错题2答案见最后Word格式.docx

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③④

①④

①②③④

5．如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（　　）

不能确定

6．在△ABC中，AC=5，中线AD=4，那么边AB的取值范围为（　　）

l＜AB＜9

3＜AB＜13

5＜AB＜13

9＜AB＜13

7．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）

a2

8．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（　　）

1个

3个

6个

7个

9．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

11

5.5

7

3.5

10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：

①GA=GP；

②S△PAC：

S△PAB=AC：

AB；

③BP垂直平分CE；

④FP=FC；

其中正确的判断有（　　）

只有①②

只有③④

只有①③④

二．填空题（共4小题）

11．（2013•宜兴市一模）如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为　_________　个．

12．等腰△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交AC所在的直线于点E，若DE与直线AC所夹的锐角是40°

，则等腰三角形的顶角度数是　_________　．

13．如图，在△ABC中，∠ACD=90°

，CA=CB，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE=　_________　度．

14．如图，AC=BC，∠ACB=90°

，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC延长线于F，且垂足为E，则下列结论：

①AD=BF；

②BF=AF；

③AC+CD=AB，④AB=BF；

⑤AD=2BE．

其中正确的结论有　_________　．

（填写番号）

三．解答题（共12小题）

15．如图：

△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°

，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：

MC=MB．

16．如图：

在△ABC中AB=AC，在△BCE中BA平分∠CBE，且BC=2BE．求证：

BE⊥AE．

17．如图1，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．

（1）过点C作直线DE，分别交AM、BN于点D、E．求证：

AB=AD+BE；

（2）如图2，若将直线DE绕点C转动，使DE与AM交于点D，与NB的延长线交于点E，则AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系？

请你给出结论并加以证明．

18．如图，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．

（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为18cm，问：

经过几秒后，△CPQ是等腰三角形？

19．如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°

，把一块含30°

角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．证明DM=DN；

（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？

若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？

答：

　_________　（请写出结论，不用证明．）

20．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，CD为边AB上的中线，若E是射线CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．

（1）如图①，若E在边AC上．试说明：

①AE=CF；

②CG=GD；

（2）如图②，若E在边CA的延长线上．

（1）中的两个结论是否仍成立？

（直接写出成立结论的序号，不要说明理由）

（3）若AE=3，CH=5，求边AC的长．

21．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．

（1）求证：

△ABE≌△CAD；

（2）求证：

∠BPQ=60°

（3）求AD的长．

22．问题情境：

如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC于点D，可知：

∠BAD=∠C（不需要证明）；

特例探究：

如图2，∠MAN=90°

，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：

△ABD≌△CAF；

归纳证明：

如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：

△ABE≌△CAF；

拓展应用：

如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为　_________　．

23．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

24．如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F．求证：

BE=CF．

25．已知：

如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

AD=BE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）求证：

△MNC是等边三角形．

26．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°

，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．

MN⊥BD；

（2）当∠BCA=15°

，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．

参考答案与试题解析

考点：

全等三角形的判定与性质；

等腰三角形的性质．菁优网版权所有

分析：

根据SSS证△BAD≌△CAE，推出∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，求出∠BAC=∠EAD，根据等腰三角形性质求出∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，根据三角形内角和定理得出∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED（共4对），即可得出答案．

解答：

解：

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SSS），

∴∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，

∴∠BAC=∠EAD，

∵AB=AC，AD=AE，

∴∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，

∵∠BAC=∠DAE，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED，

即相等的角有∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ACB，∠ADE=∠AED，∠ADE=∠ABC，∠ADE=∠ACB，∠AED=∠ABC，∠AED=∠ACB，共10对．

故选D．

点评：

本题考查了等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，能做到不重不漏是解此题的关键．

正方形的性质．菁优网版权所有

过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°

，根据正方形性质得出∠BAE=∠CAG=90°

，AB=AE，AC=AG，求出∠NAG=∠MAC，证△ACM≌△AGN（，推出CM=GN，根据三角形的面积公式求出即可．

△ABC与△AEG面积相等，理由是：

∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，

∴∠BAE=∠CAG=90°

，AB=AE，AC=AG，

∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°

∴∠BAC+∠EAG=180°

∵∠EAG+∠GAN=180°

∴∠BAC=∠GAN，

在△ACM和△AGN中，

∴△ACM≌△AGN（AAS），

∴CM=GN，

∵S△ABC=

AB•CM，S△AEG=

AE•GN，

∴S△ABC=S△AEG．

故选C．

本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的应用，关键是作辅助线后求出CM=GN．

等边三角形的性质．菁优网版权所有

根据等边三角形性质得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°

，求出∠ACD=∠BCE，证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判断①；

根据全等三角形性质得出∠CBE=∠CAD，根据ASA证△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判断②；

求出∠DCE=60°

=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°

，即可求出∠AOB=60°

，即可判断③；

根据三角形外角性质推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判断④．

∵△ABC和△DCE是正三角形，

∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°

∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∴①正确；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD，

∵∠ACB=∠DCE=60°

∴∠BCD=60°

=∠ACB，

在△ACP和△BCQ中

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP=BQ，∴②正确；

∴∠ADC=∠BEC，

∠DCE=60°

=∠CAD+∠ADC，

∴∠CAD+∠BEC=60°

∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°

，∴③正确；

∵△DCE是正三角形，

∴DE=DC，

∵∠AOB=60°

，∠DCP=60°

，∠DPC＞∠AOB，

∴∠DPC＞∠DCP，

∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④错误；

故选A．

本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．

等腰直角三角形．菁优网版权所有

连接CD．欲证线段相等，就证它们所在的三角形全等．证明△DBE≌△DCG，△DCH≌△DAF．

根据已知条件，

∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中线．

∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°

．

又∵∠BDC=∠EDH=90°

，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH

∴∠BDE=∠CDH

∴△DBE≌△DCG（ASA）

∴DE=DG；

BE=CG．

同理可证：

△DCH≌△DAF，可得：

DF=DH；

AF=CH．

∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF．

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．

平行线的性质；

等腰三角形的性质；

等边三角形的性质；

等边三角形的判定与性质．菁优网版权所有

专题：

证明题．

过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

AC即可．

过P作PF∥BC交AC于F，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°

，∠AFP=∠ACB=60°

，∠A=60°

∴△APF是等边三角形，

∴AP=PF=AF，

∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ，

在△PFD和△QCD中

∴△PFD≌△QCD，

∴FD=CD，

∵AE=EF，

∴EF+FD=AE+CD，

∴AE+CD=DE=

AC，

∵AC=3，

∴DE=

故选B．

本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．

三角形三边关系．菁优网版权所有

作辅助线（延长AD至E，使DE=AD=4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE=AC=5；

而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．

延长AD至E，使DE=AD=4，连接BE．则AE=8，

∵AD是边BC上的中线，D是中点，

∴BD=CD；

又∵DE=AD，∠BDE=∠ADC，∴△BDE≌△ADC，

∴BE=AC=5；

由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，

即8﹣5＜AB＜8+5，

∴3＜AB＜13；

本题考查了全等三角形的判定与性质．解答该题时，围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定对应线段相等．

几何图形问题．

作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解．

作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°

又∵∠EPM=∠EQN=90°

∴∠PEQ=90°

∴∠PEM+∠MEQ=90°

∵三角形FEG是直角三角形，

∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°

∴∠PEM=∠NEQ，

∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°

∴EP=EQ，四边形MCQE是正方形，

在△EPM和△EQN中，

∴△EPM≌△EQN（ASA）

∴S△EQN=S△EPM，

∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

∵正方形ABCD的边长为a，

∴AC=

a，

∵EC=2AE，

∴EC=

∴EP=PC=

∴正方形MCQE的面积=

a×

a=

a2，

∴四边形EMCN的面积=

故选：

本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．

等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有

推理填空题．

根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：

在同一三角形中，等边对等角）”解答即可．

∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，

∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，

∴符合条件的点有1个．

本题考查了等腰三角形的判定；

构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来．

角平分线的性质；

全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有

计算题；

压轴题．

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，

∵DE=DG，

∴DM=DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

DN=DF

DM=DE

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，

S△DNM=S△EDF=

1

2

S△MDG=

×

11=5.5．

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

10．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结