倍长中线构造全等三角形.doc
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巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例:
中,AD是的平分线,且BD=CD,求证AB=AC
方法1:
作DE⊥AB于E,作DF⊥AC于F,证明二次全等
方法2:
辅助线同上,利用面积
方法3:
倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中方式1:
延长AD到E,
AD是BC边中线使DE=AD,
连接BE
方式2:
间接倍长
作CF⊥AD于F,延长MD到N,
作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD,
连接BE连接CD
【经典例题】
例1:
△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围
提示:
画出图形,倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边
例2:
已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:
BD=CE
方法1:
过D作DG∥AE交BC于G,证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2:
过E作EG∥AB交BC的延长线于G,证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3:
过D作DG⊥BC于G,过E作EH⊥BC的延长线于H
证明ΔBDG≌ΔECH
例3:
已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
提示:
倍长AD至G,连接BG,证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形
例4:
已知:
如图,在中,,D、E在BC上,且DE=EC,过D作交AE于点F,DF=AC.
求证:
AE平分
提示:
方法1:
倍长AE至G,连结DG
方法2:
倍长FE至H,连结CH
例5:
已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线,求证:
∠C=∠BAE
提示:
倍长AE至F,连结DF
证明ΔABE≌ΔFDE(SAS)
进而证明ΔADF≌ΔADC(SAS)
【融会贯通】
1、在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系,并证明你的结论
提示:
延长AE、DF交于G
证明AB=GC、AF=GF
所以AB=AF+FC
2、如图,AD为的中线,DE平分交AB于E,DF平分交AC于F.求证:
提示:
方法1:
在DA上截取DG=BD,连结EG、FG
证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF
所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
方法2:
倍长ED至H,连结CH、FH
证明FH=EF、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知:
如图,DABC中,ÐC=90°,CM^AB于M,AT平分ÐBAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:
CT=BE.
提示:
过T作TN⊥AB于N
证明ΔBTN≌ΔECD
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