(1)求过点C、B、D的抛物线的解析式;
(2)若P是
(1)所求抛物线的顶点,H是这条抛物线上异于点C的另一点,且△HBD和△CBD的积相等,求直线PH的解析式.
2.(2005,绵阳市)如图,在平行四边形ABCD中,AD=4cm,∠A=60°,BD⊥AD.一动点P从A出发,以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动,过点P作直线PM,使PM⊥AD.
(1)当点P运动2秒时,设直线PM与AD相交于点E,求△APE的面积;
(2)当点P运动2秒时,另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动,在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN,使QN∥PM.设点Q运动的时间t秒(0≤t≤10),直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式;②(附加题)求S的最大值.
3.(2005,山西课改区)矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,3),直线y=x与BC边相交于点D.
(1)求点D的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点,试确定此抛物线的表达式;
(3)P为x轴上方,
(2)中抛物线上一点,求△POA面积的最大值;
(4)设
(2)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点Q为对称轴上一动点,以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的Q点的坐标.
4.(2005,沪州市)如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴分别相交于A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,其顶点为D.注:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(,).
(1)求:
经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)求四边形ABDC的面积;
(3)试判断△BCD与△COA是否相似?
若相似写出证明过程;若不相似,请说明理由.
考前热身训练
1.已知一抛物线经过O(0,0),B(1,1)两点,如图,且二次项系数为-(a>0).
(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示);
(2)已知点A(0,1),若抛物线与射线AB相交于点M,与x轴相交于点N(异于原点),求M,N的坐标(用含a的代数式表示);
(3)在
(2)的条件下,当a在什么范围内取值时,ON+BN的值为常数?
当a在什么范围内取值时,ON-OM的值也为常数?
2.现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元.
(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x的函数关系式;
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨或乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨或乙种货物35吨,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?
(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?
最少运费多少元?
3.已知抛物线y=x2-x+k与x轴有两个不同的交点.
(1)求k的取值范围;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点,且点A在原点的左侧,抛物线与y轴交于点C,若OB=2.OC,求抛物线的解析式和顶点D的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线上是否存在点P(点D除外),使得以A、B、P三点为顶点的三角形与△ABD相似?
如果存在,求出P点坐标;如果不存在,请说明理由.
4.在全国抗击“非典”的斗争中,黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战,终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素.据临床观察:
如果成人按规定的剂量注射这种抗生素,注射药物后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似地满足如图所示的折线.
(1)写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量取值范围;
(2)据临床观察:
每毫克血液中含药量不少于4微克时,控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定的剂量注射该药液后,那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效?
这个有效时间有多长?
(3)假若某病人一天中第一次注射药液是早上6点钟,问怎样安排此人从6:
00~20:
00注射药液的时间,才能使病人的治疗效果最好?
答案:
中考样题看台
1.
(1)由△=(m-4)2+4(2m+4)=m2+32>0
得m1=2,m2=7(舍去),x1=-4,x2=2得A、B、C坐标为:
A(-4,0),B(2,0),C(0,8),所求抛物线的解析式为:
y=x2-6x+8
(2)∵y=x2-6x+8=(x-3)2-1,
∴顶点P(3,-1),设点H的坐标为(x0,y0),
∵△BCD与△HBD的面积相等,∴│y0│=8,
∵点H只能在x轴上方,故y0=8,求得H(6,8),直线PH解析式为y=3x-10.
2.
(1)当点P运动2秒时,AB=2cm,由∠=60°,知AE=1,PE=,
∴S△APE=(cm)2.
(2)①当0≤t≤6时,点P与点Q都在AB上运动,
设PM与AD交于点G,ON与AD交于点F,则AQ=t,AF=,QF=t,AP=t+2
AG=1+,BG=+t.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+.
当6≤t≤8时,点P在BC上运动,点Q仍在AB上运动,
设PM与DC交于点G,QN与AD交于点F,则AQ=t,AF=,DF=4-.
QF=t,BP=t-6,CP=10-t,
PG=(10-t).
而BD=4,故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t2+10-34.
当8≤t≤10时,点P和点Q都在BC上运动,设PM与DC交于点G.
QN与DC交于点F,则CQ=20-2t,
QF=(20-2t),CP=10-t,PG=(10-t).
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t--30+150,
故S关于t的函数关系式为
S=
②(附加题)当0≤t≤6,S的最大值为;
当6≤t≤8时,S的最大值为6;当8≤t≤10时,S的最大值为6;
所以当t=8时,S有最大值为6.
3.
(1)由题知,直线y=x与BC交于点D(x,3),
把y=3代入y=x中得,x=4,∴D(4,3).
(2)∵抛物线y=ax2+bx经过D(4,3),A(6,0)两点.
把x=4,y=3;x=6,y=0,分别代入y=ax2+bx中得,
解之得
∴抛物线的解析式为:
y=-x2+x.
(3)因△POA底边OA=6,∴S△POA有最大值时,点P须位于抛物线的最高点.
∵a=-<0,∴抛物线顶点恰为最高点.
∵==.
∴S的最大值=×6×=.
(4)抛物线的对称轴与x轴的交点Q1,符合条件,
∵CB∥OA,∠Q1OM=∠CDO
∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO,x=-=3,该点坐标为Q1(3,0).
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2,
∵对称轴平行于y轴
∴∠Q2MO=∠DOC,
∴Rt△Q2OM∽Rt△CDO.
在Rt△Q2Q1O与Rt△DCO中,
Q1O=CO=3,∠Q2=∠ODC,
∴RtQ2Q1O≌Rt△DCO,∴CD=Q1Q2=4.
∵点Q2位于第四象限,∴Q2(3,-4).
因此,符合条件的点有两个,分别是Q1(3,0),Q2(3,-4)
4.
(1)由题意,得解之,得
∴y=-x2+2x+3
(2)由
(1)可知y=-(x)2+4
∴顶点坐标为D(1,4)
设其对称轴与x轴的交点为E
∵S△AOC=│AO│·│OC│=×1×3=
S梯形OEDC=(│DC│+│DE│)×│OE│=(3+4)×1=
S△DEB=│EB│·│DE│=×2×4=4
S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=++4=9
(3)△DCB与△AOC相似.
证明:
过点D作y轴的垂线,垂足为F
∵D(1,4),∴Rt△DFC中,DC=,且∠DCF=450167
在Rt△BOC中,∠OCB=45°,BC=3
∴∠AOC=∠DCB=90°,=
∴△DCB∽△AOC
考前热身训练
1.
(1)y=-x2+(1+)x
(2)M(a,1),N(a+1,0)
(3)∵ON=a+1,BM=│a-1│
∴ON+BM=a+1+│a-1│=
∴当0又∵ON-BM=a+1-│1-a│=
∴当a≥1时,ON-BM为常数
2.
(1)设用A型车厢x节,则B型车厢(40-x)节,总运费为y万元,
则y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32.
(2)由题知
解之得24≤x≤26.
∵x取整数