等差数列的前n项和教案.docx

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等差数列的前n项和教案

等差数列的前n项和教案

教学设计

2．2.2等差数列的前n项和

整体设计

教学分析

本节等差数列求和共分2课时，第1课时是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它解决数列求和的有关问题．等差数列求和公式的推导，是由计算工厂堆放的钢管数这一实例引入的，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现，通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”这一重要数学方法．

第2课时的主要内容是让学生进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，进一步了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．通过本节课的教学使学生对等差数列的前n项和公式的认识更为深刻，并进一步感受数列与函数、数列与不等式等方面的联系，促进学生对本节内容认知结构的形成．通过探究一些特殊数列求和问题的思路和方法，体会数学思想方法的运用．

在本节教学中，应让学生融入问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、活动、探索、交流、反思，来认识和理解等差数列的求和内容．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究．在教法上，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析问题的能力和积极思维、追求新颖的创新意识．

三维目标

1．通过经历等差数列求和公式的发现、探究过程，掌握等差数列前n项和公式的推导及应用，会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究Sn的最值．

2．学会常用的数学方法和体现出的数学思想，促进学生的思维水平的发展．通过例题及其变式例题的训练，进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．

3．通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学来源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并用数学知识解决问题．

重点难点

教学重点：

掌握等差数列的前n项和公式；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题，能用多种方法解决数列求和问题．

教学难点：

对等差数列求和公式的深刻理解及其灵活应用．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.（情境导入）我们在日常生活中常常遇到这样的事情：

（可利用多媒体课件或幻灯片）有一堆钢管放置如图1，请你帮助管理人员算一算一共有钢管多少根？

求图2共有多少朵花？

当然一根根地数钢管或一朵朵地数小花能算出来，但有没有更好的方法呢？

若让你求出第100层的钢管数或让你求出第100个圆圈上的小花数，那么你怎样求呢？

这实际上就是等差数列的求和问题，由此展开新课．

图1

图2

思路2.（事例导入）关于“加薪的学问”有一报道如下：

在美国广为流传的一道数学题目是：

老板给你两个加工资的方案，一是每年年末加1000元；二是每半年结束时加300元．请选一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．因为一年加1000元总比两个半年共加600元要多．其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利．例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000＋2000＝3000（元）；而第二种方案在第一年加得（300＋600）元，第二年加得900＋1200＝2100（元），总数也是3000元．但到第三年，第一种方案可得1000＋2000＋3000＝6000（元），第二种方案则为300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300（元），比第一种方案多了300元．第四年、第五年会更多．因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案．

以上材料的正确解答恰是我们要研究的数列求和问题，由此导入新课．

推进新课

新知探究

提出问题

（1）教师出示幻灯投影1.

印度泰姬陵（TajMahal）是世界七大建筑奇迹之一，所在地是阿格拉市．泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征．

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝．传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（如下图），奢华之程度，可见一斑．你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？

（该问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段）

（2）教师出示幻灯投影2.

高斯是伟大的数学家、天文学家．高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：

“现在给大家出道题目：

1＋2＋…100＝？

”

过了两分钟，正当大家在：

1＋2＝3；3＋3＝6；4＋6＝10；…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1＋2＋3＋…＋100＝5050.”

你知道高斯是如何算出答案的吗？

（3）根据问题

（1）

（2）你能探究出等差数列的求和公式吗？

（4）等差数列的前n项和公式有什么结构特征？

（5）怎样运用这两个公式解决数列求和问题？

活动：

教师引导学生探究以上两个著名的历史问题，一方面展示了历史文化奇迹，如问题

（1），另一方面切身感受一下历史名人的成长足迹，激发学生的探究兴趣．高斯是18世纪德国著名的数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星.10岁的小高斯能迅速写出1＋2＋3＋…＋99＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050，将加法问题转化为乘法运算，迅速准确地得到了结果，的确思维非凡．可见作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，因此能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．今天我们重温这段历史，是想让学生从中感悟学习的真谛，站在巨人的肩膀上去学习，实际上，高斯用的是首尾配对相加的方法．也就是：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝50＋51＝101，有50个101，所以1＋2＋3＋…＋100＝50×101＝5050.高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101,50个101就等于5050了．

高斯的这种算法，就是等差数列求和的方法，也就是我们将要探究的等差数列的前n项和问题．

现在，我们再来探究前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案，在图中我们取下第1层到第21层，得到下图，则下图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢？

这是求“1＋2＋3＋…＋21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了．要是偶数项的数求和就好首尾配成对了．

高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢？

我们发现用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形．平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行．则三角形中的宝石个数就是1＋21×212.

这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：

1＋2＋3＋…＋21，

21＋20＋19＋…＋1，

这就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”．

探究了以上两个实际问题的求和，学生对数学求和问题有了一定的认识，比较以上两种探究过程学生自然会思考能否把“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？

这种类比的联想就是思维智慧的闪现．为了降低难度，教师可先与学生一起探究1＋2＋3＋…＋n的问题，得到如下算式：

1＋2＋3＋…＋n－1＋n

n＋n－1＋n－2＋…＋2＋1

（n＋1）＋（n＋1）＋（n＋1）＋…＋（n＋1）＋（n＋1）

可知1＋2＋3＋…＋n＝n＋1×n2.

再进一步探究，等差数列{an}的前n项和的问题，让学生明白Sn就表示{an}的前n项和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，根据倒序相加法可得如下算式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，

Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，

2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋（a3＋an－2）＋…＋（an＋a1）.

根据上节课等差数列的性质有a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1.

所以，2Sn＝n（a1＋an）．由此可得等差数列{an}的前n项和公式：

Sn＝na1＋an2

这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半．

将等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d代入上式，可得等差数列{an}前n项和的另一公式：

Sn＝na1＋nn－12d

以上两种推导过程都很精彩，一是用的“倒序相加法”，二是用的基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式．这两种求和公式都很重要，都称为等差数列的前n项和公式．

从以上探究我们可以看出这两个公式是可以转化的，从结构特征看，前一个公式反映了等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质；后一个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较．两个公式从不同角度反映了数列的性质．两个公式的共同点是需要知道a1和n，不同点是前者还需知an，后者还需要知道d.

从方程角度看两公式共涉及5个元素：

a1，d，n，an，Sn，教师要点拨学生注意这5个元素，其中a1，d称为基本元素．因为等差数列的首项a1，公差d已知，则此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题，这往往要根据已知条件列出关于a1，d的方程组，再解这个方程组求出a1，d.

讨论结果：

（1）～（3）略．

（4）前一个公式的结构特征是可与梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2相类比，上底就是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n；后一个公式是二次函数的形式．

（5）运用这两个公式解题时要让学生明确解方程或方程组的思路．

应用示例

例1计算：

（1）1＋2＋3＋…＋n；

（2）1＋3＋5＋…＋（2n－1）；

（3）2＋4＋6＋…＋2n；

（4）1－2＋3－4＋5－6＋…＋（2n－1）－2n.

活动：

对于刚学完公式的学生来讲，直接解答课本上的例1跨度太大．因此先补充了这样一个直接运用公式的题目．目的是让学生迅速熟悉公式，用基本量观点认识公式，教学时可让学生自己去解答完成，只是对（4）需做必要的点拨：

本小题数列共有几项？

是否为等差数列？

能否直接运用Sn公式求解？

若不能，应如何解答？

引导学生观察，本小题中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）]－（2＋4＋6＋…＋2n）＝n2－n（n＋1）＝－n.有的学生可能观察得很快，本小题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为－1，故可得另一解法：

原式＝（－1）＋（－1）＋（－1）＋…＋（－1）＝－n.

解：

（1）1＋2＋3＋…＋n＝nn＋12；

（2）1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n1＋2n－12＝n2；

（3）2＋4＋6＋…＋2n＝n2n＋22＝n（n＋1）；

（4）原式＝－n.

点评：

本例前3小题直接利用等差数列求和公式，对于（4）小题给我们以启示：

在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法．注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解．

变式训练

已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10等于（）

A．138B．135C．95D．23

答案：

C

解析：

由a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，可解得d＝3，a1＝－4，∴a10＝a1＋9d＝23，

∴S10＝a1＋a102×10＝95.

例2（教材本节例2）

活动：

通过本例介绍由求和公式求通项公式的方法，分析求和公式与二次函数的联系．并结合边注引导学生探