二次函数中的存在性问题含答案及解析Word格式文档下载.docx
《二次函数中的存在性问题含答案及解析Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数中的存在性问题含答案及解析Word格式文档下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
并说明理由;
(3)若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG为等腰三角形时,请直接写出点M的坐标.
6.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
7.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点,当△BCP面积最大时,求点P的坐标;
(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在点Q,使以点B,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出点Q的坐标;
若不存在,说明理由.
8.(2017•临沂)如图,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A(2,﹣3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=3OB.
(2)点D在y轴上,且∠BDO=∠BAC,求点D的坐标;
(3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;
答案解析部分
一、综合题
1.【答案】
(1)解:
设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k,
∵函数图象顶点为M(﹣2,﹣4),
∴y=a(x+2)2﹣4,
又∵函数图象经过点A(﹣6,0),
∴0=a(﹣6+2)2﹣4
解得a=,
∴此函数的解析式为y=(x+2)2﹣4,即y=x2+x﹣3;
(2)解:
∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点,
∴点C的坐标是(0,﹣3),
又当y=0时,有y=x2+x﹣3=0,
解得x1=﹣6,x2=2,
∴点B的坐标是(2,0),
则S△ABC=|AB|•|OC|=×
8×
3=12;
(3)解:
假设存在这样的点,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.
设E(x,0),则P(x,x2+x﹣3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
∵直线AC过点A(﹣6,0),C(0,﹣3),
∴,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,
∴点F的坐标为F(x,﹣x﹣3),
则|PF|=﹣x﹣3﹣(x2+x﹣3)=﹣x2﹣x,
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|
=|PF|•|OA|=(﹣x2﹣x)×
6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+,
∴当x=﹣3时,S△APC有最大值,
此时点P的坐标是P(﹣3,﹣).
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】
(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值,即可解题;
(2)易求得点B、C的坐标,即可求得OC的长,即可求得△ABC的面积,即可解题;
(3)作PE⊥x轴于点E,交AC于点F,可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和,而这两个三角形有共同的底PF,这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离,因此若设设E(x,0),则可用x来表示△APC的面积,得到关于x的一个二次函数,求得该二次函数最大值,即可解题.
2.【答案】
∵点B(4,m)在直线y=x+1上,
∴m=4+1=5,
∴B(4,5),
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5
①设P(x,﹣x2+4x+5),则E(x,x+1),D(x,0),
则PE=|﹣x2+4x+5﹣(x+1)|=|﹣x2+3x+4|,DE=|x+1|,
∵PE=2ED,
∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|,
当﹣x2+3x+4=2(x+1)时,解得x=﹣1或x=2,但当x=﹣1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(2,9);
当﹣x2+3x+4=﹣2(x+1)时,解得x=﹣1或x=6,但当x=﹣1时,P与A重合不合题意,舍去,
∴P(6,﹣7);
综上可知P点坐标为(2,9)或(6,﹣7);
②设P(x,﹣x2+4x+5),则E(x,x+1),且B(4,5),C(5,0),
∴BE==|x﹣4|,CE==,BC==,
当△BEC为等腰三角形时,则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况,
当BE=CE时,则|x﹣4|=,解得x=,此时P点坐标为(,);
当BE=BC时,则|x﹣4|=,解得x=4+或x=4﹣,此时P点坐标为(4+,﹣4﹣8)或(4﹣,4﹣8);
当CE=BC时,则=,解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合,不合题意,舍去,此时P点坐标为(0,5);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为(,)或(4+,﹣4﹣8)或(4﹣,4﹣8)或(0,5)
【考点】二次函数的应用,与二次函数有关的动态几何问题
(1)由直线解析式可求得B点坐标,由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)①可设出P点坐标,则可表示出E、D的坐标,从而可表示出PE和ED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,则可求得P点坐标;
②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长,由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程,可求得E点坐标,则可求得P点坐标.
3.【答案】
∵抛物线的顶点C的坐标为(1,4),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣1)2+4,
∵点B(3,0)在该抛物线的图象上,
∴0=a(3﹣1)2+4,解得a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3,
∵点D在y轴上,令x=0可得y=3,
∴D点坐标为(0,3),
∴可设直线BD解析式为y=kx+3,
把B点坐标代入可得3k+3=0,解得k=﹣1,
∴直线BD解析式为y=﹣x+3
设P点横坐标为m(m>0),则P(m,﹣m+3),M(m,﹣m2+2m+3),
∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,PM有最大值
如图,过Q作QG∥y轴交BD于点G,交x轴于点E,作QH⊥BD于H,
设Q(x,﹣x2+2x+3),则G(x,﹣x+3),
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)|=|﹣x2+3x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°
,
∴∠HGQ=∠BGE=45°
当△BDQ中BD边上的高为2时,即QH=HG=2,
∴QG=×
2=4,
∴|﹣x2+3x|=4,
当﹣x2+3x=4时,△=9﹣16<0,方程无实数根,
当﹣x2+3x=﹣4时,解得x=﹣1或x=4,
∴Q(﹣1,0)或(4,﹣5),
综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(﹣1,0)或(4,﹣5)
(1)可设抛物线解析式为顶点式,由B点坐标可求得抛物线的解析式,则可求得D点坐标,利用待定系数法可求得直线BD解析式;
(2)设出P点坐标,从而可表示出PM的长度,利用二次函数的性质可求得其最大值;
(3)过Q作QG∥y轴,交BD于点G,过Q和QH⊥BD于H,可设出Q点坐标,表示出QG的长度,由条件可证得△DHG为等腰直角三角形,则可得到关于Q点坐标的方程,可求得Q点坐标.
4.【答案】
将A,B,C点的坐标代入解析式,得
,
解得,
抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3
配方,得y=﹣(x+1)2+4,顶点D的坐标为(﹣1,4)
作B点关于直线x=1的对称点B′,如图1
则B′(4,3),由
(1)得D(﹣1,4),
可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(1,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣×
1+=.
作PE⊥x轴交AC于E点,如图2
AC的解析式为y=x+3,设P(m,﹣m2﹣2m+3),E(m,m+3),
PE=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m
S△APC=PE•|xA|=(﹣m2﹣3m)×
3=﹣(m+)2+,
当m=﹣时,△APC的面积的最大值是
(4)解:
由
(1)、
(2)得D(﹣1,4),N(﹣1,2)
点E在直线AC上,设E(x,x+3),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN
∴﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=4﹣2=2,
解得,x=﹣2或x=﹣1(舍去),
则点E的坐标为:
(﹣2,1).
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,﹣x2﹣2x+3),
∵EF=DN,
∴(x+3)﹣(﹣x2﹣2x+3)=2,
解得x=或x=,
即点E的坐标为:
(,)或(,)
综上可得满足条件的点E为E(﹣2,1)或:
(,)或(,)
【考点】二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的应用,三角形的面积,轴对称-最短路线问题
(1)根据待定系数法,可得答案.
(2)利用轴对称求最短路径的知识,找到B点关于直线x=1的对称点B′,连接B′D,B′D与直线x=1的交点即是点M的位置,继而求出m的值.
(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标,可得PE的长,根据三角形的面积,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案.
(4)设出点E的坐标,分情况讨论;
①当点E再线段AC上时,点F在点E上方;
②当点E再线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,根据平行四边形的性质,可得关于x的方程,继而求出点E的坐标.
5.【答案】
设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c.
∵点A(1,0),点B(﹣3,0),点C(0,)在抛物线上,
∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2﹣x+
DG=DE.理由如下:
设直线l1的解析式为y=k1x+b1,将A(1,0),C(0,)代入,解得y=﹣x+;
设直线l2的解析式为y=k2x+b2,将B(﹣3,0),C(0,)代入,解得y=x+;
∵抛物线与x轴的交点为A(1,0),B(﹣3,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1,
又∵点G、D、E均在对称轴上,
∴G(﹣1,2),D(﹣1,),E(﹣1,),
∴DG=2﹣=,DE=﹣=,
∴DG=DE;
若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG为等腰三角形时,分三种情况:
①以G为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M1、C,点M1与C关于抛物线的对称轴对称,则M1的坐标为(﹣2,);
②以C为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3,点M2与点A重合,点A、C、G在一条直线上,不能构成三角形,M3与M1重合;
③作线段GC的垂直平分线,交抛物线于点M4、M5,点M4与点D重合,点D的坐标为(﹣1,),M5与M1重合;
综上所述,满足条件的点M只有两个,其坐标分别为(﹣2,),(﹣1,).
【考点】待定系数法求一次函数解析式,二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式,二次函数的应用,与二次函数有关的动态几何问题
(1)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c.分别将A(1,0),B(﹣3,0),C(0,)三点坐标代入得到一个三元一次方程组,解之即可得到抛物线解析式.
(2)DG=DE.分别求出过A(1,0),C(0,3)两点的直线l1的解析式为y=﹣x+;
过B(﹣3,0),C(0,3)两点的直线l2的解析式为y=x+;
由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.
(3)若直线l2绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,当△MCG为等腰三角形时,分三种情况:
①以G为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M1(﹣2,);
②以C为圆心,GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3,;
③作线段GC的垂直平分线,交抛物线于点M4、M5.
6.【答案】
依题意得:
,
解之得:
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3
∵对称轴为x=-1,且抛物线经过A(1,0),
∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y=mx+n,
得,
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3
设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
把x=-1代入直线y=x+3得,y=2,
∴M(-1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(-1,2)
如图:
设P(-1,t),
又∵B(-3,0),C(0,3),
∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,
PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,
①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2
即:
18+4+t2=t2-6t+10解之得:
t=-2;
②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2
18+t2-6t+10=4+t2解之得:
t=4,
③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2
4+t2+t2-6t+10=18解之得:
t1=,t2=;
综上所述P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).
【考点】二次函数的应用,二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;
把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;
设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
7.【答案】
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
把C(0,3)代入得a•1•(﹣3)=3,解得a=﹣1,
所以抛物线解析式为y=﹣(x+1)(x﹣3),即y=﹣x2+2x+3
设直线BC的解析式为y=kx+m,
把B(3,0),C(0,3)代入得,解得,
所以直线BC的解析式为y=﹣x+3,
作PM∥y轴交BC于M,如图1,
设P(x,﹣x2+2x+3),(0<x<3),则M(x,﹣x+3),
∴PM=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,
∴S△PCB=•3•PM=﹣x2+=﹣(x﹣)2+,
当x=时,△BCP的面积最大,此时P点坐标为(,)
如图2,
抛物线的对称轴为直线x=1,
当四边形BCDQ为平行四边形,设D(1,a),则Q(4,a﹣3),
把Q(4,a﹣3)代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3,解得a=﹣2,
∴Q(4,﹣5);
当四边形BCQD为平行四边形时,设D(1,a),则Q(﹣2,3+a),
把Q(﹣2,3+a)代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3,解得a=﹣8,
∴Q(﹣2,﹣5);
当四边形BQCD为平行四边形时,设D(1,a),则Q(2,3﹣a),
把Q(2,3﹣a)代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3,解得a=0,
∴Q(2,3),
综上所述,满足条件的Q点坐标为(4,﹣5)或(﹣2,﹣5)或(2,3).
(1)设交点式y=a(x+1)(x﹣3),然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式;
(2)先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3,作PM∥y轴交BC于M,如图1,设P(x,﹣x2+2x+3),(0<x<3),则M(x,﹣x+3),利用三角形面积公式得到∴S△PCB=•3•PM=﹣x2+,然后根据二次函数的性质求解;
(3)如图2,分类讨论:
当四边形BCDQ为平行四边形,设D(1,a),利用点平移的坐标规律得到Q(4,a﹣3),然后把Q(4,a﹣3)代入y=﹣x2+2x+3中求出a即可得到Q点坐标;
当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时,利用同样方法可求出对应Q点坐标.
8.【答案】
由y=ax2+bx﹣3得C(0.﹣3),
∴OC=3,
∵OC=3OB,
∴OB=1,
∴B(﹣1,0),
把A(2,﹣3),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx﹣3得,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3
设连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于F,
∵A(2,﹣3),C(0,﹣3),
∴AF∥x轴,
∴F(﹣1,﹣3),
∴BF=3,AF=3,
∴∠BAC=45°
设D(0,m),则OD=|m|,
∵∠BDO=∠BAC,
∴∠BDO=45°
∴OD=OB=1,
∴|m|=1,
∴m=±
1,
∴D1(0,1),D2(0,﹣1)
设M(a,a2﹣2a﹣3),N(1,n),
①以AB为边,则AB∥MN,AB=MN,如图2,过M作ME⊥对称轴y于E,AF⊥x轴于F,
则△ABF≌△NME,
∴NE=AF=3,ME=BF=3,
∴|a﹣1|=3,
∴a=3或a=﹣2,
∴M(4,5)或(﹣2,11);
②以AB为对角线,BN=AM,BN∥AM,如图3,
则N在x轴上,M与C重合,
∴M(0,﹣3),
综上所述,存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,M(4,5)或(﹣2,11)或(0,﹣3).
【考点】二次函数的图象,二次函数的性质,二次函数的应用
(1)待定系数法即可得到结论;
(2)连接AC,作BF⊥AC交AC的延长线于F,根据已知条件得到AF∥x轴,得到F(﹣1,﹣3),设D(0,m),则OD=|m|即可得到结论;
(3)设M(a,a2﹣2a﹣3),N(1,n),①以AB为边,则AB∥MN,AB=MN,如图2,过M作ME⊥对称轴y于E,AF⊥x轴于F,于是得到△ABF≌△NME,证得NE=AF=3,ME=BF=3,得到M(4,5)或(﹣2,11);
②以AB为对角线,BN=AM,BN∥AM,如图3,则N在x轴上,M与C重合,于是得到结论.