高等数学上册知识点总结Word格式文档下载.docx
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单调有界数列必有极限.
3、无穷小（大）量
1）定义：
若lim0则称为无穷小量；
若lim则称为
无穷大量.
2）无穷小的阶：
高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶
无穷小
Th1~o（）;
Th2~,~,lim存在，则limlim（无穷小代
换）
4、求极限的方法
1）单调有界准则；
2）夹逼准则；
3）极限运算准则及函数连续性；
4）两个重要极限：
sinx
b）
a）lim1
x0x
1x1x
lim（1x）xlim
（1）xex0xx
5）无穷小代换：
（x0）
a）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
12
b）1cosx~x
c）ex1~x（ax1~xlna）
x
d）ln（1x）~x（loga（1x）~）
lna
e）（1x）1~x
二、导数与微分
一）导数
函数f（x）在x0点可导f（x0）f（x0）
2、几何意义：
f（x0）为曲线yf（x）在点x0,f（x0）处的切线的斜率.
f（x）在x0点连
3、可导与连续的关系：
f（x）在x0点可导
续
4、求导的方法
1）导数定义；
2）基本公式；
3）四则运算；
4）复合函数求导（链式法则）；
5）隐函数求导数；
6）参数方程求导；
7）对数求导法.
5、高阶导数
uv（n）Cnku（k）v（nk）
k0
二）微分
其中A
，且
yf（x0x）f（x0）Axo（x），与x无关.
2）可微与可导的关系：
可微可导dyf（x0）xf（x0）dx
三、微分中值定理与导数的应用
一）中值定理
1、Rolle定理：
若函数f（x）满足：
1）f（x）C[a,b]；
2）f（x）D（a,b）；
3）
f（a）f（b）；
则（a,b）,使f（）0.
2、Lagrange中值定理：
1）f（x）C[a,b]；
2）f（x）D（a,b）；
则（a,b）,使f（b）f（a）f（）（ba）.
3、Cauchy中值定理：
若函数f（x）,F（x）满足：
1）f（x）,F（x）C[a,b]；
2）f（x）,F（x）D（a,b）；
3）
F（x）0,x（a,b）
则（a,b）,使
f（b）f（a）F（b）F（a）
f（）
F（）
二）洛必达法则
注意:
1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）
再用洛必达法则！
如：
1x2cosxlxim0tan4x
2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，
然后用洛必达法则！
nanbn如：
limn
三）Taylor公式
n阶Taylor公式：
f（x）f（x0）f（x0）（xx0）f2（!
x0）（xx0）2
在x0与x之间.
当x00时，成为n阶麦克劳林公式：
在0与x之间.
常见函数的麦克劳林公式：
在0与x之间，x；
在0与x之间，x；
2462m2cos2m
xxxm1x2cosx1
（1）m1
2!
4!
6!
（2m2）!
（2m）!
在0与x之间，1x1
5）
（1x）1x
（1）x2
（1）
（2）x3
（1）（n1）xn
1）（n）
（1）n1
n1
x，
3!
n!
（n1）!
在0与x之间，1x1.
四）单调性及极值
1、单调性判别法：
f（x）C[a,b]，f（x）D（a,b），则若f（x）0，则f（x）单调增加；
则若f（x）0，则f（x）
单调减少.
2、极值及其判定定理：
a）必要条件：
f（x）在x0可导，若x0为f（x）的极值点，则
f（x0）0.
b）第一充分条件：
f（x）在x0的邻域内可导，且f（x0）0，则①若当xx0时，f（x）0，当xx0时，f（x）0，则x0为极大值点；
②若当xx0时，f（x）0，当xx0时，f（x）0，则x0为极小值点；
③若在x0的两侧f（x）不变号，则x0不是极值点.
c）第二充分条件：
f（x）在x0处二阶可导，且f（x0）0，
f（x0）0，则
①若f（x0）0，则x0为极大值点；
②若f（x0）0，则x0为极小值点.
3、凹凸性及其判断，拐点
1）f（x）在区间I上连续，若x1,x2I,f（x12x2）f（x1）2f（x2）则称f（x）在区间I上的图形是凹的；
若x1,x2I,f（x12x2）f（x1）2f（x2），则称f（x）在区间I上的图形是凸的.
2）判定定理：
f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，
a）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在[a,b]上的图形是凹的；
b）若x（a,b）,f（x）0,则f（x）在[a,b]上的图形是凸的.
3）拐点：
设yf（x）在区间I上连续，x0是f（x）的内点，如果曲线yf（x）经过点（x0,f（x0））时，曲线的凹凸性改变了，则称点（x0,f（x0））为曲线的拐点.
五）不等式证明
1、
利用微分中值定理；
2、
利用函数单调性；
3、
利用极值（最值）.
六）
方程根的讨论
连续函数的介值定理；
Rolle定理；
函数的单调性；
4、
极值、最值；
5、
凹凸性.
七）
渐近线
铅直渐近线：
limf（x）
xa
水平渐近线：
f（x）
斜渐近线：
lxim
xx
ykxb为一条斜
渐近线.
，则xa为一条铅直渐近线；
b，则yb为一条水平渐近线；
klxim[f（x）kx]b存在，则
八）图形描绘
步骤:
1.确定函数的定义域，并考察其对称性及周期性；
2.求并求出及为零和不存在的点；
3.列表判别函数的增减及曲线的凹向,求出极值和拐点;
4.求渐近线;
5.确定某些特殊点,描绘函数图形.
四、不定积分
（一）概念和性质
1、原函数：
在区间I上，若函数F（x）可导，且F（x）f（x），则F（x）称为f（x）的一个原函数.
2、不定积分：
在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分.
3、基本积分表（P188，13个公式）；
4、性质（线性性）.
（二）换元积分法
1、第一类换元法（凑微分）：
2、第二类换元法（变量代换）
三）分部积分法：
udvuvvdu
4）有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）
五、定积分
（一）概念与性质：
1、定义：
bn
f（x）dxlimf（i）xi
a0i1ii
2、性质：
（7条）
性质7（积分中值定理）函数f（x）在区间[a,b]上连续，则
b
[a,b]，使af（x）dxf（）（ba）（平均值：
a
f（x）dxa
ba
二）微积分基本公式（N—L公式）
1、变上限积分：
设（x）af（t）dt，则（x）f（x）a
d（x）
推广：
（x）f（t）dtf[（x）]（x）f[（x）]（x）dx（x）
2、N—L公式：
若F（x）为f（x）的一个原函数，则
af（x）dxF（b）F（a）a
f（x）dxlimf（x）dx（b为瑕点）
atba
两个重要的反常积分：
2）
六、定积分的应用
一）平面图形的面积
二）体积
1、旋转体体积：
a）曲边梯形yf（x）,xa,xb,x轴，绕x轴旋转而成的
2
旋转体的体积：
Vxaf2（x）dx
b）曲边梯形yf（x）,xa,xb,x轴，绕y轴旋转而成
的旋转体的体积：
Vya2xf（x）dx（柱壳法）a
2、平行截面面积已知的立体：
VaA（x）dxa
三）弧长
1、直角坐标：
sa1f（x）2dx
2、参数方程：
s（t）2（t）2dt
22
3、极坐标：
s（）（）d
七、微分方程
（一）概念
1、微分方程：
表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶：
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶
数.
2、解：
使微分方程成为恒等式的函数.
通解：
方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解：
确定了通解中的任意常数后得到的解
二）变量可分离的方程
g（y）dyf（x）dx，两边积分g（y）dyf（x）dx
3）齐次型方程
dy
（y），设u
y，
dy则
duux；
dx
则dx
dx；
dv
或dy
（），设vy
则dy
vy
四）一阶线性微分方程
dyP（x）yQ（x）dx
用常数变易法或用公式：
P（x）dxP（x）dx
yeQ（x）edxC
5）可降阶的高阶微分方程
1、y（n）f（x），两边积分n次；
2、yf（x,y）（不显含有y），令yp，则yp；
dp
3、yf（y,y）（不显含有x），令yp，则ypdy
6）线性微分方程解的结构
1、y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是；
2、y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是
方程的通解；
3、yC1y1C2y2y*为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对
应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.
七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：
ypyqy0
特征方程：
r2prq0，特征根：
特征根
通解
实根
r1xr2x
yC1eC2e
y（C1C2x）er1x
yex（C1cosxC2sinx）
八）常系数非齐次线性微分方程
ypyqyf（x）
1、f（x）exPm（x）
0,λ不是特征根
设特解y*xkexQm（x），其中k1,λ是一个单根
2,λ是重根
2、f（x）exPl（x）cosxPn（x）sinx
xkexRm
（1）（x）cosxRm
（2）（x）sinx，
0,i不是特征根
k
1,i是特征根
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