秋季学期新人教A版高中必修三111算法的概念导学案.docx

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秋季学期新人教A版高中必修三111算法的概念导学案

1．1.1　算法的概念

[学习目标]　1.通过回顾二元一次方程组的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．

知识点一　算法的含义及特征

1．算法的概念

12世纪的算法

是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法

通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

2.算法的特征

（1）有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．

（3）顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．

（4）不唯一性：

求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．

（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．

3．算法与计算机

计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．

知识点二　算法的设计

1．设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．

2．设计算法的要求

（1）写出的算法必须能解决一类问题．

（2）要使算法尽量简单、步骤尽量少．

（3）要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．

思考　一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？

答　包包大人采取的过河的算法可以是：

第一步，包包大人带懒羊羊过河；

第二步，包包大人自己返回；

第三步，包包大人带青草过河；

第四步，包包大人带懒羊羊返回；

第五步，包包大人带灰太狼过河；

第六步，包包大人自己返回；

第七步，包包大人带懒羊羊过河．

题型一　算法的概念

例1　下列关于算法的说法，正确的个数有（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果．

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．

反思与感悟　算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．

跟踪训练1　下列说法中是算法的有________（填序号）．

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；

③求以A（1,1），B（－1，－2）两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；

⑤x＞2x＋4.

答案　①②③④

解析　

①说明了从上海到拉萨的行程安排．

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法．

③给出了求线段的中垂线的方法及步骤．

④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果．

故①②③④都是算法．

题型二　算法的设计

例2　所谓正整数p为素数是指：

p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n（n＞1）是否为素数的算法．

解　算法如下：

第一步，给出任意一个正整数n（n＞1）．

第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束．

第三步，令m＝1.

第四步，将m的值增加1，仍用m表示．

第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束．

第六步，判断m能否整除n，

①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；

②如果不能整除，则转第四步．

反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：

（1）认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法；

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述；

（3）将解决问题的过程划分为若干步骤；

（4）用简练的语言将这个步骤表示出来．

跟踪训练2　判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

解　第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i＝2.

第三步，用i除n，得到余数r.

第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．

第五步，判断“i>（n－1）”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．

题型三　算法的应用

例3　一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平（无砝码）将假银元找出来吗？

解　方法一　算法如下．

第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步．

第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．

方法二　算法如下．

第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚．

第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．

第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．

反思与感悟　对于查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．

跟踪训练3　“韩信点兵”问题：

韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：

①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．

解　第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：

2；

第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：

2,5,8,11,14,17,20，…

第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：

8.

第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到8,23,38,53，….

第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.

对算法的含义及特征的理解

例4　计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________．

（1）S＝1＋2＋3＋…＋100.

（2）S＝1＋2＋3＋…＋100＋…

（3）S＝1＋2＋3＋…＋n（n∈N*）．

错解　算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中的值是具体的，因此

（1）正确；而（3）中的值不具体，错误；对于

（2）显然不符合算法的有限性，故只有

（1）正确．

错解分析　错识的根本原因在于对算法的理解不透彻．

正解　算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的，因此

（1）（3）是正确的，而算法又是具有有限性的，即执行有限步操作后一定能解决问题，而

（2）显然不符合算法的有限性，所以

（2）不正确．

答案　

（1）（3）

1．下列关于算法的说法中正确的是（　　）

A．算法是某个具体的解题过程

B．算法执行后可以不产生确定的结果

C．解决某类问题的算法不是唯一的

D．算法可以无限地操作下去不停止

答案　C

解析　算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又有联系，算法的获得要借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此A不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而不能含糊其辞或有歧义，所以B不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤内完成，因此D不对；算法具有不唯一性，C正确．

2．下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是（　　）

A．在家里一般是妈妈做饭

B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤

C．在野外做饭叫野炊

D．做饭必须要有米

答案　B

解析　算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B.

3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是（　　）

A．这个算法可以求所有的零点

B．这个算法可以求任何方程的零点

C．这个算法能求所有零点的近似解

D．这个算法可以求变号零点近似解

答案　D

解析　二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．

4．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

（1）计算c＝；

（2）输入直角三角形两直角边长a，b的值；

（3）输出斜边长c的值．

其中正确的顺序是________．

答案　

（2）

（1）（3）

解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．

5．下面是解决一个问题的算法：

第一步：

输入x.

第二步：

若x≥4，转到第三步；否则转到第四步．

第三步：

输出2x－1.

第四步：

输出x2－2x＋3.

当输入x的值为____时，输出的数值最小值为____．

答案　1　2

解析　所给算法解决的问题是求分段函数f（x）＝的函数值问题，当x≥4时，f（x）＝2x－1≥2×4－1＝7；

当x＜4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2，所以f（x）min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

1.算法的特点：

有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性．

2．算法设计的要求：

（1）写出的算法必须能够解决一类问题，并且能够重复使用．

（2）要使算法尽量简单，步骤尽量少．

（3）要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果．

一、选择题

1．下列可以看成算法的是（　　）

A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B．今天餐厅的饭真好吃

C．这道数学题难做

D．方程2x2－x＋1＝0无实数根

答案　A

解析　A是学习数学的一个步骤，所以是算法．

2．我们已学过的算法有求解一元二次方程的求根公式，加减消元法求二元一次方程组的解，二分法求出函数的零点等，对算法的描述有：

①对一类问题都有效；

②算法可执行的步骤必须是有限的；

③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；

④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．

以上算法的描述正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　D

解析　由算法的概念可知①②③④都正确，因而选D.

3．下列各式中T的值不能用算法求解的是（　　）

A．T＝12＋22＋32＋42＋…＋1002

B．T＝＋＋＋＋…＋

C．T＝1＋2＋3＋4＋5＋…

D．T＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100

答案　C

解析　根据算法的有限性知C不