直线系的问题文档格式.docx
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③求k出即可.
思路二:
分类讨论
①设斜率k,用点斜式，
当L//AB时，由斜率相等可得k;
当L过AB的中点时,把AB中点坐标代入L方程,解得k.
1、
、平行线系
斜率是k的直线系方程
y=kx+b（b为参数）
2、
平行于Ax+By+C=0的直线系方程为
Ax+By+入=0（入为参数）
3、
垂直于Ax+By+C=0的直线系方程为
Bx-Ay+入=0（入为参数）
、过两直线交点的直线系
Li：
Aix+Biy+Ci=O
L2：
A2x+B2y+C2=0
3
2xy10
2y
3门
xy0
2
・•・直线过定点（1,
3）.
①m（Aix+Biy+Ci）+n（A2X+B2y+C2）=0（m、n是参数）
②Aix+Biy+Ci+入（A2x+B2y+C2）=0
（入是参数但不包括L2）
已知3a+2b=1,
求证：
直线ax+by+2（x-y）-仁0过定点，并求该定点坐标•
思路一：
i
由3a+2b=i得:
b=2~（i-3a）
代入直线系方程ax+by+2（x-y）-i=0
33
整理得（2x—y-i）+a（x込y）=0
得交点（i,3）
思路二：
赋值法
1
令a=0得b=2
2x-~2y-1=0
b=0得a=3
x—^=0
2x3y102
23,得交点（1,3）
x|y03
把交点坐标代入原直线方程左边得:
左边=§
（3a+2b-1）•・•3a+2b-1=0
・•・左边=0
这说明只要3a+2b-仁0原直线过定点（1,3）.
例:
求证:
无论入为何值,
直线（2+入）x-（1+入）y-2（3+2入）=0
与点P（-2,2）的距离d都小于42.
证明：
将直线方程按参数入整理得
（2x-y-6）+入（x-y-4）=0
故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M
易解得M（2,-2）
求得|PM|=4“2
所以d<
4迄
而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,
又无论入为何值，题设直线系方程都不可能表示直线
x-y-4=0
・•・d<
4七
【注】
此题若按常规思路，运用点距公式求解，则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.
例题:
例、已知直线I:
kxy12k0（kR）
（1）证明直线I过定点;
（2）若直线I交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S,求S的最小值，并求此时直线I的方程；
（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。
分析：
（1）证直线系过定点，可用分离参数法。
（2）求厶AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S=f（k），再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。
（3）直线不经过第四象限的充要条件是：
直线
在x轴上的截距小于或等于-2,在y轴上的截距大于或等于1。
或由直线经过定点（-2,1）知斜率大于或等于零。
解：
（1）直线I的方程是：
kx21y0
令％20得:
yo
・•・无论k取何值，直线总经过定点
-2，1）
（2）由I的方程，得:
12k
A丁,0,B0，12k
依题意得：
k
12k0
解得：
k>
0
Ra•|OB
k
-12k
（12k）2
4k
成立的条件是
0且4k
-，即k
Smin
此时I:
x2y40
（3）由
（2）知：
直线在
x轴上的截距为
在y轴上的截距为12k
要使直线不经过第四象限，则必须有一k
12k1
解之得：
小结：
本题证明直线系过定点问题所使用的
参数法”，也是证明曲线系过定点的一般方法。
例、已知P（1,3）,直线I:
x—4y+1=0
（1）求过P且平行于I的直线I1的方程;
（2）求过P且垂直于I的直线l2的方程.
策略：
由Il//I的斜率关系可得k|i二4，由丨2丄I的斜率关系得心二—4,再利用
点斜式方程可求出直线Il，I2的方程.由平行直线系与垂直直线系可以求出Il，I2的方程.
解法一：
（1）v直线|的斜率为4且Ii/I,
•••直线I1的斜率ki=4
又•••Ii过P（1,3）,
11的方程为y—3=4（x—1），即x—4y+11=0.
⑵•••k“4且丨2丄I，
二直线12的斜率为k2=—4又•••丨2过P（1，3）
12的方程为y—3=—4（x—1）
即4x+y—7=0.
解法二：
（1）v11//1且I方程为x—4y+1=0
•••设11的方程为x—4y+C=0又•••P（1，3）在11上
•-1—4X3+C=0
解得C=11
••I1的方程为x—4y+11=0.
（2）vI2±
I
•••设12的方程为4x+y+C=0又v丨2过P（1，3）
•.4X1+3+C=0
解得C=—7
•-12的方程为4x+y—7=0.
评注：
一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便.
例、求证：
不论m为何实数，直线I:
（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一定点，并求出此定点坐标.
对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可.
证法一：
（特殊值法）
当m=1时，直线I的方程为y=—4；
当m=2时，直线I的方程为x=9;
•••两直线的交点为（9，—4），满足直线I的方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5•••不论m为何实数，直线I:
（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一定点（9，—4）证法二：
（直线系法）
将方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5整理得
m（x+2y—1）—（x+y—5）=0
x2y10x9
解方程组xy50得y4
•不论m为何实数，定点（9，—4）恒满足方程（m-1）x+（2m-1）y=m-5.即不论m为何实数，直线I:
（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一定点（9，—4）评注：
求某直线过定点的题目，常用的两种方法一一特殊值法和直线系法.
例、
+5
求经过两直线I仁x—2y+4=0和12:
x+y—2=0的交点P，且与直线13：
3x—4y0垂直的直线I的方程.
①可以先解方程组求出交点P,再利用I丄I3求出斜率，用点斜式求I方方程；
③先由过丨1，丨2的交点的直线系设出I方
②求出P点后，用垂直直线系求I然后由丨3丄I求系数.
程;
程,
x2y4
解法一：
解方程组xy2
0得交点P（0，2）
34
k3=4ki=一3
由点斜式得I:
y—2=一3x即4x+3y一6=0.
设所求直线I:
4x+3y+C=0
由解法一知：
P（0,2）代入方程，得C=—6
I:
4x+3y一6=0.
解法三：
（x—2y+4）+入（x+y—2）=0
整理得（入+1）x+（入—2）y—2入+4=0
TI丄I3
3（入+1）—4（入—2）=0
入=11
.I的方程为：
（x—2y+4）+11（x+y—2）=0即4x+3y—6=0.
解法一是常规解法，解法二用待定系数法，解法三应用了经过两直线交点的直线系方程，省去了求两直线交点的解方程组的运算.
利用直线系解题
、直线系的定义共点直线系方程
经过两直线h：
AxB’yC10」2：
A2XB?
yC20的交点的直线系方程为*B1yC1
（A>
xB?
yC2）0（为待定的系数）
平行直线系方程
与直线AxByC0平行直线系方程是
AxBy0（是参变量）
3、垂直直线系方程
与直线AxByCo垂直的直线系方程是
Bx-Ay0（j参变量）
】、利用直线系解题
例题：
（一）直接应用
1、求过点A（1，-4）且与直线2x3y50平行直线方程。
（课本第45页例2）（2x3y100）
2、求过点A（2,1），且与直线2xy100垂直的直线方程。
（课本第46页例4）（x2y0）
3、求经过两条直线2x3y100和2x4y20的交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程。
（课本第54页第11题第1小题）（2x3y20）
4、经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70的直线方程。
（课本第54页第11题第2小题）（4x3y60）
5、经过直线y2x3和3xy20的交点，且垂直于第一条直线的直线方程。
（课本第54页第11题第3小题）（x2y110）
6、求平行于直线xy20且与它的距离为2/2的直线方程。
（课本第87页第13题）（xy20或
xy60）
（二）间接应用
7、当a为任意实数时，直线（a1）xy2a10恒过的
定点为。
直线的方程可以化为a（x2）（xy1）0，由直
线系的定义我们知道：
直线过的点是方程组x20,Xy10的解，这样我们就可以知道直线过点（-2,3）。
8已知圆C:
（x2）2（y3）24及直线
l：
（m2）x（2m1）y7m8.证明：
无论m为任何实数，直线l恒与圆C相交。
分析：
判断直线与圆的位置关系通常采用“法”
“比
较d与r法“，特别是“法”运算量往往很大，当发现直线1过定点，且此定点又在圆内部时，妙解应运而生。
易证直线l过定点M（3,2），且（32）2（23）22<
4，即点M在圆C内，点M又在直线i上，故不m
为任何实数，直线i与圆C相交。
m,
9、a、b满足什么条件时，使得对于任意实数直线|:
y1（a0）总有公共点。
法”来解，但不仅运
（X1）2
ymb与曲线C:
a2
本题虽然可以用“
算量大（两次使用判别式），而且还容易忽视对
二次不等式系数的讨论而造成失解，如果利用直线l过定点（0，b），并使该点在椭圆C上或在其内部便可达到目的。
解:
易知直线i:
ybmx0过点M（0，b），欲使i与椭圆C恒有公共点，须使点在椭圆C上或在
（01）b21
其内部，于是有二厂b1即1a2b2a2时，对于任意实数m,直线l与椭圆C恒有公共点。
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