6大气能量分布张学文Word下载.docx
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图2．13全球大气年平均内能（εi）分布
（单位：
104J/kg）
从图中长方柱的分布看，柱体集中在某一有限区间内，而且柱高近于相等。
这与气温的分布很相似。
内能是气温乘一个常数Cv，所以它也应是同气温分布相同的均匀分布。
此均匀分布函数拟合的结果顺利地通过了置信度为0.05的χ2检验。
这就是说，全球大气全年平均内能分布是均匀分布。
其分布函数同（2.14）式。
只是对于内能来说（全年平均）a=14.4×
104J/kg，b=21．4×
104J/kg。
所以，全球大气年平均内能的分布式在内能界于14.4×
104J/kg-21.4×
104J/kg时为
（2.25）
内能为其他值时，其分布函数值为0（没有这样的大气存在）。
为检验（2．25）式的稳定性，我们又分别做了北半球四季的全球大气内能的分布。
发现它们都符合均匀分布（通过了置信度为0.05的χ2检验），只是参数a，b略有变化。
可见，用均匀分布函数来拟合内能分布是可靠的。
6．3大气位能分布
与内能分布的做法相同，我们做了全球大气年平均和四季的位能分布。
把它画成直方图（图2.14）发现，随着位能的增大，长方柱的高度单调降低。
这种分布形式很象全球大气风速分布形式。
因而，我们用负指数函数去拟合。
结果是顺利通过了置信度为0.05的χ2检验。
图2．14全球大气年平均位能分布
（a=6.75，单位：
104J/kg）
对年平均位能的分布函数来说，只要把（2.6）式中的v改为εp，a=6.75×
104J/kg即可。
各季的位能分布都符合（2.6）式*，只是a值（全球大气位能平均值）略有不同。
地球大气位能呈现出负指数分布，这并不奇怪。
我们知道靠近地表的大气位能小，但这里的大气稠密，占的大气质量多（5500m高度以下的大气重量就占了全球大气总重量的一半）；
越到高层，大气位能越大，但大气质量很少。
所以位能的质量分布，能呈现出位能小的占空气质量多，位能大的占空气质量少的这样一个负指数分布。
6．4大气潜热能的分布
大气潜热能是水的凝结潜热L与比湿q的乘积。
而凝结潜热基本上是常数，所以潜热能的分布形式应与比湿的分布形式相似，都应是负指数分布。
经实测资料计算所得到的大气潜热能分布，确实是符合负指数分布（见图2.15）。
其分布函数式是（2.15）式，只是应把（2.15）式中的q改为潜热能εq，参数a在潜热能分布式中表示的是全球平均潜热能。
对于全球大气多年平均来说，a=7.69×
103J/kg。
6．5大气动能分布
大气动能εp的计算式是风速的平方乘0．5，因而，动能的分布式可由风速的分布式推导出来。
下面就推导之*：
全球大气风速分布式是在第四节介绍过的（2.6）（2.6）[原书稿误为（2.4）-2007.8.22注]式。
由动能的计算式
图2.15全球大气年平均潜热能分布
（a=7.69，单位：
103J/kg）
得
（2．26）
因而
（2.27）
代入（2.6）
得
（2.28）
这就是大气动能的分布函数。
这里的a是全球大气平均风速。
要想知道平均风速与平均动能e的关系，只要做如下积分即可得出：
（2．29）
所以，全球大气动能的平均值就是风速的平均值的平方。
6．6全球大气总能量分布
大气总能量由（2．24）式决定。
由总能量计算式知，它是内能、位能，动能三项之和。
我们计算出它的分布见图（2．16）。
图中直方柱的高度（相对质量数）随能量的变化表现为单峰偏态。
因而，我们用Γ分布去拟合。
结果它符合n=3的Γ分布，其分布式如下：
上面（2.30）式中
是全球大气总能量平均，ε0是总能量的下限值。
对于多年平均来说，
=24.9×
104J/kg，ε0=17．9×
各季节的总能量分布都符合（2．30）式，只是参数
、ε0，略有差别。
在表2.7中，列出了各种能量的分布函数类型及其参数。
可以看出，这些参数在一年四季中变化不大。
图2．16全球大气年平均总能量分布
（图中起点平移17.9，单位：
104J／kg）
表2.7能量分布函数类型及其参数
春
夏
秋
冬
全年
单位
分布函数类型
内能εi
上限b
14.11
13.18
14.33
14.19
14.40
104J／kg
均匀
下限a
21.11
22.18
21.33
21.19
21.40
平均值
18.12
18.18
18.11
18.10
18.15
位能εp
6.76
6.79
6.75
6.74
负指数
潜热能εq
7.43
7.87
7.45
6.53
7.69*
103J／kg
动能εk
6.63
7.53
6.99
7.14
6.11
10J／kg
是负指数
总能量ε
24.89
24.97
24.87
24.84
24.90
n=3的Γ分布
坐标平移ε0
18.84
17.49
17.91
表中平均值均为全球大气平均
7降水问题中的分布函数
降水问题中也存在着一些分布函数，水文学中最关心的暴雨面深问题便是一例。
对于这类问题，过去所能做到的主要是资料统计和经验归纳。
自从熵原理被引入气象学后，由它推导出了许多分布函数，使这种局面发生了变化。
在这里着重介绍由它导出的降水问题中的分布函数。
7．1．降水（暴雨）的面深关系
图2．17等雨量线在地域上的分布，
（新疆南部，1966年8月10—17日，单位：
mm）
一场降水之后，在降水区域内，不同地点的过程雨量不同。
如果做一张雨量图，分析等雨量线（图2．17）就会发现，不同的雨深各占有一定大小的面积。
这就是说，雨深与其占有的面积之间存在一函数关系。
以f（r）表示之。
f（r）的意义是，雨深为r→r+dr者占有的面积与降水区总面积之比。
从概率的角度讲其意义是在降水区域中任取一小块面积上的雨深为r的概率密度。
这个f（r）就是要介绍的雨深面积分布函数。
由熵原理推导出的f（r）表达式为（具体推导过程见第6章）：
（2．31）
式中r0是降水区域中的最小雨深值，
是雨深大于r0区域内的平均雨深，而f（r））与r则是一对变量，它们之间是负指数关系。
（2．31）式是经理论推导得出的，它是否与实际相符，这还需要用实测资料验证。
经用遍及全国19个省区的86场暴雨个例验证知[15]，有85场通过了信度为0.05的显著性检验。
这个结果是令人满意的（见图2．18）。
图2．18f（r）的理论曲线与实况的对比
（河南，1975年8月5—7日，暴雨）
必须指出，在我们所选的86场暴雨个例中包含有各种类型的降水（台风，梅雨、中纬度西风槽降水），并且其中心雨量的差别也很大（从1850mm到34mm）。
面对这样一批实例，（2．31）式都能适应，可见其具有相当的普适性。
这就是说，我们用（2．31）式把发生在不同地域的各种类型，各种大小的降水的面积和深度的关系，用一个统一的公式表示出来了。
当然，对于每一场降水，（2.31）式中的平均降水量
、r0是变化的，而f（r）与r的函数表达式则不变。
7．2降水强度和时间的关系
某地下了一场雨，在这个过程中雨并不是以同一速度均匀地降下来的，而是时急时缓。
如果我们把这场雨中不同的降水强度所维持的时间求出来，就会发现不同的雨强各维持有一定的时间。
图2．19不同降水强度的维持时间
（南昌，1975年8月13日）
图2．19是从南昌的一场降水过程中整理出来的雨强--时间关系图。
不难看出，图中的降水强度与其维持时间存在着函数关系，即降水强度大的维持时间短，降水强度小的维持时间长，它们维持负指数关系。
图2．19中的光滑曲线就是配给的负指数函数曲线，其表达式为
（2.32）
式中I是这场雨的平均降水强度，I0是这场雨中的最小雨强理论上I0=0，但实际处理资料时I0常为一个稍大于零的数。
图2．19中的直方柱则是由实测资料算得的。
可以看出，曲线与直方柱拟合得很好。
实际上，由熵原理也可以推导出雨强与时间的关系符合（2．32）式。
这个推导过程与降水的面深关系的推导类似。
为检验（2．32）式的可靠性，我们选用了国内9个省的117次各种强度的降水过程，对（2.32）式进行验证。
结果是在0.05的信度下，有84％可通过统计检验[16]。
由于雨强时程问题在水利工程设计及防洪中有着重要地位，所以这类问题在过去有过许多研究，但它们都是经验性的。
其中Paulhus（17）在1965年找出的经验方程，至今还被广为应用。
这个方程是
R=421.6D0.475（mm）（2.33）
式中R是降水的世界极大值，D是其持续时间。
若把从熵原理得出的（2．32）式变一下形，就可得出一个外形和意义都与（2．33）式类似的雨量时程方程[18]
式中R、T是过程的总降水量和总历时，r是在t时间里的降水量（2007年注：
是t时间内的最大降水），
是过程平均雨强，即
=R/T，I0的意义同（2．32）式。
经过对国内293次降水过程检验知，（2.34）式的相对误差为10.7％，而（2．33）式的相对误差为15.5％。
可见（2.34）式的可靠性之高。
7．3瞬间雨量（雨强）在面积上的分布
前面谈到的是一场天气过程的雨量在面积上的分布函数是负指数函数。
在这里要谈的是瞬间雨量（即雨强）在面积上的分布问题。
如果我们把24小时、6小时、1小时雨量点在一张图上，并分析等雨量线，就会发现同样也存在一个雨深与面积的分布函数。
与前不同的是，这里的随机变量是各时段雨量（即雨强），而不是过程雨量。
我们把这种分布叫瞬间雨量在面积上的分布。
那么我们要问，它是否也符合负指数分布?
我们做过美国最大24小时雨量、3天雨量、7天雨量、最大1小时、3小时、6小时、12小时雨量在面积上的分布[19]。
其结果都符合负指数分布。
此结论还需用更多的资料去验证、证实。
7．4平均雨强在面积上的分布
一场雨之后，在降水区域中，各点都有一个过程平均降水强度。
如果把它们点在一张图上，并分析平均雨强I的等值线，也会发现，不同的I占有的面积不同。
即存在一个雨强面积函数f（I）。
那么这个函数形式会是什么样呢?
我们做了新疆1978年6月8—12日这场全疆性暴雨的过程平均雨强图，经过分析发现，I与其占有的面积之间仍符合负指数关系式：
I大的占有的面积小，I小的占有的面积大。
这仅仅是一个例子，实际情况是否都如此，还需用大量的资料进一步验证。
8气象要素的概率分布
把统计物理中的分布函数概念引入气象科学并且找出若干个气象要素的具体的分布函数。
这提高了我们对气象现象的综合能力。
从一定含义上讲，前面分析的云滴谱、风速分布、能量分布等等都是指的在同一时刻的气象变量在质量（或空间）上的分布。
而气候学中曾大量研究过的气象要素的概率分布问题则是同一地点的气象要素的取值在时间上的分布问题（如不同的温度在当地各占多少时间等等）。
依此看来，过去气候统计学广为研究的气象要素的概率分布问题与本书着重介绍的分布函数问题是统计气象学中一个大问题的两个分支。
人们早已知道某些气象要素的出现概率遵守正态分布、指数分布……，而本书中一再揭示某些气象要素的分布函数也是遵守统计数学给出的正态分布、指数分布等等。
这种数学函数的类似性不仅印证了它们同属一个数学体系，也预示着它们同属类似的物理成因。
所以，可以认为本书后边推荐的理论思路对解释气象要素在空间上的概率分布与其在时间上的概率分布都具有实用意义。
换言之，本书介绍的理论推进了气象要素概率分布问题的理论分析研究。
这实际上提高了统计气象学的理论水平，使它从经验性的统计走向理论体系化。
在第六章中介绍的日降水、月季降水、年降水和无雨期长度的不同概率分布都可以从最大熵原理和卷积分布[21]角度一步步的推导出来就是个有力的证明。
本书最后的附录B把这一章讨论过的一些气象要素在空间（含等压面）上的分布和时间上的分布（即过去讨论的概率分布）汇集在一个表中。
这数十种分布涉及气象学内不少重要领域。
这说明分布问题几乎遍及气象学各领域。
因而为它们提供一种统一的认识途径就显得很必要。
9大气分布函数与相空间
在前几节我们曾分别讨论过很多种单要素（一维）的分布函数。
可是由于气象状态本身就是一个由多个要素共同描述的问题，因而研究由多个要素联合取值的多维分布函数问题就成了一件重要的事情。
如果要想确定任何一个空气微团的状态，没有上10个变量是不够的。
而要分析一个有10个分量的向量就太复杂了。
为了使问题提的简繁适度，我们定义的大气分布函数f是—个有7个自变量的函数[22]，其表示式是
（2．35）
这里的t表示时间，因而真正的气象变量仅有p，T，q，
函数f告诉我们在时刻t的全球大气中气压介于p→p+dp、温度介于T→T十dT、比湿介于q→q+dq风矢量介于
的大气质量dm可由下式求得
（2．36）
（2.36）式表明了大气质量是如何分布在压、温、湿、风的不同的取值区间中的。
从概念上分析，在任一时刻，f仅能是一个≥0的实数。
f的值随时间t的变率是否很小将是一个值得重视的问题。
如果把大气分布函数f对各气象变量作积分，即
（2.37）
这个积分如从对应变量的下限积到上限，那么依定义，它恰好是全球大气的质量值M0。
由于在5天以内以致1年以内的研究中我们可以把大气质量视为常数，所以分布函数f对p、T、q、
的积分为常数，就可以视为对分布函数的一种积分型的约束条件。
如果对（2．37）式两侧以大气总质量M0去除，则左侧变成了单位值1，右侧被积函数变成f/M0。
这说明f/M0具有数学上的归一性。
实际上f/M0就是第一章介绍的相对分布函数，它具有概率密度的性质。
其含义是变量p、T、q、
每有单位增量时大气相对质量的对应增量。
如果对分布函数f的6个气象变量（指p、T、q和风矢量的3个分量）中的任意1—5个做积分，我们就得到关于未被积分的气象变量的分布函数。
例如我们不对气压积分而仅积分外5个气象变量，则会得到关于气压的分布函数f（p，t），即
（2.38）
从以上分析可以看出，如果我们已经知道了大气分布函数f（p、T、q、
），那么对它做各种不同的积分就可以得到不同气象要素的分布函数。
为了帮助理解大气分布函数这个多维的描述全球大气状态的概念，我们把统计物理中常常使用的相空间[23]概念也一并作些讨论。
对于单原子粒子来说，知道了它的确定的位置（x,y,z）和确定的动量px，py，pz。
这6个量也就确知了这个粒子的状态了。
如果设想有一个互相正交的6维的抽象空间，其3个坐标表示x,y,z而另外3个坐标表示动量的3个分量，那么上述的单原子粒子的状态就与6维空间中的1个点对应。
如果有一个容器中有1024个单原子的气体分子（粒子）。
从理论上讲每个分子的状态都与6维抽象空间中的一个点对应。
因而1024个分子就在6维空间中对应着1024个点。
这1024个气体分子在容器中的运动当然也就对应着6维空间中的1024个几何点在移动。
而这种6维空间内的1024个点的移动就描述了每个粒子的状态的变化。
这里讲的6维抽象空间就是统计物理中讲的一种相空间（μ空间）。
仿照以上思路我们也可以把大气的状态用类似的相空间中的“几何点”表示出来。
首先，统计物理中的“粒子”概念是与气象学中的“空气微团”概念对应的（第二章）。
这样对比起来不难看到一个容器有1024个粒子（统计物理语言）与我们地球上的大气大约由5×
1021个空气微团（每个微团的质量约为1克）组成的相对应。
我们已经讨论过，为了描述空气微团的状态（x,y,z，p、T、q、
）要用9个变量。
这样看来大气的相空间（与统计物理中的u空间对应）应当是个9维相空间。
依此看来5×
1021个空气微团要在9维的相空间中占有5×
1021个代表点。
相空间的“体积”在理论上当然是无限大的。
可是代表大气中各个微团的气象状态的几何点则仅能散布于大气相空间中不太大的一块区域中。
不难想象如果处于p=pk，T=Tk,，q=qk和
附近的大气质量很多，那么在相空间中其位置处于pk，Tk，qk和
附近的几何点就特别密集。
而在另一些相空间区，几何点的个数就稀少一些。
依此分析，可以设想在大气的相空间中，不同部位的几何点的个数疏密不一引出了在单位相体积中几何点（每个点代表的大气质量都相等）的个数（或说密度）的分布问题。
显然微团在相空间中不同部位的个数可以看成是相空间的几何坐标的函数。
这个函数描述了大气微团在相空间中的疏密程度的分布。
这个函数与过去讨论的分布函数毫无关系吗?
读者细心分析就不难得出把这个函数对空气微团的3维几何位置做定积分，就使原函数变成了仅含气压、温度、比湿和风矢量的一个新函数。
而它就是最初介绍的大气分布函数。
6维相空间和9维相空间都无法在3维的几何空间中具体的显示出来，这是其弱点。
为对此有个形象的直观认识我们分析了两个3维的相空间分布图。
一个是以气压、温度和风的绝对值为3个垂直坐标，另一个是以空气的位能、内能和动能为3个坐标。
当把空气微团的代表点向图上点时我们当然无力去点5×
1021个点（每点1克），我们是把1016kg的空气作为一个点而点到图上的。
点的疏密就反映了处于该状态的大气的多或少。
由于内能与温度成正比，气压又与位能关系密切而动能是与风速的平方成正比，所以这两幅“相图”有一定对应性。
下面就仅介绍其中的一种，即位能、内能、动能的分布。
我们从文献[8]中的多年平均资料中设法求出动能、位能、势能为各种值的大气各有多少吨，这些都列于表2．8中。
这个表实际给出了一个压缩的大气分布函数（三维）。
表2.8动能v2、位能gz、内能CvT为不同值的大气各占多少质量
（1）
CvT、gz单位是104J/kg，v2的单位是102J/kg，大气质量的单位是1015kg
v2
7-8
6-7
5-6
4-5
3-4
左：
CvT
下：
gz
15-16
16-17
17-18
18-19
0-3
3-6
29.14
63.87
6-9
21.86
34.73
17.0
44.53
9-12
83.51
17.37
19.63
43.42
22.66
75.13
29.45
14.57
21.3
12-15
31.94
30.96
15-18
5.67
18.95
9.07
13.89
3.88
15.71
20.09
18-21
4.53
5.83
3.1
15.63
21-24
表2.8动能v2、位能gz、内能CvT为不同值的大气各占多少质量
（2）
左v2
2-3
1-2
0-1
左CvT
19-20
20-21
21-22
36.29
28.23
86.95
25.19
215.98
254.95
629.81
193.35
22.67
209.91
8.86
111.29
51.81
619.96
273.73
39.26
11.63
42.6
26.89
69.43
177.24
38.16
63.9
33.22
67.31
100.98
40.38
87.46
32.75
20.73
70.9
23.74
9.82
15.97
108.74
39.65
17.45
73.12
如果以x方向表示内能εi,y
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