十字相乘法进行因式分解详案Word格式.docx
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拆两头，凑中间”，
这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的
办法来确定•学习时要注意符号的规律•为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，
先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号
与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大
的一组与一次项系数的符号相同•用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：
一是没有认真
地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；
二是由十字相乘写出的因式漏写字母•如：
5x6xy_8y=（x2）（5x-4）
3•因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：
先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组
分解法•对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行•以上步骤可用口诀概括如下：
“首
先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”•
【典型热点考题】
例1把下列各式分解因式：
222
（1）x-2x-15；
（2）x-5xy6y•
点悟：
（1）常数项—15可分为3X（—5），且3+（-5）=-2恰为一次项系数；
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为（—2y）（—3y），而（—2y）+（—3y）=（—
5y）恰为一次项系数.
解：
（1）x2-2x-15=（x3）（x-5）；
（2）X2-5xy6y2=（X-2y）（x-3y）•
例2把下列各式分解因式：
（1）2x2-5x-3；
（2）3x28x-3•
我们要把多项式ax2-bx-c分解成形如（a%•cj（ax2*c2）的形式，这里a1a^a,qc2=c而
a1C2■a2g=b•
解:
（1）2x2-5x-3=（2x1）（x-3）；
（2）3x28x_3=（3x_1）（x3）.
点拨：
二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性
较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.
例3把下列各式分解因式：
（1）x4-10x29；
（2）7（xy）3_5（xy）2_2（xy）；
（3）（a28a）222（a28a）120.
（1）把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；
（2）提取公因式（x+y）后，原式可转化为关于（x+y）的二次三项式；
（3）以（a28a）为整体，转化为关于（a2，8a）的二次三项式.
（1）x4「10x29=（x2—1）（x2「9）
=（x+1）（x-1）（x+3）（x-3）.
（2）7（xy）3「5（xy）2-2（xy）
=（xy）[7（xy）2-5（xy）-2]
=（x+y）[（x+y）-1][7（x+y）+2]
=（x+y）（x+y-1）（7x+7y+2）.
（3）（a28a）222（a28a）120
=（a8a12）（a8a10）
=（a2）（a6）（a28a10）
要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止.
例4分解因式：
（x2，2x-3）（x2，2x-24）・90.
把x22x看作一个变量，利用换元法解之.
设x22x=y，则
原式=（y—3）（y—24）+90
二y-27y162
=（y—i8）（y—9）
=（x22x_18）（x22x_9）.
本题中将x22x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果•此外，
y-27y*162=（y-18）（y-9）一步，我们用了“十字相乘法”进行分解.
例5分解因式6x45x^38x25x6.
可考虑换元法及变形降次来解之.
原式二x2[6（x2A）5（x丄）-38]
xx
2121
=x2[6（x-）25（x—）-50],
1
令xy，则
x
原式二x2（6y25y一50）
=x2（2y-5）（3y10）
223
=x（2x5）（3x—10）
=（2x-5x2）（3x10x3）
=（x-2）（2x-1）（x3）（3x1）.
但是,
本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.
品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节.
例6分解因式x2—2xy■y2—5x*5y—6.
方法1:
依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于（x—y）的二次三项式.
方法2：
把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式.
解法1:
x2-2xyy2_5x5y_6
=（x-2xyy）（-5x5y）-6
=（x_y）_5（x_y）-6
=（x-y1）（x-y-6）.
解法2：
x2_2xyy2_5x5y一6
二x_（2y5）xy5y_6
=x-（2y5）x（y6）（y-1）
<
x-（y6）][x-（y-1）]
=（x—y-6）（x-y+1）.
例7分解因式：
ca（c—a）+bc（b—c）+ab（a—b）.
先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.
ca（c—a）+bc（b—c）+ab（a—b）
2222
=ac-acbc-bcab（a-b）
=c（a_b）_c（a-b）ab（a-b）
二c2（a_b）_c（ab）（a_b）ab（a_b）
=（a_b）[c-c（ab）ab]
=（a—b）（c—a）（c—b）.
因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组•此
题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a—b的因式，从而能提公因式•随后又出现了关于c的
二次三项式能再次分解.
422
例8已知x6xx12有一个因式是xax4，求a值和这个多项式的其他因式.
个因式是x2bx3（a、b是待定常数），故有x46x2x1^=（x2ax4）（x2bx3）.根据此
恒等关系式，可求出a,b的值.
设另一个多项式为x2亠bx亠3，则
42
x6xx12
=（xax4）（xbx3）
43
=x（ab）x（34-ab）x（3a4b）x12,
4243
•••x6xx12与x-（ab）x（34-ab）x-（3a-4b）x12是同一个多项式，所以其对应项
系数分别相等.即有
a+Z?
=0F①
£
3+4+ab=6r②
%+4占=1.③
由①、③解得，a=—1,b=1,
代入②，等式成立.
•••a=—1,另一个因式为x2x3.
这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方
法，在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.
【易错例题分析】
例9分解因式：
5a2b223aby-10y2.
错解：
•/—10=5X（—2）,5=1X5,
5X5+1X（—2）=23,
•原式=（5ab+5y）（—2ab+5y）.
警示：
错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.
正解：
•/5=1X5,—10=5X（—2）,「5X5+1X（—2）=23.
•原式=（ab+5y）（5ab—2y）.
【同步练习】
、选择题
1.如果x?
「pxq=（xa）（xb），那么p等于（）
A.abB.a+bC.—abD.—（a+b）
2.如果x（ab）x5b=x-x-30，贝Ub为（）
A.5B.—6C.—5D.6
3.多项式x2-3x•a可分解为（x—5）（x—b）,贝Va,b的值分别为（）
A.10和一2B.—10和2C.10和2D.—10和一2
4.不能用十字相乘法分解的是（）
A.xx-2B.3x-10x3x
C.4xx2D.5x-6xy-8y
5.分解结果等于（x+y—4）（2x+2y—5）的多项式是（）
A.2（xy）2-13（xy）20
B.（2x2y）-13（xy）20
C.2（xy）213（xy）20
D.2（xy）2-9（xy）20
6.将下述多项式分解后，有相同因式x—1的多项式有（）
①x2-7x6；
②3x2x-1；
③x5x「6；
④4x2-5x-9；
⑤15x-23x8;
⑥x
11x-12
A.2个
B.3个C.4个
D.
5个
二、填空题
7.x+3x-10=.
&
m5m-6=（m+a）（m+b）.
a=,b=.
9.2x-5x-3=（x—3）（）.
10.x+-2y=（x—y）（）.
2n2
11.a2+—a+（___）=+）.
m
12•当k=时，多项式3x2+7x—k有一个因式为（）.
173223
13.若x—y=6,xv=—，则代数式xy—2xy+xy的值为
6
三、解答题
14.把下列各式分解因式：
（1）
x-7x26；
（2）
x—5x—36;
（3）
4x4-65x2y216y4；
（4）
6336
a-7ab-8b；
（5）
6a4_5a_4a2；
（6）
4a-37a4b29a2b4
15.把下列各式分解因式：
22222
（1）（x-3）-4x；
（2）x（x-2）-9；
（3）（3x22x1）2-（2x23x3）2；
（4）（x2x）2-17（x2x）60；
（5）（x22x）2-7（x22x）-8；
（6）（2ab）2「14（2ab）48.
16.把下列各式分解因式：
（1）（a-b）x22axab；
（2）x2-（p2q2）xpq（pq）（p-q）;
（3）x2-2xy-3y22x10y-8；
（4）4x2-4xy-3y2—4x10y-3；
（5）（x23x2）（x27x12^120；
（6）（x2xyy2）（x2xy2y2）-12y4.
32
9.2x+1
17.已知2x-7x-19x60有因式2x—5,把它分解因式.
nn
10.xy,x+2y11.2，a,
4m2m
12.-2,3x+1或x+213.17
14.
（1）原式二（x-1）（x-6）
=（x1）（x-1）（x2-6）
（2）原式=（x2—9）（x24）
-（x3）（x-3）（x4）
（3）原式=（4x2「y2）（x2—16y2）
=（2xy）（2x-y）（x4y）（x-4y）
（4）原式=（a3-8b3）（a3b3）
=（a-2b）（a22ab4b2）（ab）（a2-abb2）
（5）原式二a2（6a2-5a-4）
-a（2a1）（3a-4）
（6）原式=a2（4a4-37a2b29b4）
二a2（4a2-b2）（a2-9b2）
二a2（2ab）（2a-b）（a3b）（a-3b）
15.
（1）原式=（x-3-2x）（x-32x）
-（x-3）（x1）（x3）（x-1）
（2）原式二[x（x-2）-3][x（x-2）3]
=（x2_2x_3）（x2_2x3）
=（x-3）（x1）（x2-2x3）
（3）原式=（3x22x12x23x3）（3x22x1-2x2-3x-3）
=（5x5x4）（x-2）（x1）
（4）原式=（x2x-12）（x2x-5）
=（x4）（x_3）（x2x_5）
（5）原式=（x22x-8）（x22x1）
=（x-2）（x4）（x1）
（6）原式=（2a-「b—6）（2a：
-b—8）
16.
（1）原式二[（a-b）xab]（x1）
（2）原式工[x一p（p_q）][x—q（pq）]
=（x—p2pq）（x一pq-q2）
（3）原式二x2—（2y—2）x—（3y2—10y8）
二x_（2y_2）x_（3y_4）（y_2）
=[x-（3y-4）][xy-2]
=（x-3y4）（xy-2）
（4）原式=4x2-4（y1）x_3y210y_3
-4x2-4（y1）x-（3y-1）（y-3）
=（2x-3y1）（2xy-3）
（5）原式-（x1）（x2）（x3）（x4）-120
=（x25x6）（x25x4）-120
=（x25x5）2-1-120
^（x25x511）（x25x5-11）
=（X25x16）（X25x-6）
=（x5x16）（x-1）（x6）
（6）原式=（x2xyy2）2y2（x2xyy2）-12y4
=（x2xyy24y2）（x2xyy2-3y2）
=（x2xy5y2）（x2xy「2y2）
=（xxy5y）（x-y）（x2y）
t32,_=_
17•提示：
（2x-7x-19x60）（2x-5）
二x?
-x「12二（x「4）（x3）
3322
18.•••xy（xy）（x-xyy）
=（xy）[（xy）-3xy],
又；
xy=2,xy=a+4,
332
xy=26，二2[2-3（a4）]=26,
解之得，a=—7.
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