利用几何画板提高数学教学效益《几何画板》辅助高中数学教学案例Word文档格式.docx

1、得如下结论:如图1,双曲线c:一告一1（n,b以0>O）右支上的点P的切线z平分F.PF,其中F,F是双曲线的左,右焦点.现过原点O作z的平行线I交PF于M,则hiP一（）.（A）口（B）6（c）/口+b.（D）与点P的位置有关很多学生在课内都做不出此题,大部分学生是猜答案,或用特殊位置法得出结论.笔者要求学生加以证明,但是很少有人能够较完整地证明此题.如果用几何画板直接演示,将静态的题目转化为让学生看得见,摸得着的动态图象,让学生看清此题的变与不变,但该图象涉及到切线的画法,若直接操作,又怕学生不明白为什么这样作图就是切线,于是布置作业,让他们课后去研究和探讨.通过课后讨论和思考,大部

2、分学生主要提出以下几个问题:（1）双曲线具有光学性质:”从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点”,为什么?椭圆有类似性质吗?抛物线呢?能否用数学知识加以证明?（2）能用几何画板画出圆锥曲线的切线吗?（平时我们常用几何画板研究一些轨迹问题等）（3）若都有这样的光学性质,此题能否变式为椭圆或抛物线呢?针对以上三种情况,我们通过讨论和查找相关资料知道,椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光线经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上;抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线都平行于抛物线的轴.想要探究圆锥曲线的

3、光学性质,首先必须将这样一个光学实际问题转化为数学问题,并进行论证.首先定义圆锥曲线的切线与法线:设直线l与曲线C交于P,Q两点,当直线z连续变动时,P,Q两点沿着曲线逐渐靠近,直到P,Q重合为一点M,此时直线z称为曲线C在点M处的切线,过M与直线垂直的直线称为曲线C在点M处的法线.借助圆锥曲线的切线和法线,对问题进行以下两种情况的转化并与学生一起证明:（1）点P（x.,.y.）是椭圆+告一1上任一点,则椭圆过该点的切线方程为XoX+一1.证明由b一1一事一6（1一/1.n口当.n时,过点P的切线斜率k一定存在,且志一1一.对式求导得2yy一一z,0l所以愚=f;=,故切线方程为.一（zz.）

4、.因为点P（x.,Y.）在椭圆口Yo+一1上,所以XZ十21,代入得+1.而当X.一a时,y.一O,切线方程为X一a,?38?中学数学月刊20XX年第1期也满足式,故+1是椭圆过点P（z.,aDY.）的切线方程.（2）椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在该点处的法线平分.已知:如图2,椭圆C.2.2的方程为+告一1,F,0F分别是其左,右焦点,z是过椭圆上一点P（.,.y.）的切线,Z为椭圆C在点P处的法线,交轴于点/f/二=.图2D,设FPD,FPDJ9,求证:a.证明由（1）知过点P的切线方程z为+一l,过点P且与切线z垂直,则z:（）,）,仃,（Xo）.y.（一1）,所以法线z与轴交于

5、点D（詈）.,0）,故FD一C2.z.+c,FzDcC2,所以篇一.又由焦半径公式,得PF一n+ex.,PF:一a.,所以一祭,所以PD是FPF的平分线,故a一.其他圆锥曲线的证明也都类似,都能成立.由上面的严格证明,和在它的几何意义的指导下,就可以轻松地用几何画板作出圆锥曲线的切线.我们通过几何画板按如下步骤作出图形:（1）先画出双曲线,并确定两个焦点F,F;（2）在双曲线上任取一点P,作射线FP,F2P;（3）作出F:PD的角平分线PE;（4）过P作PB上PE交轴于B,由双曲线的光学性质可知PB即为过该点的双曲线切线;（5）过0作0M/PB交FP于M.如图3,度量出MP的长度和OA的长度,

6、发现总相等,拖动P点的位置,或改变双曲线的形状,MP和OA的长度始终相等.因此可判定答案是选项A.MP2.26厘米OA=226厘米.F,./AV,图3笔者再引导学生用平几知识加以详细证明,得出如下两种证法:证法1因为PB=BPFz,所以一_F1B一旦M_一.Y.NNBH/MOt.U,所PF一百2/0以一OB.由得一OB.由得景一一一里二旦旦一F10-OB-BF2一BF2PF2PF2PF一PFPFPF,.由可得PMn,故选A.证法2过F作F.Fz,因为z平分FPF,即1一2,所以1=3,2一4,故3一4,所以PF一PF.又因为（）M是FF.F的中位F7,图4线,所以F】M=MFMP+PF,故FM

7、PF_-FMPF2=MP.又因为F】M+MPPF2=2a,所以2MP一2a,故MPa.通过证明,我们得出正确结论,学生体会到从猜想到最终正确的结果,需要不断研究,同时也明白圆锥曲线切线的作法,体验了成功的快乐.通过对双曲线的研究,我们联想到椭圆,抛物线是不是也有类似的结论,于是我们对题目进行如下变式:变式1椭圆具有光学性质:”从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后,反射光线汇聚到椭圆的另一个焦点.”由此可猜想如下结论:如图5,椭圆C:以.2+一1（n,b&0）右支MP上点P处的的切线z平OB分FPF的外角,其中F,F是椭圆的左,:45l图5右焦点.现过原点0作z的平行线z交PF于M,则Pa.

8、通过几何画板作出图形:（1）先画出椭圆,并确定两个焦点F,Fz;（2）在椭圆上任取一点P,作射线FP,F.P;（3）作出FPF的角平分线PC交z轴于C;（4）过点P作z上PC,由椭圆的光学性质可知z即为过该点的椭圆的切线;（5）过0作0Mz交FP于M.如图5,度量出MP的长度和OB的长度,发39?高考数学第二轮复习的构建与思考仲伟方（江苏省赣榆县教育局教研室222100）1明确高考数学第二轮复习的指导思想和任务目标1.1指导思想（1）巩固.把巩固”四基”放在首位,形成扎实的基础（基础知识;基本技能;基本方法;基本经验）,强化知识的立体记忆.（2）完善.进一步完善知识体系,着意于数学思想,方法的

9、明朗化.进一步认识和挖掘知识之间相互交融后所产生的”生成性知识”,并强化其教学.实现更高层次的系统化.（3）综合.适当增强知识的联接点,题目的综合性和灵活性.对重点,常考题型进一步强化解法定模,强化基本思维模式,尽可能地形成思维模块,促进思维的集约化,从而完成能力的”立体化”,以达到适应”考能力”的要求.（4）提高.重视搭建提高能力的平台.是要解决好”是什么（知识结论问题）,为什么（知识联系问题）,怎么用（能力表现问题）”等三个层次的问题.使学生的分析问题,解决问题能力得到提高;二是要研究训练的方式.确保有”练”的时间;确保”练”的实情性,层次性,递进性,针对性,解决“讲就懂,一做就错”的问题

10、.（5）有效.”二轮看水平”概括了第二轮复习的思路,目标和要求.具体地说:是教师对考试说明,考题研究,理解,操作到位,明确”考什么”,”怎么考”.二是讲解,练习检测等内容科学性,针对性强,使模糊的清晰起来,缺陷的填补起来,杂乱的条理起来,孤立的联系起来,让学生形成系统化,条理化的知识框架.三是训练与高考对路,不拔高,不降低,重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法.不能以高考卷最后两题的难度组织复习.现总相等,并且拖动P点的位置,或改变椭圆的形状,MP和OB的长度始终相等.因此可判定猜想成立.再用平几知识加以证明:如图6,过F作F.FZ交PC于E,交PF于F,则FPPF.因为oM是FFF

11、的中位线,所以F1M=MF.又PF1+PF2,图62a,即F1M+MF+PF+PF22a,所以2MF+2FP一2a,故MF4-FPn,即PM一口.变式2抛物线具有光学性质:”从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.”由此可猜想:如图7,抛物线Y=2px（户&0）上有点P的切线交z轴于A,过0作OMPA交PF于M,则OF=FM.通过几何画板作出图形:（1）先画出抛物线Y.一2,并确定焦点F;（2）连结PF,过P作PD轴;（3）作出FPD的角平分线PC交z轴于C;（4）过点P作PA上PC交z轴于A,由抛物线的光学性质可知PA既为过点P的抛物线的切线;（5）过0作0MPA交PF于M.如图7,度量出0FPIl0=1.44膜米FM:1.44礴,米图7的长度和FM的长度,发现总相等,并且拖动P点的位置,或改变抛物线的形状,OF和FM的长度始终相等.因此可判定OFFM成立,可用平几知识证明:因为PDAC,所以BPDAPAF,又因为AB/OD,所以PAF一MOF,AAPF一OMF.又由抛物线的光线性质知PClAB,且FPC一CPD,所以APFABPD,所以M0FA0MF,故0lF一.通过以上的研究过程,我们不仅把此题解答出来,还证明了圆锥曲线的光线性质,拓展了此题的范围,并且构造了两道变式题,达到探究的目的.