学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试题理科解析版.docx
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学年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试题理科解析版
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合,则A∩B=( )
A.(0,2]B.[0,1]C.(0,1]D.[0,2]
2.(5分)若直线与直线l2的斜率互为相反数,则l2的倾斜角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
3.(5分)设m是一条直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,不能得到α⊥β的是( )
A.m⊂β,m⊥αB.m⊂α,m⊥βC.m⊥α,m⊥βD.m∥α,m⊥β
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=20,且a2,a3,a7成等比数列,则公差d=( )
A.0或3B.3C.0D.2
5.(5分)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为( )
A.B.C.D.
6.(5分)两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线,若m∈R,n∈R,且mn≠0,则的最小值为( )
A.4B.3C.2D.1
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.36B.48C.288D.576
8.(5分)将函数()的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于直线对称,则θ=( )
A.B.C.D.
9.(5分)将半径为4的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )
A.B.C.D.
10.(5分)已知f(x)是区间[﹣3,3]上的单调函数,且对∀x,y∈[﹣3,3]满足f(x+y)=f(x)+f(y),若f
(1)=﹣2,则f(x)的最大值为( )
A.2B.4C.6D.8
11.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.54B.45C.27D.81
12.(5分)如图,在矩形ABCD中,点G,H分别在边AD,CD上,AG=GD=DH=DC=8,沿直线GH将△DGH翻折成△D1GH,使二面角D1﹣GH﹣D为直角,点E,F分别在线段AB,CH上,沿直线EF将四边形EFCB向上折起,使B与D1重合,则线段CF=( )
A.B.C.1D.2
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)点M(0,0,a)到点A(1,0,2)到点B(2,﹣2,1)的距离相等,则a= .
14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值是 .
15.(5分)设向量,均为单位向量且夹角为120°,且(+2)•(λ﹣λ)=﹣3,则λ= .
16.(5分)过点A(a,0)作圆C:
(x﹣3)2+(y﹣4)2=4的一条切线,切点为B,若a∈[﹣8,9],则△ABC的面积S满足的概率为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)某公司2016年前三个月的利润(单位:
百万元)如表:
月份
1
2
3
利润
2
3.9
5.5
(1)求利润y关于月份x的线性回归方程;
(2)试用
(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润;
(3)试用
(1)中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万?
相关公式:
b=,=﹣.
18.(12分)已知直线m:
(a﹣1)x+(2a+3)y﹣a+6=0,n:
x﹣2y+3=0.
(1)当a=0时,直线l过m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O到直线m的距离为,判断m与n的位置关系.
19.(12分)已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,又PD⊥平面ABCD,点E是棱AD的中点,F在棱PC上
(1)证明:
平面BEF⊥平面PAD
(2)试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF.
20.(12分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinB=4asinB+5asinA.
(1)若,求角C的大小;
(2)若a=2,且△ABC的面积为,求△ABC的周长.
21.(12分)已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切.
(1)若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;
(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A,过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交圆O于B,C两点,且k1,k2=﹣3,试证明直线BC恒过一定点,并求出该定点的坐标.
22.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是边长为2的棱形,且∠DAB=60°,PB=PC,PD=4,E,F分别是AD,PA的中点.
(1)证明:
AD⊥平面BEF;
(2)若二面角P﹣AD﹣B的大小为30°,求点D到平面PBC的距离.
2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合,则A∩B=( )
A.(0,2]B.[0,1]C.(0,1]D.[0,2]
【分析】运用一次不等式的解法,化简集合A,由对数的真数大于0,化简集合B,由交集的定义,即可得到所求集合.
【解答】解:
集合,
可得A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1},
B={x|2x﹣x2>0}={x|0<x<2},
则A∩B={x|0<x≤1}=(0,1].
故选C.
【点评】本题考查集合的交集的求法,注意运用定义法,同时考查对数的真数大于0,考查运算能力,属于中档题.
2.(5分)若直线与直线l2的斜率互为相反数,则l2的倾斜角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
【分析】由已知求得直线l1的斜率,进一步得到直线l2的斜率,再由斜率是倾斜角的正切值求得l2的倾斜角.
【解答】解:
直线的斜率为,
∵直线与直线l2的斜率互为相反数,
∴直线l2的斜率.
设l2的倾斜角为α(0°≤α<180°),
则tan,得α=60°.
故选:
B.
【点评】本题考查直线的倾斜角,考查直线斜率与倾斜角的关系,是基础题.
3.(5分)设m是一条直线,α,β是两个不同的平面,给出下列条件,不能得到α⊥β的是( )
A.m⊂β,m⊥αB.m⊂α,m⊥βC.m⊥α,m⊥βD.m∥α,m⊥β
【分析】根据线面平行的性质与面面垂直的判定定理判断.
【解答】解:
对于A,∵m⊥α,m⊂β,∴α⊥β;
对于B,∵m⊂α,m⊥β,∴α⊥β;
对于C,∵m⊥α,m⊥β,∴α∥β;
对于D,∵m∥α,∴存在直线n⊂α,使得m∥n,
∵m⊥β,∴n⊥β,又n⊂α,∴α⊥β.
故选C.
【点评】本题考查了面面垂直的判定定理,属于中档题.
4.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=20,且a2,a3,a7成等比数列,则公差d=( )
A.0或3B.3C.0D.2
【分析】根据题意,由等差数列的前n项和公式可得=5a3=20,解可得a3的值,又由a2,a3,a7成等比数列,则(a3)2=(a3﹣d)(a3+4d),解可得d的值,即可得答案.
【解答】解:
根据题意,等差数列{an}中,若S5=20,即=5a3=20,
则a3=4,
又由a2,a3,a7成等比数列,则(a3)2=(a3﹣d)(a3+4d),
即16=(4﹣d)(4+4d),
解可得d=3或0,
故选:
A.
【点评】本题考查的等差数列的性质,关键是求出该等差数列的通项公式.
5.(5分)某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].则从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为( )
A.B.C.D.
【分析】由频率分布直方图得每周自习时间少于20小时的频率为0.05.由此能出从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率.
【解答】解:
由频率分布直方图得:
每周自习时间少于20小时的频率为:
0.02×2.5=0.05.
∴从这400名大学生中抽出1人,每周自习时间少于20小时的概率为:
p=0.05=.
故选:
D.
【点评】本题考查频率及频率分布直方图,频率、概率等有关知识,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和运用意识.
6.(5分)两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线,若m∈R,n∈R,且mn≠0,则的最小值为( )
A.4B.3C.2D.1
【分析】由题意可得两圆相内切,根据两圆的标准方程求出圆心和半径,可得m2+4n2=4,再利用“1”的代换,使用基本不等式求得的最小值.
【解答】解:
由题意可得两圆相内切,两圆的标准方程分别为x2+(y﹣m)2=1,(x﹣2n)2+y2=9,
圆心分别为(0,m),(2n,0),半径分别为1和3,
故有=2,∴m2+4n2=4,
则=(m2+4n2)()
=(8++)≥×(8+2)=4,
当且仅当=时,等号成立,
∴的最小值为4.
故选A.
【点评】本题考查两圆的位置关系,两圆相内切的性质,圆的标准方程的特征,基本不等式的应用,得到m2+4n2=4是解题的关键和难点.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( )
A.36B.48C.288D.576
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值,当k=5时,满足条件,退出循环,输出S的值为576.
【解答】解:
模拟执行程序框图,可得
k=1,S=1
不满足条件k≥5,S=1,k=2
不满足条件k≥5,S=4,k=3
不满足条件k≥5,S=36,k=4
不满足条件k≥5,S=576,k=5
满足条件k≥5,退出循环,输出S的值为576.
故选:
D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的S,k的值是解题的关键,属于基础题.
8.(5分)将函数()的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象关于直线对称,则θ=( )
A.B.C.D.
【分析】利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,得出结论.
【解答】解:
将函数()的图象向右平移个单位后,
得到函数g(x)=cos(2x﹣+θ)的图象,
若g(x)的图象关于直线对称,则﹣+θ=kπ,k∈Z,
即θ=kπ+,k∈Z,令k=﹣1,可得θ=﹣,
故选:
D.
【点评】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属于基础题.
9.(5分)将半径为4的半圆围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为( )
A.B.C.D.
【分析】求出半径为4的半圆所围成的圆锥底面圆的半径r和圆锥内切球的半径x,
再求内切球的表面积.
【解答】解:
半径为4的半圆围