利用几何画板提高数学教学效益《几何画板》辅助高中数学教学案例Word文档格式.docx

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得如下结论:

如图1,双曲线c:

一告一1（n,b以0

&

gt;

O）右支上的点P的切线z平分F.PF,其中

F,F是双曲线的左,右焦点.现过原点O作z的

平行线I交PF于M,则hiP一（）.

（A）口（B）6

（c）~/口+b.（D）与点P的位置有关

很多学生在课内都做不出此题,大部分学生

是猜答案,或用特殊位置法得出结论.笔者要求学

生加以证明,但是很少有人能够较完整地证明此

题.如果用《几何画板》直接演示,将静态的题目

转化为让学生看得见,摸得着的动态图象,让学生

看清此题的变与不变,但该图象涉及到切线的画

法,若直接操作,又怕学生不明白为什么这样作图

就是切线,于是布置作业,让他们课后去研究和探

讨.通过课后讨论和思考,大部分学生主要提出以

下几个问题:

（1）双曲线具有光学性质:

”从双曲线的一个

焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的

反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点”,为什

么?

椭圆有类似性质吗?

抛物线呢?

能否用数学

知识加以证明?

（2）能用《几何画板》画出圆锥曲线的切线

吗?

（平时我们常用《几何画板》研究一些轨迹问

题等）

（3）若都有这样的光学性质,此题能否变式

为椭圆或抛物线呢?

针对以上三种情况,我们通过讨论和查找相

关资料知道,椭圆的光学性质:

从椭圆一个焦点发

出的光线经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭

圆的另一个焦点上;

抛物线的光学性质:

从抛物

线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光

线都平行于抛物线的轴.想要探究圆锥曲线的光

学性质,首先必须将这样一个光学实际问题转化

为数学问题,并进行论证.

首先定义圆锥曲线的切线与法线:

设直线l

与曲线C交于P,Q两点,当直线z连续变动时,P,

Q两点沿着曲线逐渐靠近,直到P,Q重合为一点

M,此时直线z称为曲线C在点M处的切线,过M

与直线￡垂直的直线称为曲线C在点M处的法

线.

借助圆锥曲线的切线和法线,对问题进行以

下两种情况的转化并与学生一起证明:

（1）点P（x.,.y.）是椭圆+告一1上任一

点,则椭圆过该点的切线方程为—XoX+一1.

证明由b一1一事一6（1一/1①.n’\口

当.≠±

n时,过点P的切线斜率k一定存

在,且志一1一.对①式求导得2yy一一z,

■0

l

所以愚===f;

=,故切线方程为—.一

—

（z—z.）②.因为点P（x.,Y.）在椭圆

口Yo

+一1上,所以XZ十2—1

代入②得+

1③.

而当X.一±

a时,y.一O,切线方程为X一±

a,

?

38?

中学数学月刊20XX年第1期

也满足③式,故+1是椭圆过点P（z.,

a—D—

Y.）的切线方程.

（2）椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭

圆在该点处的法线平分.

已知:

如图2,椭圆C

..

2.2

的方程为+告一1,F,0

F分别是其左,右焦点,z

是过椭圆上一点P（.,

.y.）的切线,Z为椭圆C在

点P处的法线,交轴于点

/f

/二=.

\

图2

D,设FPD—,FPD—J9,求证:

a—.

证明由

（1）知过点P的切线方程z为

+一l,￡过点P且与切线z垂直,则z:

（）,）,仃,

（Xo）—..y.（一1）,所以法线z与轴交

于点D（（詈）.,0）,故FD一C2.z.+c,FzD—c

C2

所以篇一.

又由焦半径公式,得PF一n+ex.,PF:

一a

.,

所以一祭,所以PD是FPF的

平分线,故a一.

其他圆锥曲线的证明也都类似,都能成立.由

上面的严格证明,和在它的几何意义的指导下,就

可以轻松地用《几何画板》作出圆锥曲线的切线.

我们通过《几何画板》按如下步骤作出图形:

（1）先画出双曲线,并确定两个焦点F,F;

（2）在双曲线上任取一点P,作射线FP,

F2P;

（3）作出F:

PD的角平分线PE;

（4）过P作PB上PE交轴于B,由双曲线

的光学性质可知PB即为过该点的双曲线切线;

（5）过0作0M//PB

交FP于M.如图3,度量出

MP的长度和OA的长度,

发现总相等,拖动P点的位

置,或改变双曲线的形状,

MP和OA的长度始终相

等.因此可判定答案是选项

A.

MP2.26厘米

OA=226厘米

.

F,}./AV,,,

图3

笔者再引导学生用平几知识加以详细证明,

得出如下两种证法:

证法1因为PB=~BPFz,所以

一__

F1B一

旦M_一②.

Y.NNBH//MOt.U,所PF一百’——

2

‘

//’0

以一OB③.

由②③得一OB④.

由①

得景一一一

里二旦旦一—F10-]-OB—--BF2一

BF2PF2PF2

PF一PFPFPF,

…

⑤.由④⑤可得PM—n,故选A.

证法2过F作F.F

∥z,因为z平分FPF,

即1一2,所以1===

3,2一4,故3一

4,所以PF一PF.又因

为（）M是△FF.F的中位

F7,

图4

线,所以F】M===MF—MP+PF,故FM—PF_-

F]M—PF2=MP.又因为F】M+MP—PF2=2a,

所以2MP一2a,故MP—a.

通过证明,我们得出正确结论,学生体会到从

猜想到最终正确的结果,需要不断研究,同时也明

白圆锥曲线切线的作法,体验了成功的快乐.通过

对双曲线的研究,我们联想到椭圆,抛物线是不是

也有类似的结论,于是我们对题目进行如下变式:

变式1椭圆具有光学性质:

”从椭圆的一个

焦点发出的光线经过椭圆反射后,反射光线汇聚

到椭圆的另一个焦点.”由此可猜想如下结论:

如图5,椭圆C:

以

.2

+一1（n,b&

0）右支

MP

上点P处的的切线z平OB

分FPF的外角,其

中F,F是椭圆的左,

\,\

:

45l

图5

右焦点.现过原点0作z的平行线z交PF于M,

则』P—a.

通过《几何画板》作出图形:

（1）先画出椭圆,并确定两个焦点F,Fz;

（2）在椭圆上任取一点P,作射线FP,F.P;

（3）作出FPF的角平分线PC交z轴于

C;

（4）过点P作z上PC,由椭圆的光学性质可

知z即为过该点的椭圆的切线;

（5）过0作0M∥z交FP于M.

如图5,度量出MP的长度和OB的长度,发

39?

高考数学第二轮复习的构建与思考

仲伟方（江苏省赣榆县教育局教研室222100）

1明确高考数学第二轮复习的指导思想

和任务目标

1.1指导思想

（1）巩固.把巩固”四基”放在首位,形成扎实

的基础（基础知识;

基本技能;

基本方法;

基本经

验）,强化知识的立体记忆.

（2）完善.进一步完善知识体系,着意于数学

思想,方法的明朗化.进一步认识和挖掘知识之间

相互交融后所产生的”生成性知识”,并强化其教

学.实现更高层次的系统化.

（3）综合.适当增强知识的联接点,题目的综

合性和灵活性.对重点,常考题型进一步强化解法

定模,强化基本思维模式,尽可能地形成思维模

块,促进思维的集约化,从而完成能力的”立体

化”,以达到适应”考能力”的要求.

（4）提高.重视搭建提高能力的平台.

是要解决好”是什么（知识结论问题）,为什

么（知识联系问题）,怎么用（能力表现问题）”等三

个层次的问题.使学生的分析问题,解决问题能力

得到提高;

二是要研究训练的方式.确保有”练”的时间;

确保”练”的实情性,层次性,递进性,针对性,解决

“

讲就懂,一做就错”的问题.

（5）有效.”二轮看水平”概括了第二轮复习的

思路,目标和要求.具体地说:

是教师对《考试说明》,《考题》研究,理解,

操作到位,明确”考什么”,”怎么考”.

二是讲解,练习检测等内容科学性,针对性

强,使模糊的清晰起来,缺陷的填补起来,杂乱的

条理起来,孤立的联系起来,让学生形成系统化,

条理化的知识框架.

三是训练与高考对路,不拔高,不降低,重在

基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方

法.不能以高考卷最后两题的难度组织复习.

现总相等,并且拖动P点的位置,或改变椭圆的形

状,MP和OB的长度始终相等.因此可判定猜想

成立.

再用平几知识加以证

明:

如图6,过F作F.F∥

Z交PC于E,交PF于F,

则FP—PF.因为oM是

△FFF的中位线,所以

F1M===MF.又PF1+PF2

\

图6

2a,即F1M+MF+PF+PF2—2a,所以2MF

+2FP一2a,故MF4-FP—n,即PM一口.

变式2抛物线具有光学性质:

”从抛物线的

焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平

行于抛物线的对称轴.”由此可猜想:

如图7,抛物

线Y=2px（户&

0）上有点P的切线交z轴于A,

过0作OM∥PA交PF于M,则OF===FM.

通过几何画板作出图形:

（1）先画出抛物线Y.一2,并确定焦点F;

（2）连结PF,过P作PD∥轴;

（3）作出FPD的角平分线PC交z轴于C;

（4）过点P作PA上

PC交z轴于A,由抛物线

的光学性质可知PA既为

过点P的抛物线的切线;

（5）过0作0M∥

PA交PF于M.

如图7,度量出0F

P

Il

0=1.44膜米

FM:

1.44礴,米

图7

的长度和FM的长度,发现总相等,并且拖动P点

的位置,或改变抛物线的形状,OF和FM的长度

始终相等.因此可判定OF—FM成立,可用平几

知识证明:

因为PD∥AC,所以BPD—APAF,又因

为AB//OD,所以PAF一MOF,AAPF一

OMF.又由抛物线的光线性质知PClAB,且

FPC一CPD,所以APF—ABPD,所以

M0F—A0MF,故0lF一.

通过以上的研究过程,我们不仅把此题解答

出来,还证明了圆锥曲线的光线性质,拓展了此题

的范围,并且构造了两道变式题,达到探究的目

的.