在AC上取点E，
使AE＝AB。
∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，
∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE
∴PC＜（AC－AE）＋PB
∴PC－PB＜AC－AB。
9.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：
AC-AB=2BE
证明：
延长BE交AC于点F,可证△ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC–AB=FC,FB=2BE
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C
∵∠AFB=∠C+∠FBC
∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C
∴∠FBC=2∠C
即∠FBC=∠C
∴FB=FC
∴AC-AB=FB=2BE
10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
解：
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
11．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ
∴∠POM＝∠QOM
∵MA⊥OP，MB⊥OQ
∴∠MAO＝∠MBO＝90
∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM（AAS）
∴OA＝OB
∵ON＝ON
∴△AON≌△BON（SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180
∴∠ONA＝∠ONB＝90
∴OM⊥AB
12.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
13.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
∠C=2∠B
延长AC到E
使AE=AC连接ED
∵AB=AC+CD
∴CD=CE
可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
14．已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
证明：
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED
∵DE＝DE，DC＝AE
∴△AED≌△EDC
∵E为AB中点
∴AE＝BE
∴BE＝DC
∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC
∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC
∴△AED≌△EBC
15.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
证明：
∵∠CEB=∠CAB=90°
∴ABCE四点共元
∵∠ABE=∠CBE
∴AE=CE
∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：
AG=BG=DG
∴∠GAB=∠ABG
而：
∠ECA=∠GBA（同弧上的圆周角相等）
∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：
AC=AB
∴△AEC≌△AGB
∴EC=BG=DG
∴BE=2CE
16、如图：
DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。
求证：
△AED≌△BFC。
证明：
∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC（SAS）
17.如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
证明：
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
18.如图：
在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。
求证：
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC
19.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
20.如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
证明：
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM（SAS）
∴CF=BE
22．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，错角相等）∵BE=DF∴：
△ABE≌△CDF（SAS）
23.已知：
如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：
AE＝AF。
连接BD；
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC；
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF；
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
24．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:
∠5=∠6．
证明：
在△ADC，△ABC中
∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC（两角加一边）
∵AB=AD，BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD
∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）
∴∠DEC=∠BEC
25．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：
△ABC≌△DEF．
∵AD=DF
∴AC=DF
∵AB//DE
∴∠A=∠EDF
又∵BC//EF
∴∠F=∠BCA
∴△ABC≌△DEF（ASA）
26．已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：
BE=CD．
证明：
∵BD⊥AC
∴∠BDC=90°
∵CE⊥AB
∴∠BEC=90°
∴∠BDC=∠BEC=90°
∵AB=AC
∴∠DCB=∠EBC
∴BC=BC
∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS）
∴BE=CD
27.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：
DE=DF．
证明：
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BFD=∠CFD=90°
∴∠AED与∠AFD=90°
在△AED与△AFD中
∠EAD=∠FAD
AD=AD
∠AED=∠AFD
∴△AED≌△AFD（AAS）
∴AE=AF
在△AEO与△AFO中
∠EAO=∠FAO
AO=AO
AE=AF
∴△AEO≌△AFO（SAS）
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AD⊥EF
28.已知：
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的长？
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=5
29．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
证明：
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB，MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF
∴△BME≌△CMF（AAS）
∴MB=MC．
30．在△ABC中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，求证：
①
≌
；②
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠CAD=∠BCE．
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
又∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE．
∴CE=AD，CD=BE．
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
31．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
即∠EAC=∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC=BF；
（2）如图，根据
（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC=∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEC+∠ADE=90°，
∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM=90°，
在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，
∴EC⊥BF．
32．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
在△ABF和△CDE中
AB=DE
∠A=∠D
AF=CD
∴△ABF≡△CDE（边角边）
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
34．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
35.如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
证明：
∵AD是△ABC的中线BD=CD∵DF=DE（已知）∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC则∠EBD=∠FCD∴BE∥CF（错角相等，两直线平行）。
36.已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
．
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90º
又∵AB=CD，BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB//CD
37.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：
AB=CD
∵,∠3=∠4
∴OB=OC
在△AOB和△DOC中
∠1=∠2
OB=OC
∠AOB=∠DOC
△AOB≌△DOC
∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB
在△ACB和△DBC中
AC=DB
∠3=∠4
BC=CB
△ACB≌△DBC
∴AB=CD
38.如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
CE>DE。
当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°-∠FDB）/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
39.
（10分）如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：
AE＝DE.
∵AB=DC,AC=DB，BC=BC
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE，AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
40．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA,∠BCE=90º-∠CDA∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE又∵∠DCH=∠B=45º,CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE
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