北师版八年级数学中垂线练习题Word格式.docx
《北师版八年级数学中垂线练习题Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《北师版八年级数学中垂线练习题Word格式.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
-24°
×
2=72°
∵BC的中垂线交BC于点E,
∴BF=CF,∴∠FCB=24°
∴∠ACF=72°
=48°
故选:
A.
根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°
,然后再计算出∠ACB的度数,再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF,进而可得∠FCB=24°
,然后可算出∠ACF的度数.
3.如图,在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,若已知AB=10,△GBC的周长为17,则底BC的长为( )
A.10B.9C.7D.5
如图,∵在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,
∴AG=BG,
∵AB=10,△GBC的周长为17,
∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17,AC=AB=10,
∴BC=7.
首先根据题意在等腰△ABC中,一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G,根据线段垂直平分线的性质,可得AG=BG,继而可得△GBC的周长=AC+BC=17,则可求得答案.
4.如图,AB=AC,∠A=40°
,AB的垂直平分线DE交AC于点E,垂足为D,则∠EBC的度数是( )
A.30°
B.40°
C.70°
D.80°
∵AB的垂直平分线DE交AC于点E,
∴AE=BE,
∴∠ABE=∠A=40°
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°
.
故选A.
由AB的垂直平分线DE交AC于点E,可得AE=BE,继而求得∠ABE=∠A=40°
,然后由AB=AC,求得∠ABC的度数,继而求得答案.
5.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,且AC=10,BC=4,则△BCE的周长为( )
A.6B.14C.18D.24
B
∵AC=10,BC=4,
∴AC+BC=10+4=14,
∵DE是线段AB的垂直平分线,
∴△BCE的周长=(BE+CE)+BC=AC+BC=14.
故选B.
先根据AC=10,BC=4,可得出AC+BC的长,再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE,进而可得出答案.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=12,AB=13,AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点,则△BCM的周长为( )
A.18B.16C.17D.无法确定
在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=12,AB=13,
由勾股定理得,BC=5,
∵MN是AB的垂直平分线,
∴MB=MA,
∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17,
根据勾股定理求出BC的长,根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA,根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.
7.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部,那么,这个三角形是( )
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
如图,O是边AB和边AC的垂直平分线的交点,
则AO=OB,AO=OC,
所以∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,
∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA,
∴∠BAC>∠ABC+∠ACB,
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∴∠BAC>90°
即△ABC是钝角三角形,
故选C
先根据题意画出图形,再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求出∠BAC>90°
即可.
8.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是( )
A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD=∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法确定
∵MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,
∴AC=BC,AD=BD,
∴∠DAB=∠CBA,∠DAB=∠DBA,
如图1,∠CAD=∠CAB+∠DAB,∠CBD=∠CBA+∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD;
如图2,∠CAD=∠CAB-∠DAB,∠CBD=∠CBA-∠DBA,
∴∠CAD=∠CBD.
首先根据题意画出图形,然后由MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,根据线段垂直平分线的性质可得:
AC=BC,AD=BD,则可证得∠DAB=∠CBA,
∠DAB=∠DBA,继而求得答案.
9.已知△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,则△ABC的腰和底边长分别为( )
A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm
D
如图,连接BD,
∵D在线段AB的垂直平分线上,
∴BD=AD,
∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm,且AB+AC+BC=60cm,
∴AB=60cm-38cm=22cm,
∴AC=22cm,
∴BC=38cm-AC=38cm-22cm=16cm,
即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,
故选D.
连接BD,根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD,可知两三角形周长差为AB,结合条件可求得腰长,再由周长可求得BC,可得出答案.
10.如图,地面上有三个洞口A、B、C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A、B、C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在()
A.△ABC三边垂直平分线的交点B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点D.△ABC三条中线的交点
∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等,
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处.
故选A
根据题意,知猫应该到三个洞口的距离相等,则此点就是三角形三边垂直平分线的交点.
11.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的( )
A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点D.三条角平分线的交点
三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点,
B.
根据线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等可得答案.
12.△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°
,则此等腰三角形的顶角为( )
A.50°
B.60°
C.150°
D.50°
或130°
(1)当AB的中垂线MN与AC相交时
易得∠A=90°
-40°
=50°
(2)当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时,
易得∠DAB=90°
∴∠A=130°
此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D.若AC=8,BC=6,则△DBC的周长为( )
A.12B.14C.16D.无法计算
∵DE是AB的垂直平分线,
∴DA=DB,
∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14,
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB,根据三角形周长公式求出周长.
14.如图,在△ABC中,AB=A,AC=B,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,则△AEC的周长等于( )
A.A+BB.A-BC.2A+BD.A+2B
∵ED垂直且平分BC,
∴BE=CE.
∵AB=A,AC=B,
∴AB=AE+BE=AE+CE=A.
∴△AEC的周长为:
AE+EC+AC=A+B.
要求三角形的周长,知道AC=B,只要求得AE+EC即可,由DE是BC的垂直平分线,结合线段的垂直平分线的性质,知EC=BE,这样三角形周长的一部分AE+EC=AE+BE=AB,代入数值,答案可得.
15.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )
A.在AC,BC两边高线的交点处B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在AC,BC两边垂直平分线的交点处D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
根据线段的垂直平分线的性质:
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.则超市应建在AC,BC两边垂直平分线的交点处.
要求到三小区的距离相等,首先思考到A小区、B小区距离相等,根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上,同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上,于是到三个小区的距离相等的点应是其交点,答案可得.
二、填空题
16.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AC的垂直平分线EF交AC于E,交BC于F.若FC=3cm,则BF=_________.
6cm
连接AF.
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
;
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F,
∴CF=AF,∠FAC=30°
∴∠BAF=90°
∴BF=2AF(30°
直角边等于斜边的一半),
∴BF=2CF=6cm.
故答案是:
6cm
利用辅助线,连接AF,求出CF=AF,∠BAF=90°
,再根据AB=AC,∠BAC=
120°
可求出∠B的度数,由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6cm.
17.如图,ED为△ABC的AC边的垂直平分线,且AB=5,△BCE的周长为8,则BC=________.
3
∵ED为AC上的垂直平分线,
∴AE=EC,
∵AB=AE+EB=5,△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8,
∴BC=8-5=3.
故答案为:
根据ED为AC上的垂直平分线,得出AE=CE,再根据AB=5,△BCE的周长为AB+BC=8,即可求得BC.
18.如图,已知在△ABC中,AB=AC=10,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC于D,若△BDC的周长为16,则BC=__________.
6
∵DE垂直平分AB,
∴AD+CD=BD+CD,即AC=BD+CD,
∵AC=10,△BDC的周长为16,
∴BC=16-AC=16-10=6.
先根据DE垂直平分AB可知,AD=BD,即AC=BD+CD,再由AC=10,△BDC的周长为16即可求出答案.
19.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°
,则∠DBC=
15
∴AD=BD,∠AED=90°
∴∠A=∠ABD,
∵∠ADE=40°
∴∠A=90°
∴∠ABD=∠A=50°
∴∠ABC=∠C=65°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°
-50°
=15°
根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出∠A=∠ABD=50°
,根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC,即可得出答案.
20.点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,则PB=_________.
7
∵点P在线段AB的垂直平分线上,PA=7,
∴PB=PA=7,
根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB,代入即可求出答案.
三、解答题
21.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使
三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置.
如图,①连接AB,AC,
②分别作线段AB,AC的垂直平分线,两垂直平分线相较于点P,
则P即为售票中心
由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.
22.如图,在△ABC中,∠C=90°
,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于D,E.若∠CAE=∠B+30°
,求∠AEB的度数
140°
∴∠B=∠EAB.
∵∠C=90°
,∠CAE=∠B+30°
∴∠B+30°
+∠B+∠B=90°
∴∠B=20°
∴∠AEB=180°
-20°
=140°
.
根据线段垂直平分线求出AE=BE,推出∠B=∠EAB,根据已知和三角形内角和定理得出∠B+30°
,求出∠B,即可得出答案.
23.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.
(1)求证:
△ABD是等腰三角形;
(2)若∠A=40°
,求∠DBC的度数;
(3)若AE=6,△CBD的周长为20,求△ABC的周长
(1)证明:
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴DB=DA,
∴△ABD是等腰三角形.
(2)30°
(3)32
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴DB=DA,
∴△ABD是等腰三角形;
(2)∵△ABD是等腰三角形,∠A=40°
∴∠ABD=∠A=40°
,∠ABC=∠C=(180°
)÷
2=70°
∴∠BDC=∠ABC-∠ABD=70°
=30°
(3)∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,AE=6,
∴AB=2AD=12.
∵△CBD的周长为20,
∴AC+BC=20,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32.
(1)根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证;
(2)首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数,然后减去∠ABD的度数即可得到答案;
(3)将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.
24.如图所示,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,交AB于E,交AC于D,连接BD.
(1)若∠ABC=∠C,∠A=50°
,求∠DBC的度数.
(2)若AB=AC,且△BCD的周长为18cm,△ABC的周长为30cm,求BE的长.
(1)15°
(2)6cm
(1)∵∠A=50°
又∵DE垂直平分AB,
∴∠A=∠ABD=50°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°
(2)∵DE是AB的垂直平分线,
∴AD=BD,AE=BE,
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18cm.
∵△ABC的周长=30cm,
∴AB=30-18=12cm,
∴BE=AE=6cm.
(1)已知∠A=50°
,易求∠ABC的度数.又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数.
(2)同样利用线段垂直平分线的性质:
垂直平分线上任意一点,和线段两端点的距离相等可解.
25.已知:
如图,在△ABC中,MN是边AB的中垂线,∠MAC=50°
,∠C=3∠B,求∠B的度数
=26°
∵MN是边AB的中垂线,
∴AM=BM,
∴∠BAM=∠B.
设∠B=x,则∠BAM=x,
∵∠C=3∠B,∴∠C=3x,
在△ABC中,由三角形内角和定理,得x+x+3x+50°
=180°
∴x=26°
即∠B=26°
根据线段垂直平分线性质得出AM=BM,推出∠BAM=∠B,设∠B=x,则∠BAM=x,∠C=3x,在△ABC中,由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°
,求出即可