十字相乘法进行因式分解详案Word格式.docx

1、拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是 1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交 叉相 乘的两 个积 的和是 否等于一次 项系 数；二是由十字相 乘写出的因 式漏 写字母如：5x 6xy

2、_8y =（x 2）（5x-4）3 因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤： 先考虑能否提公因式， 再考虑能否运用公式或十字相乘法， 最后考虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概括如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式” 【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：2 2 2（1） x -2x -15 ； （2） x -5xy 6y 点悟：（1 ）常数项15可分为3 X （ 5），且3 + （-5） =- 2恰为一次项系数；（2）将y看作常数，转化为关于 x的二次三项式，常数项

3、 6y2可分为（2y）（ 3y），而（2y） + （ 3y）=（5y）恰为一次项系数.解：（1） x2 -2x-15 = （x 3）（x-5）；（2）X2 -5xy 6y2 =（X-2y）（x-3y） 例2把下列各式分解因式：（1） 2x2 -5x -3 ； （2） 3x2 8x -3 我们要把多项式 ax2 - bx - c分解成形如（a% cj（ax2 * c2）的形式，这里 a1aa , qc2 = c而a1 C2 a2 g = b 解: （1） 2x2-5x-3 =（2x 1）（x-3）；（2）3x2 8x _3 = （ 3x _ 1）（ x 3）.点拨：二次项系数不等于1的二次三项式

4、应用十字相乘法分解时， 二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：（1）x4 -10x2 9 ；（2）7（x y）3 _5（x y）2 _2（x y）；（3）（a2 8a）2 22（a2 8a） 120.（1 ）把x2看作一整体，从而转化为关于 x2的二次三项式；（2）提取公因式（x+ y）后，原式可转化为关于（x+ y）的二次三项式；（3） 以（a2 8a）为整体，转化为关于（a2，8a）的二次三项式.（1） x410x2 9 = （x21）（x29）=（x+ 1）（x- 1）

5、（x+ 3）（x- 3）.（2）7（x y）35（x y）2 -2（x y）=（x y）7（x y）2 -5（x y） -2=（x+ y）（x+ y） - 17（x + y） + 2=（x+ y）（x+ y- 1）（7x+ 7y + 2）.（3）（a2 8a）2 22（a2 8a） 120=（a 8a 12）（a 8a 10）=（a 2）（a 6）（a2 8a 10）要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构 成二次三项式，以顺利地进行分解.同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再 分解为止.例 4 分解因式：（x2，2x

6、-3）（x2，2x-24）90 .把x2 2x看作一个变量，利用换元法解之.设x2 2x =y，则原式=（y 3）（y 24）+ 90二 y -27y 162=（y i8）（y 9）= （x2 2x _18）（x2 2x _9）.本题中将x2 2x视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外，y -27y *162 =（y-18）（y -9） 一步，我们用了 “十字相乘法”进行分解.例5分解因式6x4 5x 38x2 5x 6.可考虑换元法及变形降次来解之.原式二 x26（x2 A） 5（x 丄）-38x x2 1 2 1= x26（x -）2 5（x ）-50,1令x

7、y，则x原式二 x2（6y2 5y 一50）= x2（2y -5）（3y 10）2 2 3=x （2x 5）（3x 10）= （2x -5x 2）（3x 10x 3）=（x -2）（2x -1）（x 3）（3x 1）.但是,本题连续应用了 “十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱.品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原” ，这是一个重要环节.例 6 分解因式 x2 2xy y2 5x * 5y 6 .方法1:依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于 （x y）的二次三项式.方法2：把字母y看作是常数，转化为关于 x的二次三项式.解法 1: x2 -2xy y

8、2 _5x 5y _6=（x -2xy y ） （-5x 5y） -6=（x _y） _5（x_y） -6=（x -y 1）（x -y -6）.解法 2： x2 _2xy y2 _5x 5y 一6二 x _（2y 5）x y 5y _6=x -（2y 5）x （y 6）（y -1）x-（y 6） x-（y-1）=（x y-6）（x- y+ 1）.例 7 分解因式：ca（c a）+ bc（b c） + ab（a b）.先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组.ca（c a） + bc（b c） + ab（a b）2 2 2 2=ac -ac bc-bc ab（a-b）=c （a _b） _

9、c（a -b ） ab（a -b）二c2（a _b） _c（a b）（a _b） ab（a _b）=（a _b）c -c（a b） ab=（a b）（c a）（c b）.因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组此题展开四项后，根据字母 c的次数分组，出现了含 ab的因式，从而能提公因式随后又出现了关于 c的二次三项式能再次分解.4 2 2例8已知x 6x x 12有一个因式是x ax 4，求a值和这个多项式的其他因式. 个因式是x2 bx 3 （a、b是待定常数），故有x4 6x2 x 1 = （x2 ax 4） （x2 bx 3）.根据此恒等关系式

10、，可求出 a, b的值.设另一个多项式为x2亠bx亠3，则4 2x 6x x 12=（x ax 4）（ x bx 3）4 3=x （a b）x （3 4- ab）x （3a 4b）x 12 ,4 2 4 3 x 6x x 12与x - （a b）x （3 4 - ab）x - （3a - 4b）x 12是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等.即有a +Z? = 0F 3 + 4 +ab = 6r % + 4占=1. 由、解得，a = 1, b= 1,代入，等式成立. a= 1,另一个因式为x2 x 3.这种方法称为待定系数法，是很有用的方法.待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法

11、，在其他数学知识的学习中也经常运用.希望读者不可轻视.【易错例题分析】例 9 分解因式：5a2b2 23aby -10y2.错解：/ 10= 5X （ 2）, 5 = 1X 5,5X 5 + 1X （ 2） = 23,原式=（5ab+ 5y）（ 2ab+ 5y）.警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤.正解：/ 5 = 1X 5, 10= 5X （ 2）, 5X 5+ 1X （ 2）= 23.原式=（ab + 5y）（5ab 2y）.【同步练习】、选择题1.如果 x?px q = （x a）（x b），那么 p 等于 （）A. ab B. a+ b C. ab D . （a+ b）2. 如果

12、 x （a b） x 5b = x- x - 30，贝U b 为 （）A. 5 B. 6 C. 5 D. 63.多项式x2 -3x a可分解为（x 5）（x b）,贝V a, b的值分别为 （）A. 10 和一2 B. 10 和 2 C . 10 和 2 D . 10 和一24.不能用十字相乘法分解的是 （）A . x x-2 B . 3x -10x 3xC . 4x x 2 D . 5x -6xy-8y5 .分解结果等于（x+ y 4）（2x+ 2y 5）的多项式是 （）A . 2（x y）2 -13（x y） 20B . （2x 2y） -13（x y） 20C . 2（x y）2 13（

13、x y） 20D . 2（x y）2 -9（x y） 206.将下述多项式分解后，有相同因式 x1的多项式有 （） x2 -7x 6 ； 3x 2x-1 ； x 5x6； 4x2 -5x -9 ； 15x -23x 8 ;x11x -12A . 2个B . 3个 C . 4个D .5个二、填空题7 . x +3x-10= .& m 5m-6=（m+ a）（m + b）.a = , b = .9. 2x -5x-3=（x 3）（ ）.10. x + -2y =（x y）（ ）.2 n 211. a2+ a+（_）= + ）.m12当k= 时，多项式3x2+7xk有一个因式为（ ）.1 7 3 2

14、 2 313.若x y= 6, xv = ，则代数式xy2x y +xy的值为6三、解答题14.把下列各式分解因式：（1）x -7x2 6 ；（2）x 5x 36 ;（3）4x4 -65x2y2 16y4 ；（4）6 3 3 6a -7a b -8b ；（5）6a4 _5a _4a2 ；（6）4a -37a4b2 9a2b415.把下列各式分解因式：2 2 2 2 2（1） （x -3） -4x ； （2） x （x-2） -9 ；（3） （3x2 2x 1）2 -（2x2 3x 3）2 ；（4）（x2 x）2 -17（x2 x） 60 ；（5） （x2 2x）2 -7（x2 2x）-8 ；（

15、6）（2a b）214（2a b） 48 .16.把下列各式分解因式：（1）（a -b）x2 2ax a b ；（2） x2 -（ p2 q2）x pq（p q）（p -q）;（3） x2 -2xy -3y2 2x 10 y -8 ；（4） 4x2 -4xy-3y2 4x 10y-3 ；（5） （x2 3x 2）（x2 7x 12120 ；（6） （x2 xy y2）（x2 xy 2y2） -12y4 .3 29. 2x+117.已知2x -7x -19x 60有因式2x 5,把它分解因式.n n10. xy, x+ 2y 11. 2，a,4m 2m12 . - 2, 3x+ 1 或 x+ 2

16、 13 . 1714.（1）原式二（x -1）（x -6）=（x 1）（x -1）（x2 -6）（2）原式=（x29）（x2 4）-（x 3）（x -3）（x 4）（3）原式=（4x2y2）（x216y2）= （2x y）（2x - y）（x 4y）（x -4y）（4）原式=（a3-8b3）（a3 b3）=（a -2b）（a2 2ab 4b2）（a b）（a2 -ab b2）（5）原式二 a2（6a2-5a-4）-a （2a 1）（3a -4）（6） 原式=a2 （4a4 -37a2b2 9b4）二a2（4a2 -b2）（a2 -9b2）二a2（2a b）（2a -b）（a 3b）（a -3b

17、）15.（1） 原式=（x -3-2x）（x -3 2x）-（x -3）（x 1）（x 3）（x -1）（2）原式二x（x -2） -3x（x-2） 3= （x2 _2x _3）（x2 _2x 3）=（x -3）（x 1）（x2 -2x 3）（3） 原式=（3x2 2x 1 2x2 3x 3） （3x2 2x 1 -2x2 - 3x - 3）= （5x 5x 4）（x -2）（x 1）（4） 原式=（x2 x-12）（x2 x-5）=（x 4）（x _3）（x2 x _5）（5） 原式=（x2 2x -8）（x2 2x 1）=（x -2）（x 4）（x 1）（6）原式=（2a -b6）（2a

18、：-b8）16. （1） 原式二（a -b）x a b（x 1）（2）原式工x 一 p（ p _q）x q（p q）=（x p2 pq）（x 一 pq -q2）（3）原式二 x2 （2y 2）x （3y2 10y 8）二x _（2y _2）x _（3y _4）（y _2）=x -（3y -4） x y -2=（x -3y 4）（x y -2）（4）原式=4x2 -4（ y 1）x_3y2 10y_3-4x2 -4（y 1）x -（3y -1）（y -3）= （2x -3y 1）（2x y -3）（5）原式-（x 1）（x 2）（x 3）（x 4） -120= （x2 5x 6）（x2 5x 4

19、） -120=（x2 5x 5）2 -1-120（x2 5x 5 11）（x2 5x 5-11）=（X2 5x 16）（X2 5x-6）=（x 5x 16）（x -1）（x 6）（6） 原式=（x2 xy y2）2 y2（x2 xy y2） -12y4= （x2 xy y2 4y2）（x2 xy y2 -3y2）= （x2 xy 5y2 ）（x2 xy2y2）=（x xy 5y ）（x - y）（x 2y）t 3 2 , _=_17提示：（2x -7x -19x 60） （2x -5）二 x? -x12 二（x4）（x 3）3 3 2 218. x y （x y）（x -xy y ）=（x y）（x y） -3xy,又； x y = 2 , xy= a+ 4,3 3 2x y =26，二 22 -3（a 4） =26,解之得，a = 7.