十字相乘法进行因式分解详案Word格式.docx
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拆两头,凑中间”,
这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂,因此,一般要借助“画十字交叉线”的
办法来确定•学习时要注意符号的规律•为了减少尝试次数,使符号问题简单化,当二次项系数为负数时,
先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项;
常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号
与一次项系数的符号相同;
常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大
的一组与一次项系数的符号相同•用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现:
一是没有认真
地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;
二是由十字相乘写出的因式漏写字母•如:
5x6xy_8y=(x2)(5x-4)
3•因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤:
先考虑能否提公因式,再考虑能否运用公式或十字相乘法,最后考虑分组
分解法•对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行•以上步骤可用口诀概括如下:
“首
先提取公因式,然后考虑用公式、十字相乘试一试,分组分解要合适,四种方法反复试,结果应是乘积式”•
【典型热点考题】
例1把下列各式分解因式:
222
(1)x-2x-15;
(2)x-5xy6y•
点悟:
(1)常数项—15可分为3X(—5),且3+(-5)=-2恰为一次项系数;
(2)将y看作常数,转化为关于x的二次三项式,常数项6y2可分为(—2y)(—3y),而(—2y)+(—3y)=(—
5y)恰为一次项系数.
解:
(1)x2-2x-15=(x3)(x-5);
(2)X2-5xy6y2=(X-2y)(x-3y)•
例2把下列各式分解因式:
(1)2x2-5x-3;
(2)3x28x-3•
我们要把多项式ax2-bx-c分解成形如(a%•cj(ax2*c2)的形式,这里a1a^a,qc2=c而
a1C2■a2g=b•
解:
(1)2x2-5x-3=(2x1)(x-3);
(2)3x28x_3=(3x_1)(x3).
点拨:
二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时,二次项系数的分解和常数项的分解随机性
较大,往往要试验多次,这是用十字相乘法分解的难点,要适当增加练习,积累经验,才能提高速度和准确性.
例3把下列各式分解因式:
(1)x4-10x29;
(2)7(xy)3_5(xy)2_2(xy);
(3)(a28a)222(a28a)120.
(1)把x2看作一整体,从而转化为关于x2的二次三项式;
(2)提取公因式(x+y)后,原式可转化为关于(x+y)的二次三项式;
(3)以(a28a)为整体,转化为关于(a2,8a)的二次三项式.
(1)x4「10x29=(x2—1)(x2「9)
=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).
(2)7(xy)3「5(xy)2-2(xy)
=(xy)[7(xy)2-5(xy)-2]
=(x+y)[(x+y)-1][7(x+y)+2]
=(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2).
(3)(a28a)222(a28a)120
=(a8a12)(a8a10)
=(a2)(a6)(a28a10)
要深刻理解换元的思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止.
例4分解因式:
(x2,2x-3)(x2,2x-24)・90.
把x22x看作一个变量,利用换元法解之.
设x22x=y,则
原式=(y—3)(y—24)+90
二y-27y162
=(y—i8)(y—9)
=(x22x_18)(x22x_9).
本题中将x22x视为一个整体大大简化了解题过程,体现了换元法化简求解的良好效果•此外,
y-27y*162=(y-18)(y-9)一步,我们用了“十字相乘法”进行分解.
例5分解因式6x45x^38x25x6.
可考虑换元法及变形降次来解之.
原式二x2[6(x2A)5(x丄)-38]
xx
2121
=x2[6(x-)25(x—)-50],
1
令xy,则
x
原式二x2(6y25y一50)
=x2(2y-5)(3y10)
223
=x(2x5)(3x—10)
=(2x-5x2)(3x10x3)
=(x-2)(2x-1)(x3)(3x1).
但是,
本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时,还应用了换元法,方法巧妙,令人眼花瞭乱.
品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”,这是一个重要环节.
例6分解因式x2—2xy■y2—5x*5y—6.
方法1:
依次按三项,两项,一项分为三组,转化为关于(x—y)的二次三项式.
方法2:
把字母y看作是常数,转化为关于x的二次三项式.
解法1:
x2-2xyy2_5x5y_6
=(x-2xyy)(-5x5y)-6
=(x_y)_5(x_y)-6
=(x-y1)(x-y-6).
解法2:
x2_2xyy2_5x5y一6
二x_(2y5)xy5y_6
=x-(2y5)x(y6)(y-1)
<
x-(y6)][x-(y-1)]
=(x—y-6)(x-y+1).
例7分解因式:
ca(c—a)+bc(b—c)+ab(a—b).
先将前面的两个括号展开,再将展开的部分重新分组.
ca(c—a)+bc(b—c)+ab(a—b)
2222
=ac-acbc-bcab(a-b)
=c(a_b)_c(a-b)ab(a-b)
二c2(a_b)_c(ab)(a_b)ab(a_b)
=(a_b)[c-c(ab)ab]
=(a—b)(c—a)(c—b).
因式分解,有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组,有时仅需要把某几项展开再分组•此
题展开四项后,根据字母c的次数分组,出现了含a—b的因式,从而能提公因式•随后又出现了关于c的
二次三项式能再次分解.
422
例8已知x6xx12有一个因式是xax4,求a值和这个多项式的其他因式.
个因式是x2bx3(a、b是待定常数),故有x46x2x1^=(x2ax4)(x2bx3).根据此
恒等关系式,可求出a,b的值.
设另一个多项式为x2亠bx亠3,则
42
x6xx12
=(xax4)(xbx3)
43
=x(ab)x(34-ab)x(3a4b)x12,
4243
•••x6xx12与x-(ab)x(34-ab)x-(3a-4b)x12是同一个多项式,所以其对应项
系数分别相等.即有
a+Z?
=0F①
£
3+4+ab=6r②
%+4占=1.③
由①、③解得,a=—1,b=1,
代入②,等式成立.
•••a=—1,另一个因式为x2x3.
这种方法称为待定系数法,是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方
法,在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.
【易错例题分析】
例9分解因式:
5a2b223aby-10y2.
错解:
•/—10=5X(—2),5=1X5,
5X5+1X(—2)=23,
•原式=(5ab+5y)(—2ab+5y).
警示:
错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.
正解:
•/5=1X5,—10=5X(—2),「5X5+1X(—2)=23.
•原式=(ab+5y)(5ab—2y).
【同步练习】
、选择题
1.如果x?
「pxq=(xa)(xb),那么p等于()
A.abB.a+bC.—abD.—(a+b)
2.如果x(ab)x5b=x-x-30,贝Ub为()
A.5B.—6C.—5D.6
3.多项式x2-3x•a可分解为(x—5)(x—b),贝Va,b的值分别为()
A.10和一2B.—10和2C.10和2D.—10和一2
4.不能用十字相乘法分解的是()
A.xx-2B.3x-10x3x
C.4xx2D.5x-6xy-8y
5.分解结果等于(x+y—4)(2x+2y—5)的多项式是()
A.2(xy)2-13(xy)20
B.(2x2y)-13(xy)20
C.2(xy)213(xy)20
D.2(xy)2-9(xy)20
6.将下述多项式分解后,有相同因式x—1的多项式有()
①x2-7x6;
②3x2x-1;
③x5x「6;
④4x2-5x-9;
⑤15x-23x8;
⑥x
11x-12
A.2个
B.3个C.4个
D.
5个
二、填空题
7.x+3x-10=.
&
m5m-6=(m+a)(m+b).
a=,b=.
9.2x-5x-3=(x—3)().
10.x+-2y=(x—y)().
2n2
11.a2+—a+(___)=+).
m
12•当k=时,多项式3x2+7x—k有一个因式为().
173223
13.若x—y=6,xv=—,则代数式xy—2xy+xy的值为
6
三、解答题
14.把下列各式分解因式:
(1)
x-7x26;
(2)
x—5x—36;
(3)
4x4-65x2y216y4;
(4)
6336
a-7ab-8b;
(5)
6a4_5a_4a2;
(6)
4a-37a4b29a2b4
15.把下列各式分解因式:
22222
(1)(x-3)-4x;
(2)x(x-2)-9;
(3)(3x22x1)2-(2x23x3)2;
(4)(x2x)2-17(x2x)60;
(5)(x22x)2-7(x22x)-8;
(6)(2ab)2「14(2ab)48.
16.把下列各式分解因式:
(1)(a-b)x22axab;
(2)x2-(p2q2)xpq(pq)(p-q);
(3)x2-2xy-3y22x10y-8;
(4)4x2-4xy-3y2—4x10y-3;
(5)(x23x2)(x27x12^120;
(6)(x2xyy2)(x2xy2y2)-12y4.
32
9.2x+1
17.已知2x-7x-19x60有因式2x—5,把它分解因式.
nn
10.xy,x+2y11.2,a,
4m2m
12.-2,3x+1或x+213.17
14.
(1)原式二(x-1)(x-6)
=(x1)(x-1)(x2-6)
(2)原式=(x2—9)(x24)
-(x3)(x-3)(x4)
(3)原式=(4x2「y2)(x2—16y2)
=(2xy)(2x-y)(x4y)(x-4y)
(4)原式=(a3-8b3)(a3b3)
=(a-2b)(a22ab4b2)(ab)(a2-abb2)
(5)原式二a2(6a2-5a-4)
-a(2a1)(3a-4)
(6)原式=a2(4a4-37a2b29b4)
二a2(4a2-b2)(a2-9b2)
二a2(2ab)(2a-b)(a3b)(a-3b)
15.
(1)原式=(x-3-2x)(x-32x)
-(x-3)(x1)(x3)(x-1)
(2)原式二[x(x-2)-3][x(x-2)3]
=(x2_2x_3)(x2_2x3)
=(x-3)(x1)(x2-2x3)
(3)原式=(3x22x12x23x3)(3x22x1-2x2-3x-3)
=(5x5x4)(x-2)(x1)
(4)原式=(x2x-12)(x2x-5)
=(x4)(x_3)(x2x_5)
(5)原式=(x22x-8)(x22x1)
=(x-2)(x4)(x1)
(6)原式=(2a-「b—6)(2a:
-b—8)
16.
(1)原式二[(a-b)xab](x1)
(2)原式工[x一p(p_q)][x—q(pq)]
=(x—p2pq)(x一pq-q2)
(3)原式二x2—(2y—2)x—(3y2—10y8)
二x_(2y_2)x_(3y_4)(y_2)
=[x-(3y-4)][xy-2]
=(x-3y4)(xy-2)
(4)原式=4x2-4(y1)x_3y210y_3
-4x2-4(y1)x-(3y-1)(y-3)
=(2x-3y1)(2xy-3)
(5)原式-(x1)(x2)(x3)(x4)-120
=(x25x6)(x25x4)-120
=(x25x5)2-1-120
^(x25x511)(x25x5-11)
=(X25x16)(X25x-6)
=(x5x16)(x-1)(x6)
(6)原式=(x2xyy2)2y2(x2xyy2)-12y4
=(x2xyy24y2)(x2xyy2-3y2)
=(x2xy5y2)(x2xy「2y2)
=(xxy5y)(x-y)(x2y)
t32,_=_
17•提示:
(2x-7x-19x60)(2x-5)
二x?
-x「12二(x「4)(x3)
3322
18.•••xy(xy)(x-xyy)
=(xy)[(xy)-3xy],
又;
xy=2,xy=a+4,
332
xy=26,二2[2-3(a4)]=26,
解之得,a=—7.