因式分解培优题超全面详细分类资料讲解.docx
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因式分解培优题超全面详细分类资料讲解
因式分解专题培优
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分
解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
因式分解的一般方法及考虑顺序：
1、基本方法：
提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．
2、常用方法与技巧：
换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．
3、考虑顺序：
（1）提公因式法；
（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．
一、运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）a2－b2=（a+b）（a－b）；
（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；
（3）a3+b3=（a+b）（a2－ab+b2）；
（4）a3－b3=（a－b）（a2+ab+b2）．
下面再补充几个常用的公式：
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；
（6）a3+b3+c3－3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）；
（7）an—bn=（a—b）（an_1+an_2b+an「3b2+…+abn—2+bn_1），其中n为正整数；
（8）an—bn=（a+b）（an—1—an—2b+an—3b2—…+abn—2—bn—1），其中n为偶数;
（9）an+bn=（a+b）（an—1—an—2b+an—3b2—…一abn—2+bn—1）,其中n为奇数.
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例题1分解因式：
（1）—2x5n—1yn+4x3n—1yn+2—2xn—1yn+4；
（2）x3—8y3—z3—6xyz；
（3）a2+b2+c2—2bc+2ca—2ab；
（4）a7—a5b2+a2b5—b7.
例题2分解因式：
a3+b3+c3—3abc.
例题3分解因式：
x15+x14+x13+…+x2+x+1.
对应练习题分解因式:
x9y
10.5
（2）x+x—2
（3）x42x2y24xy34x3yy2（4x23y2）
4
（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2—x5（5）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2
⑹（a-b）2-4（a-b-1）
（7）（x+y）3+2xy（1—x—y）—1
二、分组分解法
（一）分组后能直接提公因式
例题1分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，
后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：
分组后，每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.
例题2分解因式：
2ax10ay5bybx
对应练习题分解因式：
1、a2
abacbc
2、xyxy1
（二）分组后能直接运用公式
例题3
分解因式：
x2y2ax
ay
例题4
分解因式：
a22abb2
2c
对应练习题分解因式：
3、x2x9y23y
4、
22
yz
2yz
1）x3
2xy
2xy
3y
3）x2
6xy
9y2
16a28a1
综合练习题分解因式：
22
2）axbxbxaxab
22
4）a26ab12b9b24a
5）a42a3a29
2222
6）4ax4aybxby
7）
2
x
2xy
xz
2yzy
9）
y（y
2）
（m
1）（m1）
22
8）a22ab22b2ab1
10）（ac）（ac）b（b2a）
11）a2（bc）b2（ac）c2（ab）2abc
432234
12）a2ab3ab2abb.
22
13）（axby）（aybx）
14）xyz（x3y3z3）y3z3z3x3x3y3
422
15）x42ax2xa2a
16）x33x2（a2）x2a
17）（x1）3（x3）34（3x5）
三、十字相乘法
1、十字相乘法
（一）二次项系数为1的二次三项式
2
直接利用公式x（pq）xpq（xp）（xq）进行分解.
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）—次项系数是常数项的两因数的和
例题1分解因式：
x25x6
例题2分解因式：
x27x6
对应练习题分解因式:
（1）x214x24
⑵a2
15a
36
⑶x2
4x
5
2
⑷xx2
⑸y2
2y
15
⑹x2
10x
24
（二）二次项系数不为1的二次三项式-
ax
bxc
条件：
（1）a
a〔a?
a
C1
（2）c
C1C2
a2-
C2
（3）b
a〔C2a2G
ba©
a2&
分解结果：
ax2bxc=（a1xG）（a2xc2）例题3分解因式：
3x211x10
对应练习题分解因式：
（1）5x27x6
（2）3x27x2
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例题4分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解
8b+（—16b）=—8b
对应练习题分解因式:
22
（1）x3xy2y
22
（2）m6mn8n
⑶aab6b2
例题6分解因式：
x2y23xy2
（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：
2x27xy6y2
对应练习题分解因式:
（1）15x27xy4y2
22
（2）ax6ax8
综合练习题分解因式:
（1）8x67x31
22
（2）12x11xy15y
2
（4）（ab）4a4b3
（5）x2y25x2y6x2
22
（6）m4mn4n3m6n2
（7）x24xy4y22x4y3
（8）5（ab）2
23（a2b2）10（ab）2
（9）4x24xy6x3yy210
22
（10）12（xy）11（x
22
y）2（xy）
思考：
分解因式:
abcx2（a2b2c2）xabc
2、双十字相乘法
定义：
双十字相乘法用于对Ax2
BxyCy2DxEyF型多项式的分解因式
条件：
（1）Aa1a2,
（2）a1c2a2c!
即：
CC1C2,
B,cf2
C1
Fffc2f1e,af
2a?
f.
C2
a〔C2
a2ci
B,
c2
f1E
a1f2a2f1
D
则Ax2
Bxy
Cy2
Dx
Ey
F
（ax
Gy
gyf2）
例题7
分解因式：
（1）
2x
3xy
10y2
x9y2
（2）
2x
xy
6y2
x13y6
解:
（1）
2x
3xy1
0y2
x
9y2
2
a2
应用双十字相乘法：
x
2xy
•••原式=（x5y
x
5xy
2）（x
5y
2y
3xy,5y4y9y,x2xx
2y1）
2
3xy2xyxy,4y9y13y,2x3xx•原式=（x2y3）（x3y2）
对应练习题分解因式:
（1）x2xy2y2x7y6
222
（2）6x7xy3yxz7yz2z
3、十字相乘法进阶
例题8分解因式：
y（y1）（x21）x（2y22y1）
例题9分解因式：
ab（x2
22y）（a
b2）（xy1）（a2b2）（xy）
四、主元法
例题分解因式：
x23xy
10y2x
9y2
对应练习题分解因式：
22
（2）xxy2yx7y6
22
（1）xxy6yx13y6
22
（3）6x27xy3y2x7y2
22
（4）a2ab6b25a35b
36
并用一个新的字母替
B.
五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例题1分解因式：
（x2+x+1）（x2+x+2）－12．
例题2分解因式：
（x24x8）23x（x24x8）2x2
例题3分解因式：
（x1）（x1）（x3）（x5）9分析：
型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
例题4分解因式：
（x27x6）（x2x6）56.
例题5分解因式：
（x2+3x+2）（4x2+8x+3）－90．
例题6分解因式：
4（3x2x1）（x22x3）（4x2x4）2
提示:
可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4A
例题7分解因式：
x628x327
例题8分解因式：
（ab）4（ab）4（a2b2）2
例题9分解因式：
（y1）4（y3）4272
例题9对应练习分解因式：
a444（a4）4
例题10分解因式：
（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．
分析：
本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样
的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y,v=xy，用
换元法分解因式．
例题11分解因式：
2x4x36x2x2
分析：
此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴
对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.
例题11对应练习分解因式：
6x4+7x3－36x2－7x+6.
例题11对应练习分解因式：
x44x3x24x1
对应练习题分解因式:
（1）
x4+7x3+14/+7x+1
（2）
x42x3x212（xx2）
（3）
2005x2（200521）x2005
（4）
（x1）（x2）（x3）（x6）x2
（5）
（x1）（x3）（x5）（x7）15
（6）
（a1）（a2）（a3）（a4）24
（7）
（2a5）（a29）（2a7）91
（8）
（x+3）（x2—1）（x+5）—20
（9）
（a21）
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