高等数学上册知识点总结Word格式文档下载.docx

1、单调有界数列必有极限 .3、 无穷小（大）量1） 定义：若 lim 0 则称为无穷小量；若 lim 则称为无穷大量 .2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小Th1 o（ ）;Th2 , ,lim 存在，则 lim lim （无穷小代换）4、 求极限的方法1） 单调有界准则；2） 夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性；4）两个重要极限：sinxb）a） lim 1x 0 x1x 1 xlim（1 x）x lim （1 ）x e x 0 x x5）无穷小代换：（ x 0 ）a）xsinx tanx arcsinx arctanx12b）1 cosx xc）ex 1

2、x （ax 1 xlna）xd）ln（1 x） x （ loga （1 x） ）lnae）（1 x） 1 x二、 导数与微分一）导数函数 f （x） 在 x0 点可导 f （x0） f （x0）2、 几何意义： f （x0） 为曲线 y f（x）在点 x0, f （x0） 处的切线 的斜率.f （x） 在 x0 点连3、 可导与连续的关系： f （x） 在 x0 点可导续4、 求导的方法1） 导数定义；2） 基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则） ；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7）对数求导法 .5、 高阶导数uv （n） Cnku（k）v（n k）k0二） 微分其中 A，

3、且 y f （x0 x） f （x0） A x o（ x） ， 与 x 无关 .2） 可 微 与 可 导 的 关 系 ： 可 微 可 导 dy f （x0） x f （x0）dx三、 微分中值定理与导数的应用一） 中 值定理1、 Rolle 定理：若函数 f（x） 满足：1） f（x） Ca,b ； 2） f （x） D（a,b） ； 3）f（a） f （b） ；则 （a,b）, 使f （ ） 0.2、 Lagrange 中值定理：1） f （x） Ca,b； 2 ） f（x） D（a,b）；则 （a,b）,使f （b） f（a） f （ ）（b a）.3、 Cauchy中值定理：若函数 f

4、（x）,F（x） 满足：1） f（x）,F（x） Ca,b； 2 ） f（x）,F（x） D（a,b）；3）F （x） 0,x （a,b）则 （a,b）, 使f （b） f （a） F（b） F（a）f（）F（）二） 洛必达法则注意 :1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达法则！如：1 x2 cosx lxim0 tan4 x2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用洛必达法则！n a n b n 如： lim n三） Taylor 公式n 阶 Taylor 公式：f （x） f （x0） f （x0）（x x0） f 2（!x0） （x x0）2在 x0与

5、x 之间.当 x0 0时，成为 n 阶麦克劳林公式：在0与 x之间.常见函数的麦克劳林公式：在0与 x 之间， x ；在 0 与 x 之间， x ；2 4 6 2m 2 cos 2mx x x m 1 x 2 cosx 1 （ 1）m 12! 4! 6! （2m 2）! （2m）!在 0 与 x 之间， 1 x 15）（1 x） 1 x （ 1）x2 （ 1）（ 2）x3 （ 1） （ n 1）xn1） （ n）（1 ） n 1n1x， 3! n!（n 1）!在 0 与 x 之间， 1 x 1.四） 单调性及极值1、 单调性判别法： f （x） Ca,b ， f （x） D（a,b） ，则若

6、f （x） 0，则 f （x） 单调增加；则若 f （x） 0 ，则 f （x）单调减少 .2、 极值及其判定定理：a）必要条件： f（x）在 x0可导，若 x0为 f （x）的极值点，则f （x0） 0.b）第一充分条件： f （x） 在 x0 的邻域内可导，且 f （x0） 0， 则若当 x x0时， f （x） 0，当 x x0时， f （x） 0， 则 x0为极大值点； 若当 x x0时， f （x） 0，当 x x0 时，f （x） 0，则 x0为极小值点； 若在 x0的两侧 f （x） 不变号，则 x0不是极值点 .c）第二充分条件： f （x） 在 x0处二阶可导，且 f （x0

7、） 0 ，f （x0） 0，则若 f （x0） 0，则 x0 为极大值点；若 f （x0） 0，则 x0为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）f （ x）在区间 I 上连续，若 x1,x2 I, f（x1 2x2） f（x1） 2 f（x2） 则 称 f（x） 在 区 间 I 上 的 图 形 是 凹 的 ； 若 x1,x2 I, f（x1 2x2） f（x1） 2 f（x2），则称 f（x）在区间 I 上 的图形是凸的 .2）判定定理： f （x）在a,b上连续，在（a,b）上有一阶、二阶导数，a） 若 x （a,b）, f （x） 0 ,则 f （x）在a,b上的图形是凹的；b） 若 x

8、 （a,b）, f （x） 0 , 则 f （x） 在 a,b 上的图形是凸 的.3）拐点：设 y f （x）在区间 I 上连续， x0是 f （x）的内点，如果 曲线 y f （ x）经过点 （x0, f （x0） 时，曲线的凹凸性改变了， 则 称点 （x0, f （x0） 为曲线的拐点 .五） 不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值） .六）方程根的讨论连续函数的介值定理；Rolle 定理；函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.七）渐近线铅直渐近线： lim f （x）xa水平渐近线：f（x）斜渐 近线： lximxxy kx b 为一条斜渐近线.，则

9、x a 为一条铅直渐近线； b ，则 y b 为一条水平渐近线； k lxim f （x） kx b 存在， 则八） 图形描绘步骤 :1.确定函数 的定义域，并考察其对称性及周期性；2.求 并求出 及 为零和不存在的点；3. 列表判别函数的增减及曲线的凹向 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 ;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .四、 不定积分（一） 概 念和性质1、 原函数：在区间 I 上，若函数 F（x） 可导，且 F （x） f（x） ， 则 F（x） 称为 f （x） 的一个原函数 .2、 不定积分：在区间 I 上，函数 f（x） 的带有任意常数的原函 数称为 f （x） 在区

10、间 I 上的不定积分 .3、 基本积分表（ P188， 13 个公式）；4、 性质（线性性） .（二） 换元积分法1、 第 一 类 换 元 法 （ 凑 微 分 ） ：2、 第 二 类 换 元 法 （ 变 量 代 换 ）三） 分部积分法： udv uv vdu4）有理函数积分1 、“拆”；2 、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、 定积分（一） 概 念与性质：1、 定义：bnf （x）dx lim f （ i） xia 0 i 1 i i2、 性质：（7条）性质 7 （积分中值定理） 函数 f （x） 在区间 a,b 上连续，则ba,b ， 使 a f （x）dx f （ ）（b a）

11、（ 平 均 值 ：af （x）dx aba二） 微 积分基本公式（ N L 公式）1、 变上限积分：设 （x） a f （t）dt ，则 （x） f （x） ad （x）推广： （x） f （t）dt f （x） （x） f （x） （x） dx （x）2、 N L 公 式 ： 若 F（x） 为 f （x） 的 一 个 原 函 数 ， 则a f （x）dx F（b） F （a） af （x）dx lim f （x）dx （b 为瑕点）a t b a两个重要的反常积分：2）六、 定积分的应用一） 平面图形的面积二） 体积1、 旋转体体积：a）曲边梯形 y f （x）, x a,x b,x 轴，绕

12、 x 轴旋转而成的2旋转体的体积： Vx a f 2 （x）dxb） 曲边梯形 y f （x）, x a,x b,x轴，绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积： Vy a 2 xf （x）dx （柱壳法 ） a2、 平行截面面积已知的立体： V a A（x）dx a三）弧长1、 直角坐标： s a 1 f （x） 2 dx2、 参数方程： s （t） 2 （t） 2 dt223、 极坐标： s （ ） （ ） d七、 微分方程（一） 概 念1、 微分方程：表示未知函数、 未知函数的导数及自变量之间关 系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、 解：使微分方程成为恒等式的函数 .

13、通解： 方程的解中含有任意的常数， 且常数的个数与微分方 程的阶数相同 .特解：确定了通解中的任意常数后得到的解二） 变 量可分离的方程g（y）dy f（x）dx，两边积分 g（y）dy f （x）dx3）齐次型方程dy（y） ，设 uy，dy 则du u x ；dx则 dxdx ；dv或 dy（ ） ，设 v y则 dyvy四） 一 阶线性微分方程dy P（x）y Q（x） dx用常数变易法或用公式：P（x）dx P（x）dxy e Q（x）e dx C5）可降阶的高阶微分方程1、 y（n） f （x） ，两边积分 n 次；2、 y f（x,y） （不显含有 y ），令 y p ，则 y p

14、 ；dp3、 y f（y,y） （不显含有 x ），令 y p，则 y pdy6）线 性微分方程解的结构1、 y1,y2 是齐次线性方程的解，则 C1y1 C2y2 也是；2、 y1,y2 是齐次线性方程的线性无关的特解， 则 C1y1 C2y2 是方程的通解；3、y C1y1 C2y2 y* 为非齐次方程的通解， 其中 y1,y2为对应齐次方程的线性无关的解， y* 非齐次方程的特解 .七） 常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程： y py qy 0特征方程： r2 pr q 0 ，特征根：特征根通解实根r1 x r2 xy C1e C2ey （C1 C2x）er1xy e x（C1 cos x C2 sin x）八） 常系数非齐次线性微分方程y py qy f（x）1、 f （x） e xPm（x）0, 不是特征根设特解 y* xke xQm（x） ，其中 k 1, 是一个单根2, 是重根2、 f （x） e x Pl （x）cos x Pn （ x） sin xxke x Rm（1） （x） cos x Rm（2） （ x） sin x ，0, i 不是特征根k1, i 是特征根