学年人教B版高中数学选修44教学案第一章曲线的极坐标方程 可直接打印.docx

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学年人教B版高中数学选修44教学案第一章曲线的极坐标方程可直接打印

_1.3曲线的极坐标方程

[对应学生用书P8]

[读教材·填要点]

1．曲线的极坐标方程

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F（ρ，θ）＝0.如果曲线C是由极坐标（ρ，θ）满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F（ρ，θ）＝0为曲线C的极坐标方程．

2．直线的极坐标方程

（1）当直线l过极点，从极轴到l的角是θ0，则l的方程为θ＝θ0.

（2）当直线l过点M（d,0）且垂直于极轴时，l的方程为ρcosθ＝d.

（3）当直线l过点M（d，），且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝d.

（4）极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为α，此时直线l的方程为ρcos_（α－θ）＝d.

[小问题·大思维]

1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？

提示：

在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如，给定曲线ρ＝θ，设点P的一极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可．

2．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？

提示：

ρ的取值范围是全体实数．

[对应学生用书P8]

极坐标方程与直角坐标方程的互化

[例1]　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：

（1）y2＝4x；

（2）y2＋x2－2x－1＝0；

（3）ρcos2＝1；（4）ρ2cos2θ＝4；（5）ρ＝.

[思路点拨]　本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．

[精解详析]　

（1）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，

得（ρsinθ）2＝4ρcosθ.

化简，得ρsin2θ＝4cosθ.

（2）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，

得（ρsinθ）2＋（ρcosθ）2－2ρcosθ－1＝0.

化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.

（3）∵ρcos2＝1，

∴ρ·＝1，

即ρ＋ρcosθ＝2

∴＋x＝2.

化简，得y2＝－4（x－1）．

（4）∵ρ2cos2θ＝4，

∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，

即x2－y2＝4.

（5）∵ρ＝，

∴2ρ－ρcosθ＝1.

∴2－x＝1.

化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.

直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．

1．求极坐标方程ρcos＝1所表示的直角坐标方程．

解：

将ρcos＝1化为ρcosθ＋ρsinθ＝1.

将ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得x＋＝1，

即x＋y－2＝0.

求曲线的极坐标方程

[例2]　在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

[思路点拨]　

（1）利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程．

（2）先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程．

[精解详析]　

（1）由ρcos＝1

得ρ＝1.

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，

即x＋y＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M（2,0）．

当θ＝时，ρ＝，所以N.

（2）∵M点的直角坐标为（2,0），

N点的直角坐标为，

所以P点的直角坐标为.

则P点的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．

2．设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MP⊥MA交OA于P，求P点的轨迹方程．

解：

以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图．

设定圆O的半径为r，OM＝a，P（ρ，θ）是轨迹上任意一点．

∵MP⊥MA，∴|MA|2＋|MP|2＝|PA|2.

由余弦定理，可知|MA|2＝a2＋r2－2arcosθ，

|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcosθ.而|PA|＝r－ρ，

由此可得a2＋r2－2arcosθ＋a2＋ρ2－2aρcosθ＝（r－ρ）2.

整理化简，得ρ＝.

求直线的极坐标方程

[例3]　求出下列直线的极坐标方程：

（1）过定点M（ρ0，θ0），且与极轴成α弧度的角；

（2）过定点M（ρ0，θ0），且与直线θ＝θ0垂直．

[思路点拨]　本题考查直线的极坐标方程的求法．解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立ρ与θ间的关系．

[精解详析]　

（1）设P（ρ，θ）为直线上任意一点（如图），且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，

则∠1＝α－θ，∠2＝π－（α－θ0）．

在△OMP中应用正弦定理得

＝，

即ρ＝ρ0·＝ρ0·.

即直线方程为ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）．

（2）设P（ρ，θ）为直线上任意一点（如图所示），△OMP为直角三角形，显然有ρcos（θ－θ0）＝ρ0.这就是所求直线方程．

求直线极坐标方程的步骤：

（1）设（ρ，θ）为直线上任一点的极坐标．

（2）写出动点满足的几何条件．

（3）把上述条件转化为ρ，θ的等式．

（4）化简整理．

3．求过A且和极轴所成角为的直线方程．

解：

如图所示，A，

即|OA|＝3，∠AOB＝.

设M（ρ，θ）为直线上任一点，

由已知得∠MBx＝，

∴∠OAB＝－＝.

∴∠OAM＝π－＝.∠OMA＝∠MBx－θ＝－θ.在△MOA中，根据正弦定理，得＝.

sin＝sin＝，

将sin展开，化简上面的方程，

可得ρ（sinθ＋cosθ）＝＋.

∴过A且和极轴所成角为的直线方程为

ρ（sinθ＋cosθ）＝＋.

[对应学生用书P10]

一、选择题

1．极坐标方程cosθ＝（ρ≥0）表示的曲线是（　　）

A．余弦曲线　　　　　　　　B．两条相交直线

C．一条射线D．两条射线

解析：

选D　∵cosθ＝，∴θ＝±＋2kπ（k∈Z）．

又∵ρ≥0，∴cosθ＝表示两条射线．

2．在极坐标系中与曲线C：

ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程为（　　）

A．ρcosθ＝2B．ρsinθ＝2

C．ρ＝4sinD．ρ＝4sin

解析：

选A　ρ＝4sinθ的普通方程为x2＋（y－2）2＝4，ρcosθ＝2的普通方程为x＝2，圆x2＋（y－2）2＝4与直线x＝2显然相切．

3．直线θ＝α和直线ρsin（θ－α）＝1的位置关系是（　　）

A．垂直B．平行

C．相交但不垂直D．重合

解析：

选B　直线θ＝α化为直角坐标方程为y＝xtanα，ρsin（θ－α）＝1化为ρsinθcosα－ρcosθsinα＝1，即y＝xtanα＋.所以两直线平行．

4．过点A（5,0）和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是（　　）

A．ρsin＝5B．ρcos＝

C．ρsin＝D．ρsin＝

解析：

选C　直线θ＝即直线y＝x，∴过点A（5,0）和直线θ＝垂直的直线方程为y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin＝.

二、填空题

5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点到直线l的距离为________．

解析：

将直线l的极坐标方程ρsinθ＝3化为直角坐标方程为y＝3，点在直角坐标系中为（，1），故点到直线l的距离为2.

答案：

2

6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．

解析：

∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.

答案：

1∶1

7．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________．

解析：

由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，

其普通方程为x2＋y2＝2y.

ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1.

联立解得

点（－1,1）的极坐标为.

答案：

8．在极坐标系中，定点A（1，），点B在直线l：

ρcosθ＋ρsinθ＝0上运动．当线段AB最短时，点B的极坐标是________．

解析：

将ρcosθ＋ρsinθ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A（0,1）．如图，过A作AB⊥直线l于B.因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，

则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.

答案：

三、解答题

9．求过（－2,3）点且斜率为2的直线的极坐标方程．

解：

由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2（x＋2），

即2x－y＋7＝0.

设M（ρ，θ）为直线上任意一点，

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直角坐标方程

2x－y＋7＝0，得2ρcosθ－ρsinθ＋7＝0.

这就是所求的极坐标方程．

10．在极坐标系中，曲线C：

ρ＝10cosθ和直线l：

3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A，B两点，求线段|AB|的长．

解：

分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：

圆C：

x2＋y2＝10x，即（x－5）2＋y2＝25，圆心C（5,0）．

直线l：

3x－4y－30＝0.

因为圆心C到直线l的距离d＝＝3，

所以|AB|＝2＝8.

11．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．

解：

取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4.

设A（ρ0，θ0），P（ρ，θ）．

∵点A在直线ρcosθ＝4上，

∴ρ0cosθ0＝4.①

∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，

而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝，

∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－.②

把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为

ρcos＝4.

由ρcos＝4得ρ（cosθ＋sinθ）＝4.

∴点P轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点（4,0）且倾斜角为的直线．