲响应不变法的优点
脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，即T。
另
一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。
第三章matlab部分基础知识
3.1MATLAB介绍
设计平台MATLAB7.1MATLAB是美国MathWorks公司生产的一个为科学和工程计算专门设计的交互式大型软件，是一个可
以完成各种精确计算和数据处理的、可视化的、强大的计算工具。
它集图示和精确计算于一身，在应用数学、物理、化工、机电工程、医学、金融和其他需要进行复杂数值计算的领域得到了广泛应用。
它不仅是一个在各类工程设计中便于使用的计算工具，而且也是一个在数学、数值分析和工程计算等课程教学中的
优秀的数学工具，在世界各地的高和大型计算机上运行，适用于
Windows、UNIX等多种系统平台。
MATLAB作为一种科学计
算的高级语言之所以受欢迎，就是因为它有丰富的函数资源和
工具箱资源，编程人员可以根据自己的需要选择函数，而无需再去编写大量繁琐的程序代码，从而减轻了编程人员的工作负担，被称为第四代编程语言的MATLAB最大的特点就是简洁开放的程序代码和直观实用的开发环境
3.2巴特沃斯matlab函数介绍
1.buttord
[N,wc]=buttord（wp，ws，ap，as）用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。
调用参数wp，ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：
OWwp<
1，0
ws<
1且对于低通滤波器wpvws。
1表示数字频率pi。
2.butter
[b，a]=butter（N，wc，‘ftype'
）
计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量b、a。
调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值（关于pi归一化），一般是调用[N,wc]=buttord（wp，ws，ap，as）格式计算N和wc。
系数b、a是按照z-1的升幕排列。
3.freqz
H,•1=freqzB,A,N,Fs计算离散系统在0——二范围内的N个
频率等分点的频率响应的值。
4.abs
Abs（H）为取H得幅度。
5.angle
Angle（H）为取H的相位角，单位为弧度，用pha显示计算的相位。
6.axis
axis（[xminxmaxyminymax]）[]中分别给出x轴和y轴的最大值、最小值
7.subplot
subplot（m,n,p）将多个图画到一个平面上的工具。
其中，m表示是图排成m行，n表示图排成n列，p是指你现在要把曲线画到figure中哪个图上。
8.plot
plot（x,y）是绘制二维图形的最基本函数，以x元素为横坐标值，
y元素为纵坐标值绘制曲线。
9.Xlabel—x轴注解
Ylabel—y轴注解
Title—标题注解
Gridon—开启网格格式
第四章仿真部分及仿真图
4.1数字滤波器的设计步骤
设计流程图
4.2MATLAB程序
Fs=1000;
fp=100;
fs=300;
Ap=3;
As=20;
Wp=fp/（Fs/2）;
Ws=fs/（Fs/2）;
[N,Wc]=buttord（Wp,Ws,Ap,As）;
[b,a]=butter（N,Wc）;
[H,F]=freqz（b,a,500,Fs）;
subplot（2,2,2）plot（F,20*log10（abs（H）））xlabel（'
频率（Hz）'
）;
ylabel（'
幅度（dB）'
）axis（[0500-403]）;
title（'
数字滤波器分频曲线'
gridon
subplot（2,2,1）
plot（F,abs（H））;
xlabel（'
幅度'
数字滤波器幅频曲线'
gridon;
subplot（2,2,3）
pha=angle（H）;
plot（F,pha）;
相位（rad）'
数字低通滤波器相频曲线'
4.3仿真结果
第五章结论
本次课程设计的数字低通滤波器首先要设计出相应的巴特沃斯低通滤波器，由我们课上学过的知识，根据所给的设计参数确定滤波器的阶数，归一化等。
再由通过matlab得出的模拟滤波器，得到相应的数字滤波器。
经过一周的课程设计，让我再次熟悉了所学过的关于数字信号处理中设计滤波器部分的知识，同时，由于设计需要，我通过查阅资料，自学了用于本次课设的matlab程序仿真部分的知识。
MATLAB在以前的学习中并没有怎么接触，但是通过网上查找资料，我很快的理解了其基本原理。
总的来说，通过这次的课程设计我对MATLAB有了全面的认识，对数字信号处理的知识又有了深刻的理解，让我感受到只有在充分理解课本知识的前提下，才能更好的应用这个工具；
并且熟练的应用MATLAB也可以很
好的加深我对课程的理解，方便我的思维。
通过本次数字信号来处理课程设计，我通过系统设计，软件仿真，程序安排与调试，初步掌握了工程设计的具体步骤和方法，提高了我的分析问题，解决问题的能力，提高实际应用水平。
感谢学院给了我们这一次课程设计的机会，让我们受益匪浅，感谢老师们在我们遇到问题时耐心的指导，希望今后能有更多的这种亲身实践的机会。
机械工业出版社，2009清华大学出版社，2003电子工艺出版社，2005
第六章参考文献
谢平，王娜.《数字信号处理》.
薛年喜.《MATLAB信号处理中的应用》
《MATLAB7辅助信号处理与应用》
燕山大学课程设计评审意见表
指导教师评语：
成绩：
年月
日
答辩小组评语：
评阅人：
课程设计总成绩：
答辩小组成员签字：
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