第二十八章锐角三角函数检测题含答案解析.docx
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第二十八章锐角三角函数检测题含答案解析
第二十八章锐角三角函数检测题
（本检测题满分：
100分，时间：
90分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.（2015·江苏南通中考）如图，在平面直角坐标系中，
直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）
第1题图
A．B．C．D．2
2.（2014·杭州中考）在直角三角形中，已知，
，，则=（）
A.B.
C.D.
3.在△中，，，，则等于（ ）
A.B.1C.2D.3
4.（2015·兰州中考）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA=（ ）
A．B．C．D．
第5题图
第4题图
5.（2014·杭州中考）已知，，点,点分别在射线，射线上，若点与点关于对称，点与点关于对称，与相交于点，则（）
A.B.
C.D.
第7题图
6.如图所示，在菱形中，，，，则tan∠的值是（）
A．B．2C．D．
7.（2013·山西中考）如图所示,某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为（）
A.100mB.50m
C.50mD.m
第8题图
8.（2013·山东聊城中考）河堤横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为（）
A.12mB.4mC.5mD.6m
9.直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A.5B.C.7D.
10.如图所示，已知，则下列各式成立的是（）
A.B.
C.D.
第11题图
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA
=_________.
12.（2015·哈尔滨中考）如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC,tan∠BAD=,AD=,CD=13,则线段AC的长为__________.
第13题图
第12题图
13.（2015·福建泉州中考）如图，AB和⊙O切于点B，AB＝5，OB＝3，则tanA=_______.
14.（2015·山东聊城中考）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线.若AB＝6，则点D到AB的距离是______.
15.（2014·成都中考）如图所示，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在直线翻折得到△，连接,则长度的最小值是_______.
第14题图
第15题图
16.如图所示，在△中，已知，，，则________．
17.在中，，有一个锐角为，，若点P在直线AC上（不与点A，C重合）,且,则CP的长为_______.
18.（杭州中考）在△ABC中，∠90°，AB=2BC，现给出下列结论：
①sin；②cos；③tan；④tanB，
其中正确的结论是______.（只需填上正确结论的序号）
三、解答题（共46分）
19.（8分）计算下列各题：
（1）；
（2）.
20.（6分）（2014·成都中考）如图所示，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB.
（参考数据：
，，）
第20题图第21题图
21.（6分）（2014·北京中考）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.
（1）求证：
四边形ABEF是菱形.
（2）若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.
22.（6分）如图所示，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（≈1.732，结果精确到1m）
23.（6分）如图所示，在梯形中，∥，，．
（1）求sin∠的值；
（2）若长度为，求梯形的面积．
24.（6分）如图所示，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到处，这时气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.
25.（8分）图①中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图②所示.在图②中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°.
（1）连接CD,EB，猜想它们的位置关系并加以证明；
（2）求A,B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）.
（参考数据：
≈1.41,≈1.73,≈2.45）
①②
第25题图
第二十八章锐角三角函数检测题参考答案
1.C解析：
设点B的坐标是（2，1），过点B作
BC⊥x轴于点C，由题意得OC＝2，BC＝1，
所以在Rt△BOC中，tanα＝.
第1题答图
2.D解析：
在中，
∵，，∴，
∴，∴.
3.B解析：
∵在△中，，，，
∴，∴．故选B．
4.D解析：
设AB=x（x＞0）,则BC=2x.根据勾股定理，得AC=，所以.
5.A解析：
设，由题意知，，
∴.
在中，，
又，
∴.
根据条件还可以得出，
，.
A.在中，，
∴，故选项A正确.
B.，故选项B错误.
C.，故选项C错误.
D.∵，
∴，故选项D错误.
6.B解析：
设∵∴
在菱形中，∵∴
∴∴
在Rt△ADE中,由勾股定理知∴2
7.A解析：
因为在A处观察B地的俯角为30°，所以∠B=30°.
在Rt△ABC中，因为tanB=tan30°===，所以BC=100m.
8.A解析：
先由坡比的定义，得BC∶AC=1∶.由BC=6m，可得AC=6m.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==12（m）.
9.A解析：
设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长
10.B解析：
在锐角三角函数中，仅当45°时，，所以选项错误；因为45°＜A＜90°，所以B＜45°，即A＞B，所以BC＞AC，所以＞，即，所以选项正确，选项错误;
＞1，＜1，所以选项错误.
11.解析：
△ABC是直角三角形，AB=3，BC=4，根据锐角三角函数的意义得
12.4解析：
如图所示，作∠DAE=∠C，AE与BC交于点E,过点E作EF⊥AC，垂足为点F，∵∠DAC=∠C+∠BAD，∴∠EAC=∠BAD.
∵，∴=.
设EF=4a，则AF=7a，
∴=+=65，∴AE=a.
∵∠DAE=∠C，∠ADE=∠CDA，
∴△ADE∽△CDA,∴=.
∵AD=，DC=13，∴DE=5.
∵△ADE∽△CDA，∴，
∴ACAE=13a，∴FC=13a7a6a.
又∵EC=DC-DE=13-5=8，
∴在Rt△EFC中，=+，
第12题答图
∴=+，
∴a，∴AC13a4.
13.解析：
∵AB和⊙O切于点B，∴OB⊥AB.在Rt△OAB中，tanA==.
14.解析：
（方法1）如图所示，作DH，垂足为点H，
则DH就是点D到AB的距离.
在Rt△ABC中，AB＝6，，
，.
，BD平分，.
，
CD.
又BD平分∠ABC，DH＝CD，
点D到AB的距离是.
（方法2）如图所示，作DH，垂足为点H，
则DH就是点D到AB的距离.
第14题答图
，.
BD平分，，，
AD＝BD，DH是等腰△ABD底边上的中线.
AB＝6，.
在Rt△ADH中，，
，
点D到AB的距离是.
15.解析：
当点M、、C共线时，线段的长度最短.如图所示.
过点M作MG⊥CD,交CD的延长线于点G，
∵AD=2，M是AD的中点，∴MD=1.
又∵∠A=60°，AB∥CD，∴∠MDG=60°.
在Rt△MDG中，MG=1×sin60°=，第15题答图
∴
在Rt△CGM中，根据勾股定理得，
∵∴
16.6解析：
如图所示，过点作于点．
∵，∠，
∴．
∴．
17.解析：
本题需分类讨论：
（1）当时，如①图所示，由，，可得，.
①若点在点左侧,则,,即
②若点在点右侧,则,,即
第17题答图
①②
（2）当时，如图②所示，由，，可得.若，则点在点左侧，即，
所以的长为.
18.②③④解析：
因为∠C=90°，AB=2BC，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.
19.解:
（1）
（2）.
20.解：
因为tan37°＝≈0.75，BC=20m，
所以AB≈0.75×20＝15（m）.
21.
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,
第21题答图
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
同理可得AF=AB.∴AF=BE.
∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形.
（2）解：
如图所示，作PH⊥AD于H.
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形.
∴∠PAH=60°，∠ABP=30°,∴PA=AE=AB=2.
在Rt△PAH中，PH=2sin60°=，AH=2cos60°=1,
∴DH=AD-AH=6-1=5.∴tan∠ADP
22解:
设，则由题意可知，m．
在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝
∴，即，解得≈136.6.
经检验50＋50是原方程的解．∴CD136.61.5138.1≈
故该建筑物的高度约为
23.解：
（1）∵，∴∠∠.
∵∥，∴∠∠∠.
在梯形中，∵，
∴∠∠∠∠
∵，∴3∠，
∴∠30°，∴sin∠.
（2）如图所示，过点作于点.
第23题答图
在Rt△中，•cos∠（cm），在Rt△中，sin∠（cm），
∴
24.解：
过点作于点，则.
因为∠，300m，
所以300（－1）即气球的升空点与着火点的距离为300（－1）
25.解：
（1）CD∥EB.证明：
如图①，连接AC,DE.
∵四边形AGCH是菱形，且∠GCH=60°，∴∠1=∠GCH=30°.
同理∠2=30°.∴∠ACD=90°.同理可得∠CDE=∠DEB=90°.
∴CD∥EB.
（2）方法一：
连接AD,BD.由
（1）知∠ACD=90°.
∵CA=CD,∴∠CDA=∠CAD=45°.同理∠EDB=∠EBD=45°.
又由
（1）知∠CDE=90°，∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°,
即点A,D,B在同一直线上.
连接GH交AC于点M.由菱形的性质可知∠CMH=90°，CM=AC.
在Rt△CMH中，CM=CH·cos∠1=10·cos30°=5，∴CD=AC=2CM=10.
∴在Rt△ACD中，AD==10.
同理BD=10.∴AB=AD+DB=20≈20×2.45=49.
答：
A,B两点之间的距离约为49cm.
第25题答图
①②
方法二：
如图②,连接AB，延长AC交BE的延长线于点F.
由
（1）知∠ACD=∠CDE=∠DEB=90°.∴四边形CDEF是矩形.
∵四个菱形
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