二次函数中的存在性问题含答案及解析Word格式文档下载.docx

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并说明理由；

（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．

6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；

（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，说明理由．

8.（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．

（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；

答案解析部分

一、综合题

1.【答案】

（1）解：

设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，

∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），

∴y=a（x+2）2﹣4，

又∵函数图象经过点A（﹣6，0），

∴0=a（﹣6+2）2﹣4

解得a=，

∴此函数的解析式为y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；

（2）解：

∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点，

∴点C的坐标是（0，﹣3），

又当y=0时，有y=x2+x﹣3=0，

解得x1=﹣6，x2=2，

∴点B的坐标是（2，0），

则S△ABC=|AB|•|OC|=×

8×

3=12；

（3）解：

假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．

设E（x，0），则P（x，x2+x﹣3），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），

∴，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，

∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），

则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|

=|PF|•|OA|=（﹣x2﹣x）×

6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，

∴当x=﹣3时，S△APC有最大值，

此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）．

【考点】二次函数的应用

【解析】【分析】

（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；

（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；

（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

2.【答案】

∵点B（4，m）在直线y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5

①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），

则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（2，9）；

当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；

②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，

当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，

当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；

当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；

当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）

【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题

（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；

②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．

3.【答案】

∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，

∴D点坐标为（0，3），

∴可设直线BD解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BD解析式为y=﹣x+3

设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），

∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，PM有最大值

如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°

，

∴∠HGQ=∠BGE=45°

当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，

∴QG=×

2=4，

∴|﹣x2+3x|=4，

当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，

当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，

∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）

（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

4.【答案】

将A，B，C点的坐标代入解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3

配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D的坐标为（﹣1，4）

作B点关于直线x=1的对称点B′，如图1

则B′（4，3），由

（1）得D（﹣1，4），

可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+，

当M（1，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣×

1+=．

作PE⊥x轴交AC于E点，如图2

AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3），

PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3m

S△APC=PE•|xA|=（﹣m2﹣3m）×

3=﹣（m+）2+，

当m=﹣时，△APC的面积的最大值是

（4）解：

由

（1）、

（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+3），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN

∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，

解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），

则点E的坐标为：

（﹣2，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），

∵EF=DN，

∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，

解得x=或x=，

即点E的坐标为：

（，）或（，）

综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：

（，）或（，）

【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题

（1）根据待定系数法，可得答案.

（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B′D，B′D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.

（4）设出点E的坐标，分情况讨论；

①当点E再线段AC上时，点F在点E上方；

②当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标.

5.【答案】

设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．

∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，）在抛物线上，

∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+

DG=DE．理由如下：

设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，）代入，解得y=﹣x+；

设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，）代入，解得y=x+；

∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

又∵点G、D、E均在对称轴上，

∴G（﹣1，2），D（﹣1，），E（﹣1，），

∴DG=2﹣=，DE=﹣=，

∴DG=DE；

若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：

①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，）；

②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；

③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，），M5与M1重合；

综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题

（1）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．分别将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，）三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.

（2）DG=DE．分别求出过A（1，0），C（0，3）两点的直线l1的解析式为y=﹣x+；

过B（﹣3，0），C（0，3）两点的直线l2的解析式为y=x+；

由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.

（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：

①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1（﹣2，）；

②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，；

③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5.

6.【答案】

依题意得：

，

解之得：

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3

∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），

∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，

得，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3

设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，

∴M（-1，2），

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）

如图：

设P（-1，t），

又∵B（-3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，

PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2

即：

18+4+t2=t2-6t+10解之得：

t=-2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2

18+t2-6t+10=4+t2解之得：

t=4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2

4+t2+t2-6t+10=18解之得：

t1=，t2=；

综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，）．

【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题

【解析】【分析】先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；

把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；

设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；

设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．

7.【答案】

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，

所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3

设直线BC的解析式为y=kx+m，

把B（3，0），C（0，3）代入得，解得，

所以直线BC的解析式为y=﹣x+3，

作PM∥y轴交BC于M，如图1，

设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），

∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△PCB=•3•PM=﹣x2+=﹣（x﹣）2+，

当x=时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（，）

如图2，

抛物线的对称轴为直线x=1，

当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3），

把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，

∴Q（4，﹣5）；

当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a），

把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，

∴Q（﹣2，﹣5）；

当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a），

把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，

∴Q（2，3），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．

（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），利用三角形面积公式得到∴S△PCB=•3•PM=﹣x2+，然后根据二次函数的性质求解；

（3）如图2，分类讨论：

当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），利用点平移的坐标规律得到Q（4，a﹣3），然后把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3中求出a即可得到Q点坐标；

当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．

8.【答案】

由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），

∴OC=3，

∵OC=3OB，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），

把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3

设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，

∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），

∴AF∥x轴，

∴F（﹣1，﹣3），

∴BF=3，AF=3，

∴∠BAC=45°

设D（0，m），则OD=|m|，

∵∠BDO=∠BAC，

∴∠BDO=45°

∴OD=OB=1，

∴|m|=1，

∴m=±

1，

∴D1（0，1），D2（0，﹣1）

设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），

①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，

则△ABF≌△NME，

∴NE=AF=3，ME=BF=3，

∴|a﹣1|=3，

∴a=3或a=﹣2，

∴M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，

则N在x轴上，M与C重合，

∴M（0，﹣3），

综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用

（1）待定系数法即可得到结论；

（2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论；

（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；

②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．