高等数学知识点总结.docx
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高等数学知识点总结
高等数学知识点总结
导数公式:
导数公式:
(tanx)′=sec2x(ctanx)′=csc2x(secx)′=secxtanx(cscx)′=cscxcotx(ax)′=axlna1(logax)′=xlna
基本积分表:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
三角函数的有理式积分:
(arcsinx)′=
1
1x21(arccosx)′=1x21(arctanx)′=1+x21(arccotx)′=1+x2
∫tanxdx=lncosx+C∫cotxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tanx+C∫cscxdx=lncscxcotx+C
dx1x=arctan+C2+xaadx1xa∫x2a2=2alnx+a+Cdx1a+x∫a2x2=2alnax+Cdxx∫a2x2=arcsina+C
∫cos∫sin
dx
2
xx
=∫sec2xdx=tanx+C=∫csc2xdx=cotx+C
dx
2
∫a
∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=cscx+C
x∫adx=
2
ax+Clna
∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫
dxx±a
22
=ln(x+x2±a2)+C
π
2
π
2
In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=
002
n1In2n
∫∫∫
sinx=
xa222x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa2x2a2dx=x2a2lnx+x2a2+C22xa2xa2x2dx=a2x2+arcsin+C22a
2
2u1u2x2du, x=cos, =tan, =udx1+u21+u221+u2
1/13
一些初等函数:
一些初等函数:
两个重要极限:
两个重要极限:
exex双曲正弦:
shx=2xe+ex双曲余弦:
chx=2shxexex双曲正切:
thx==chxex+exarshx=ln(x+x2+1)archx=±ln(x+x21)11+xarthx=ln21x
三角函数公式:
三角函数公式:
诱导公式:
·诱导公式:
函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式:
和差角公式:
lim
sin
0
xx+
x→
=
x
1=e
lim
x→
∞
(1
1)x
sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinα
coscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosα
tg-tanαcotα-cotα-tanαtanαcotα-cotα-tanαtanα
ctg-cotαtanα-tanα-cotαcotαtanα-tanα-cotαcotα
·和差化积公式:
和差化积公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβmsinαsinβtanα±tanβtan(α±β)=1mtanαtanβcotαcotβm1cot(α±β)=cotβ±cotα
sinα+sinβ=2sin
α+β
22α+βαβsinαsinβ=2cossin22α+βαβcosα+cosβ=2coscos22α+βαβcosαcosβ=2sinsin22
cos
αβ
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·倍角公式:
倍角公式:
sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α1=12sin2α=cos2αsin2αcot2α1cot2α=2cotα2tanαtan2α=1tan2α
·半角公式:
半角公式:
sin3α=3sinα4sin3αcos3α=4cos3α3cosα3tanαtan3αtan3α=13tan2α
sintan
α
2
=±=±
α1cosα1+cosα cos=±222α1cosα1cosαsinα1+cosα1+cosαsinα ==cot=±==1+cosαsinα1+cosα21cosαsinα1cosα
abc===2RsinAsinBsinC
·余弦定理:
c=a+b2abcosC余弦定理:
222
α
2
·正弦定理:
正弦定理:
定理
·反三角函数性质:
arcsinx=反三角函数性质:
π
2
arccosx arctanx=
π
2
arccotx
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
——莱布尼兹
k(uv)(n)=∑Cnu(nk)v(k)k=0n
=u(n)v+nu(n1)v′+
n(n1)(n2)n(n1)L(nk+1)(nk)(k)uv+L+uv(n)uv′′+L+2!
k!
中值定理与导数应用:
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)f(a)=f′(ξ)(ba)f(b)f(a)f′(ξ)柯西中值定理:
=F(b)F(a)F′(ξ)当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
曲率:
弧微分公式:
ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK平均曲率:
=α.α:
从M点到M′点,切线斜率的倾角变化量;s:
MM′弧长。
sy′′αdαM点的曲率:
K=lim==.s→0sds(1+y′2)31.a
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直线:
K=0;半径为a的圆:
K=
定积分的近似计算:
定积分的近似计算:
矩形法:
f(x)≈∫
a
b
ba(y0+y1+L+yn1)nba1[(y0+yn)+y1+L+yn1]n2ba[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn2)+4(y1+y3+L+yn1)]3n
梯形法:
f(x)≈∫
ab
b
抛物线法:
f(x)≈∫
a
定积分应用相关公式:
定积分应用相关公式:
功:
W=Fs水压力:
F=pAm1m2,k为引力系数r2b1函数的平均值:
=yf(x)dxba∫a引力:
F=k12均方根:
∫f(t)dtbaa
空间解析几何和向量代数:
空间解析几何和向量代数:
b
空间2点的距离:
d=M1M2=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2向量在轴上的投影:
juAB=ABcos,是AB与u轴的夹角。
PrvvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角:
θ=cosivvvc=a×b=axbxjaybykaxbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz
222222
vvvvvvaz,c=absinθ.例:
线速度:
v=w×r.
bzaybycyazcz
axvvvvvv向量的混合积:
bc]=(a×b)c=bx[acx代表平行六面体的体积。
vvvbz=a×bccosα,α为锐角时,
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平面的方程:
v1、点法式:
A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程:
Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程:
++=1abc平面外任意一点到该平面的距离:
d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2
x=x0+mtxx0yy0zz0v空间直线的方程:
===t,其中s={m,n,p};参数方程:
y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面:
x2y2z21、椭球面:
2+2+2=1abc22xy2、抛物面:
+=z(p,q同号),2p2q3、双曲面:
x2y2z2单叶双曲面:
2+22=1abc22xyz2双叶双曲面:
22+2=(马鞍面)1abc
多元函数微分法及应用
全微分:
dz=
zzuuudx+dy du=dx+dy+dzzxyxy
全微分的近似计算:
z≈dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y多元复合函数的求导法:
dzzuzvz=f[u(t),v(t)] =+ dtutvtzzuzvz=f[u(x,y),v(x,y)] = +xuxvx当u=u(x,y),v=v(x,y)时,du=uuvvdx+dy dv=dx+dy xyxy
隐函数的求导公式:
FFFdydyd2y隐函数F(x,y)=0, =x, 2=(x)+(x)xFyyFydxdxFydxFyFzz隐函数F(x,y,z)=0, =x, =xyFzFz
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FF(x,y,u,v)=0(F,G)u隐函数方程组:
J==G(u,v)G(x,y,u,v)=0uu1(F,G)v1(F,G) ==xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G) ==yJ(y,v)yJ(u,y)
微分法在几何上的应用:
微分法在几何上的应用:
Fv=FuGGuv
FvGv
x=(t)xxyy0zz0空间曲线y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程:
0==′(t0)ψ′(t0)ω′(t0)z=ω(t)在点M处的法平面方程:
′(t0)(xx0)+ψ′(t0)(yy0)+ω′(t0)(zz0)=0vFyFzFzFxFxF(x,y,z)=0,则切向量T={,,若空间曲线方程为:
GyGzGzGxGxG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0),则:
v1、过此点的法向量:
n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程:
==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
方向导数与梯度:
FyGy
}
2、过此点的切平面方程:
Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0
fff函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:
=cos+sinlxy其中为x轴到方向l的转角。
fvfvi+jxyvvfvv它与方向导数的关系是:
=gradf(x,y)e,其中e=cosi+sinj,为l方向上的l单位向量。
f∴是gradf(x,y)在l上的投影。
l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)=
多元函数的极值及其求法:
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0,令:
fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值2ACB>0时,A>0,(x0,y0)为极小值2则:
ACB<0时, 无极值ACB2=0时, 不确定
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重积分及其应用:
重积分及其应用:
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
DD′
曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫
D
zz1++dxdyxy
2
2
M平面薄片的重心:
x=x=M
∫∫xρ(x,y)dσ
D
∫∫ρ(x,y)dσ
D2D
y=
MyM
=
∫∫yρ(x,y)dσ
D
∫∫ρ(x,y)dσ
DD
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix=∫∫yρ(x,y)dσ, 对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力:
F={Fx,Fy,Fz},其中:
Fx=f∫∫
D
ρ(x,y)xdσ
(x2+y2+a)
322
, Fy=f∫∫
D
ρ(x,y)ydσ
(x2+y2+a)
322
, Fz=fa∫∫
D
ρ(x,y)xdσ
3
(x2+y2+a2)2
柱面坐标和球面坐标:
柱面坐标和球面坐标:
x=rcosθ柱面坐标:
y=rsinθ, f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,∫∫∫z=z其中:
F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)x=rsincosθ球面坐标:
y=rsinsinθ, dv=rdrsindθdr=r2sindrddθz=rcos
2∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,,θ)rsindrddθ=∫dθ∫d002π
π
r(,θ)
∫F(r,,θ)r
0
2
sindr
重心:
x=
1M
∫∫∫xρdv, y=M∫∫∫yρdv, z=M∫∫∫zρdv, 其中M=x=∫∫∫ρdv
222222
1
1
转动惯量:
Ix=∫∫∫(y+z)ρdv, Iy=∫∫∫(x+z)ρdv, Iz=∫∫∫(x+y)ρdv
曲线积分:
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
x=(t)设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为:
≤t≤β),则:
(αy=ψ(t)
∫f(x,y)ds=αf[(t),ψ(t)]∫
L
β
′2(t)+ψ′2(t)dt <β) 特殊情况:
(α
x=ty=(t)
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第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为
标的曲线积分):
x=(t),则:
y=ψ(t)
∫
L
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=
α
∫{P[(t),ψ
L
β
(t)]′(t)+Q[(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
两类曲线积分之间的关
系:
∫Pdx+Qdy=
∫(Pcos
L
α+Qcosβ)ds,其中α和β分别为
QP)dxdy=y=12
L上积分起止点处切向量的方向角。
QP格林公式:
∫∫()dxdy=∫Pdx+Qdy格林公式:
xyDL当P=y,Q=x,即:
·平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域;2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分,·二元函数的全微分求积在注意方向相反!
:
,且QP=2时,得到xy无关的条件:
D的面积:
∫∫(x
D
∫Pdx
L
+Qdy
A=
∫∫dxdy
D
∫xdy
L
ydx
QP=。
注意奇点,如xy
(0,0),应
QP=时,Pdx+Qdy才是二元函数xy
(x,y)
u(x,y)的全微分,其中:
x0=y0=0。
u(x,y)=
∫P(x,y)dx
(x0,y0)
+Q(x,y)dy,通常设
曲面积分:
曲面积分:
对面积的曲面积分:
∫∫f(x,y,z)ds=
∑
∫∫f[x,y,z(x,y)]
Dxy
221+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy
对坐标的曲面积分:
∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:
∑
∫∫R(x,y,z)dxdy
∑
=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
Dxy
∫∫P(x,y,z)dydz
∑∑
=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
Dyz
∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正
Dzx
号。
两类曲面积分之间的关系:
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫
∑
∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
∑
高斯公式:
高斯公式:
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∫∫∫(x+y
P
Q
+
R)dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dsz∑∑
高斯公式的物理意义——通量与散度:
vPQRv散度:
divν=++,即:
单位体积内所产生的流体质量,若divν<0,则为消失...xyzvv通量:
Ands=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds,∫∫v因此,高斯公式又可写成:
divAdv=∫∫Ands∫∫∫
∑∑∑∑
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
——曲线积分与曲面积分的关系
∫∫(yz)dydz+(zx)dzdx+(x
∑
R
Q
P
R
Q
P)dxdy=∫Pdx+Qdy+RdzyΓcosβyQcosγzR