C.m≥D.-≤m≤
答案 D
解析 m=x2-x=(x-)2-,x∈[-1,1].
当x=-1时,m最大为,当x=时,m最小为-,
∴-≤m≤.
9.设函数f(x)=x3+sinx,若0≤θ≤时,f(mcosθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1)B.(-∞,0)
C.(-∞,1)D.(-∞,)
答案 C
解析 易知f(x)为奇函数且为增函数,f(mcosθ)+f(1-m)>0,
即f(mcosθ)>f(m-1),∴mcosθ>m-1.
而0≤θ≤时,cosθ∈[0,1].(1-cosθ)m<1.
①当cosθ=1时,m∈R.
②当cosθ≠1时,m<,
∵0≤cosθ<1,∴≥1.
由①②可得m<1.
10.设椭圆+=1(a>b>0)的下、上顶点分别为B1、B2,若点P为椭圆上的一点,且直线PB1、PB2的斜率分别为和-1,则椭圆的离心率为________.
答案
解析 由题意,知B1P:
y=x-b,B2P:
y=-x+b,求得交点P,代入椭圆方程整理,得+=1,解得a=2b,∴e===.
11.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知2S3=a4-1,2S2=a3-1,则公比q=________.
答案 3
思路 本题主要考查了等比数列的通项公式、前n项和公式以及性质等基础知识,考查了方程思想与计算能力.
解析 设数列{an}的公比为q,因为2S3=a4-1,2S2=a3-1,所以解得q=0(舍)或q=3.
12.(2013·安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为________.
答案 [1,+∞)
解析 利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解.
设C(x,x2),由题意可取A(-,a),B(,a),
则=(--x,a-x2),=(-x,a-x2).
由于∠ACB=,所以·=(--x)(-x)+(a-x2)2=0,
整理得x4+(1-2a)x2+a2-a=0,
即y2+(1-2a)y+a2-a=0.
所以解得a≥1.
13.若数列{an}的通项公式为an=×()n-3×()n+()n(其中n∈N*),且该数列中最大的项为am,则m=________.
答案 2
解析 设()n=t,则an=t3-3t2+t,且t∈(0,].
令f(t)=t3-3t2+t,则f′(t)=8t2-6t+1.
令f′(t)=0,得t1=,t2=,由导数知识可知t=时,函数f(t)在区间(0,]上取得最大值,即an有最大值.再由()n=,得n=2,即m=2.
14.
(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________(m).
答案 20
解析 设矩形花园的宽为ym,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20m时,面积最大.
15.(2013·浙江)定义:
曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:
y=x2+a到直线l:
y=x的距离等于曲线C2:
x2+(y+4)2=2到直线l:
y=x的距离,则实数a=________.
答案
解析 曲线C2是圆心为(0,-4),半径为r=的圆,
圆心到直线l:
y=x的距离d1==2,所以曲线C2到直线l的距离为d1-r=.
设曲线C1上的点(x0,y0)到直线l:
y=x的距离最短为d,则过(x0,y0)的切线平行于直线y=x.
已知函数y=x2+a,则y′|x=x0=2x0=1,
即x0=,y0=+a,点(x0,y0)到直线l:
y=x的距离
d==.
由题意知=,所以a=-或a=.
当a=-时,直线l与曲线C1相交,不合题意,故舍去.
16.设a,b∈Z,函数f(x)=log2(4-|x|)的定义域为[a,b],值域是[0,2],若关于x的方程()|x|+a+1=0有唯一的实数解,则=________.
答案 -
解析 本题主要考查函数的定义域、值域,x的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3,又()|x|=-(a+1)>0,所以a<-1,当a=-2时,方程()|x|+a+1=0有唯一实数解0,故a只能等于-2,又f(x)的定义域为[a,b],值域是[0,2],故b=3,所以=-.
17.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,求的值.
答案
解析 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点坐标为(x0,y0),则ax+by=1,ax+by=1,两式相减得a(x1-x2)·(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0.又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,所以2ax0+2by0·=0,即ax0-by0=0,故==.
18.(2013·天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若·+·=8,求k的值.
思路
(1)由已知条件建立关于a,b的方程组,求得a,b的值,得到椭圆方程;
(2)设出直线方程,利用根与系数的关系,结合平面向量的数量积的坐标运算建立关于斜率k的方程进行求解.
解析
(1)设F(-c,0),由=,知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±.
于是=,解得b=.
又a2-c2=b2,从而a=,c=1,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
由根与系数的关系可得x1+x2=-,
x1x2=.
因为A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.