第6讲动量定理角动量定理.docx
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第6讲动量定理角动量定理
第6讲力与运动的关系动量定理
（1）
一、动量定理：
Ftmv（微兀法）
1、以速度大小为vi竖直向上抛出一小球，小球落回地面时的速度大小为V2，设小球在运
动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比fkv，求小球在空中运动的时间t=?
（高度
h=？
）
2、质量为m,长为L的均匀软铁链用细绳悬在天花板上，下端刚好接触地面•某时刻细绳突然断了，软铁链自由落下，求：
（1）从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力？
（2）若地面改为电子秤托盘面，求秤的最大读数为铁链重力的几倍？
（隔离分析微元或整体“导数”）
（练习）一根均匀柔软绳长为L,质量为m，对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子上脱落，求下落端的端点离钉子的距离为x时,
钉子对绳子另一端的作用力.
（机械能不守恒）
3、质量很大的平板沿水平方向以速度vo运动.一小球在高度为
H处从静止自由下落，并与平板相碰，小球与平板间的摩擦系数为口，小球反弹时相对地面的速度为V,与水平面的夹角为a,反弹后达到的最大高度仍为H，试讨论a与高度H的关系.
（注：
当“碰撞”作用时间极短时，可忽略有限大小力的冲量.）（tf与tN关系怎样？
）
二、动量守恒定律
①系统在某一方向上所受合外力为零，则系统在这一方向上动量守恒②当物体间内作用时间极短时，忽略有限大小外力的冲量，动量守恒
1、图为两弹性小球1和2，球1的质量为球2的质量为m2，静止.两球相碰后，球碰前速度方向垂直，球2的速度方向与球
0,sin0.6•试求两球碰后的速度大小以及恢复系数、总机械能的损失?
（斜碰，没有摩擦作用，eV2V仅在弹性作用方向体现）
V10V20
2、如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车，其质量为M，车
左端站着一个质量为m的人，车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（相对地面）？
（设速度大小V、方向0）
（练习）如图所示，固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,
发射筒与水平面成45°角小车放在光滑水平面上，被发射的小球质量为
m,现将弹簧压缩L后放入小球，从静止开始，将小球弹射出去•已知小球的射高为H,不计小球
在发射筒内的重力势能变化•试求弹簧的劲度系数k.
（小球相对地面的出射速度工
）45
3、如图所示，质量均为m的两质点A和B,由长为L的不可伸长的轻绳相连，B质点限制在水平面上的光滑直槽内，可沿槽中滑动，开始时A质点静止在光滑桌面上，B静止在直槽内，AB垂直于直
槽且距离为L/2，如质点A以速度vo在桌面上平行于槽的方向运动，求证：
当B质点开始
运动时，它的速度大小为3vo/7;并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量?
（寻找守恒量：
A+B在水平方向、A在垂直绳子方向上动量守恒）
思考题1、质量分别为mi、m2和m3的三个质点A、B、
C位于光滑的水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻
绳AB和BC连结，角ABC为-,为一锐角，如图
所示，今有一冲量为
I的冲击力沿BC方向作用于质点C,求质点A开始运动时的速度.
思考题2、如图所示，三个质量都是
m的刚性小球A、B、C位于光
滑的水平桌面上（图中纸面）
A、B之间，B、C之间分别用刚性轻
杆相连，杆与
A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）•已知杆
AB与BC的夹角为-,
一极短时间内挡板对C的冲量的大小.
、质心参考系
当F合=0时，系统的质心相对地面匀速或静止，速度vc吋1唤一（动量视角）
mm2
系统总动量P（地面系）=质心动量（PcMvc）+相对质心总动量（P0）（质心系）
③Konig定理：
系统总动能E（地面系）质心动能相对质心动能E（质心系）（动能视角）
以二个质点为例，质量分别为m1和m2,相对于地面参考系的速度分别为W和V2,
质心C的速度为vc,二质点相对于质心的速度分别为v1和v2,于是v1vcv1,v2vcv2,
括号中的求和表示质心对于自己的速度（或两物体相对质心的动量为零），必定为零.
1212121212
质点系的动能Ek-mv-m,v2二（m1m2）Vc二mzV?
Ek，由此可见，
22222
质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和（Konig定理），对于多个质
点，这个关系也成立.
质点系的动能
Ek!
戒訓v2得：
Ek£（mm2）v2mm2Vr2•
2222（mm2）
1、如图所示，一长直光滑板AB放在平台上，OB伸出台面，在左侧的
D点放一质量为mi的小铁块，它以初速度v向右运动.假设直板相对
桌面不发生滑动，经时间To后直板翻倒•现让直板恢复原状，并在直板
为m2的小物体，同样让mi从D点开始以v的速度向右运动，并与
mi开始运动后经过多少时间直板翻倒
2、如图所示，质量为M，倾角为B的光滑斜面，放置在光滑水
平面上，另有一质量为m的小物块沿斜面下滑，斜面底边长为
L.当物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求：
（1）斜面具有多大的速度;
（2）斜面沿水平面移动的距离.
巩V咤
O点放上另一质量
m2发生正碰，那么从
m
M
0
L
3、如图所示，质量分别为mi、和m2的两滑块A和B放置在光滑的水平地面上，A,B之
间用一劲度系数为k的弹簧相连•开始时两滑块静
止，弹簧为原长.一质量为m的子弹以速度vo沿
弹簧长度方向射入滑块A，并不再出来•试求：
（1）弹簧的最大压缩长度;
吕厂卜whih
IB
（2）滑块B相对地面的最大速度和最小速度.
4、如图所示，质量为m的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有
质量也为m的小滑块，滑块与箱底之间无摩擦.开始时箱子不动，滑块
以速度vo从箱子的A壁向B壁处运动，然后又与B壁碰撞•假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，e=41/2.
（1）要使“滑块+箱子”系统动能的总损耗不超过40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次?
（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？
5、如图所示，质量M=1Kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L=1m,
质量m=lKg的小物体从箱子中央以vo=5m/s的速度开始向右运动，物
体与箱底间的动摩擦因数=0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生
多少次碰撞？
当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？
（练习）如图所示，在光滑水平面上静止放着一个质量为M的中空
物体，其中间是一个半径为R的球形空间，内表面也是光滑的.另一个质量为m、半径为r的小球，从两球心等高的位置静止释放，
试求：
（1）小球到达最低点时，中空物体移动的距离；
（2）小球到达最低点时，中空物体的速度.
（3）判断：
小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高?
第6讲力矩与转动的关系角动量定理
（2）
一、质点的角动量定理
1质点相对参考点的角动量：
如图所示，质量为m的质点在
直线运动，求此质点相对于原点
2质点的角动量定理：
Mt
Lmvrsin
xy平面内以速度v作匀速
O的角动量L.
L2L!
3质点角动量守恒定律：
若作用于质点的合力对参考点O的合力矩M始终为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点O的角动量守恒定律.
在有心力场作用下运动的物体，因合力矩为零，故物体相对力心的角动量守恒.
如果质点在有心力作用下运动，由于有心力对力心的力
矩为零，因此质点对该力心的角动量就一定守恒.例如：
行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下
的运动，日心即力心；地球卫星在地球引力作用下运动，
地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即原子核.在这些情况下，我们可得出
结论：
行星在绕太阳的运动中，对日心的角动量守恒（开普勒第二定律实际就是对有心力点的角动量守恒）
「2的圆周运动时停止•试求此时小
的角动量守恒.
1、在光滑水平桌面上有一小孔0,—细绳穿过小孔，
其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉住•设开始
时令小球以速率V1绕孔0作半径为ri的匀速率圆周运
动，如图所示.现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为
球的速率V2以及在此过程中绳子拉力T所做的功?
2、如图所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a,其弹性系数为k.今两球同时受冲
力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b
=2a,求两球的初速度vo?
（练习）两个滑冰运动员，质量分别为MA=60Kg,Mb=70Kg,它们的速率va=5m/s,
vb=10m/s，在相距1.3m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离1.3m不变•求：
（1）二人拉手后，系统的角速度.
（2）计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由.
3、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，0为其球心•己知取无限远处的电势
为零时，球表面处的电势为U=1000V.在离球心0很远的0'点附近有一质子b，它以
Ek=2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a.以I表示b与OO线之间的垂直距
离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求I的最大值•把质子换成电子，再求I
的最大值.
H、刚体的角动量定理：
MtL2L,（当M=0时，L=恒量.）
例：
如图所示，一根L=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0Kg,可绕水平轴O点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂.现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度
从A点水平射入棒内，A点离O点的距离为3L/4，棒的转动惯量J=ML2/3.求:
（1）棒开始转动时的角速度.
（2）棒的最大偏角.
（3）若子弹射入的方向与棒的夹角
=30，棒开始转动时的角速度.
m34L3L,J=ML2/3.
44
得棒开始转动时的角速度
3mvL
4（1ML2?
mL2）
316
=8.87rad/s.
（2）子弹射入棒内后系统机械能守恒，设棒的最大偏角为
L312132
Mg（1cos）mgL（1cos）Jm（—L）
24224
3•在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点,
另一端系一质量为m=0.5Kg的物体，开始时，物体位于位置A,
OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现使物体以初速度
A
B
4.如图所示，一个质量为m=2Kg的小球在细绳牵引下在光滑
水平的平板上以速率v=1.0m/s做匀速圆周运动，其半径
角动量练习
va=4m/s垂直于OA向右滑动，如图，设在以后的运动中物体到
达位置B,此时物体速度的方向与绳垂
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