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4是否可以画一个图，使各点的度与下面给出的序列一致，如可能，画出一个符合条件的图，如不可能，说明原因。

（1）3，3，3，3，3，3；

（2）3，4，7，7，7，7；

（3）1，2，3，4，5，5；

解

（1）可以，如图7—6所示：

图7—6

（2）不可能。

在六个顶点中，奇数度点为5个，与定理2相矛盾。

（3）不可能。

考虑两个度为5的顶点，设其为u和v，因为只有6个顶点，因此u和v除自身之外的个顶点皆相连。

而除u，v之外的4个顶点中的每一个都至少是两条边的端点，即这4个顶点的度都至少是非，这与其中某一个顶点的度为1矛盾。

5设G是有限图，M，A分别是G的关联矩阵和相邻矩阵，证明：

M*M/和A2的对角线上的元素恰好是G中所有点的度。

证设L（G），P（G）的元素分别为n,m.

令B=M*M/，由矩阵的乘法定义知

bii=

aij*a/jii=1,2,3---------m

因为M/是M的转置矩阵，所以aij=a/ji，，又因为aij非0即1，所以aij2=aij故得bii=

aij*a/ji=

aij2=

aij

即bii等于M的第I行中所有1的个数，也就是bii等于M的第I行所对应的点的度。

故M*M/的对角线上的元素是G中所有点的度。

令C=A2则Cii=

I=1,2,------,m

因为A是对称矩阵，所以aij=aji,aij2=aij,所以cii=

aij

aji=

aij2=

aij.即cii等于第I行所有1的个数，即第I行所对应点的度，（I=1，2，-------M）。

故A2的对角线上的元素是G中所有点的度。

6设G是有限图，P（G），L（G）的元素分别为m,n,＆△分别是G中点的最小度现最大度。

证明：

＆≤2n／m≤△

证因为＆△分别是G中点的最小度和最大度，因此有m*＆≤≤m*△

又因为=2n，所以m*＆≤2n≤m*△

即＆≤2n／m≤△证毕

7证明连通图中两条最长年简单路必有公共点。

证用反证法。

若不然，设两条最长路为l1=（u,-----u/）,l2=（v----v/）.因为图是连通的，故从u到v/有路，设此路最后一次离开l1的点是w,第一次进入l2的点是w/，由题设可知，

w≠w/,见图7—7：

图7—7

取max{（u,------,w）,（w,-----,u/）}∪{（w,----,w/）}∪max{（v,-----,w/）,（w/,-----,v/）便得到一条更长的简单路，与l1，l2是两条最长的简单路矛盾。

因此，连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。

8一公司在六个城市C1，C2，----，C6中每一个都有分公司，从CI到CJ的班机旅费由下列矩阵中第I行第J列的元素给出（∞表示没有直接班机）。

0

050∞402510

5001520∞25

∞1501020∞

40201001025

25∞2010055

1025∞25550

公司所关心的是计算两城市间的费用最低的路线，对上述六城市中任意一对城市，计算两城市间费用最低的路线。

解首先，求C1到C2，----，C6的最短路线。

（1）从C2，---，C6，中找出与C1距离最近的一个，为C6，于是l（C6）=10，最短路线C1→C6。

（2）从d（C1，Ci），l（C6）+d（C6,Ci）中选取最小者，其中i2,3,4,5,可得dC1，C5），于是lC5）=25，最短路线C1→C5。

（3）类似于步骤

（2），依次可得：

l（C4）=15，最短路线C1→C6→C4；

l（C2）=35，最短路线C1→C6→C2；

l（C3）=45，最短路线C1→C5→C3

对于城市C2，----，C6，可以用类似于C1的方法得到最短路线。

9设G是图，＆是G中最小度，K是一个正整数，若k≤＆，试证明G中有一条长为k的简单路。

证明不妨设＆≥0，当＆=0时，命题显然成立。

以下设＆≠0，任取一点v0,显然d（v0）≥＆,故可找到一相邻点v1。

设已找到vi,i＜＆.由d（vi）≥＆,看vi的相邻点，至少有一个不同于v0，v1，---，是vi–1取这样一个点设为vi+1；

如此下去可一直找到v﹠，而（v0，v1，---，v﹠）正是一条长为﹠的简单路。

因此，若k≤＆,则必有一条长为k的简单路。

10设G为图（可能无限），无回路，但若外加任意一边于G后就形成一回路，试7证明G必为树。

证按树的定义可知，只需证G为连通即可。

任取不相领两点v,v1,由已知，加上边vv1后就形成一回路。

于是去掉边vv1，从v到v1仍有路v,…,v1,即v,v1相连。

由v,v1

的任意性可知G是连通的。

因此，G必为树。

证毕。

11在具有n个顶点的完全图kn中需删去多少条边才能得到树？

解n个点的完全图kn中共有Cn2条边，而n个点中的树中共有n-1条边。

因此需要

删除cn2-（n-1）=.（n-1）（n-2）/2条边后方可得到树。

12分别用三种不同的遍历方式写出图7-8中二叉树点的访问次序。

图7-8

解先根次序：

ABDEHKLCFGIJ;

中根次序：

DBEKHLAFCIGJ;

后根次序：

DKLHEBFIJGCA.

13分别写出下列表达式的后缀表示：

（1）（a+b）*c;

（2）ln（a+b）-c+e*f.

解

（1）首先将表达式化成二叉树如图7-9（a）,由此可知表达式的后缀表示为：

ab+c*.

图7-9

（2）首先将表达式化为二叉树，如图7-9（b）,从而表达式的后缀表示为：

ab+㏑c-ef*+.

14设有5个城市v1,…,v5,任意两城市之间铁路造价如下（以百万元为单位）：

W（v1,v2）=4,W（v1,v3）=7,W（v1,v4）=16,

W（v1,v5）=10,W（v2,v3）=13,W（v2,v4）=8,

W（v2,v5）=17,W（v3,v4）=3,W（v3,v5）=10,

W（v4,v5）=12.

试求出连接5个城市而且造价最低的铁路网。

解首先将本题用一权图来描述，于是求解此题便成为求权图中的最优支撑树问题。

按克鲁斯卡尔算法，图7-10中（b）～（e）就是求解最优支撑树的过程。

（a）（b）

（c）（d）（e）

15试用克鲁斯卡尔算法求图7-11所示权图中的最优支撑树。

图7-11

解图7-12（a）～（e）表示图7-11的最优支撑树。

2

1

（d）（e）

16举出满足下列要求的具有5个点的有向图：

（1）G有根，但是不是强连通的；

（2）G存在一棵有向支撑子树，并标出这棵有向树；

（3）G是强连通的（将G漠视为于是强连通的），但G无根。

解

（1）如图7-13（a）,A是根，但是不存在从B到D的有向路。

（2）如图7-13（b），图7-13（c）是7-13（b）的一棵有向支撑树。

（3）如图7-13（d）。

（a）（b）（c）（d）

17设G（P,A）是有向图，G中任意两个不同点之间至多有一条弧，G中没有指向自身的弧，若不考虑G中弧的方向，把弧看成边，则G是连通的。

问G是否有根？

若能肯定G有根，试给出证明，否则举出反例。

解回答是否定的。

举例如图7-13（d），将此有向图漠视为图以后，它是连通的，但它却无根。

18设G=（P,A）为有向图，若G与根r，且无有向回路，问G是否是有向树？

解回答是否定的，举反例如图7-13中（a）。

19证明：

若r是有向图G的根，则G必含有一个以r为根的有向支撑树。

G1G2

图7-14

证用如下方法来构造的支撑树：

令G0={r}，设已得GK是有向树，做GK+1如下：

选取P（G）中的某顶点v，使得v∈P（Gk）。

设从v到r的有向路进入Gk后第一个顶点v’，进入Gk前的最后一个顶点是v”，再在GK中加入弧v”v’，及顶点v”。

又归纳法可证，GK是有向树。

按如上做法便可得到G中以r为根的支撑树。

20能否对图7-14的边指定方向，使其成为欧拉图？

解G可以，如图7-15（a）所示，由于G1中的每一个点都是平衡点。

G2不可以，图7-15（b）中所有点的度都是3，因此不论怎样指定边的方向，G2中的每个点都不是平衡点。

因此不可能适当地指定G2中各边的方向，使其成欧拉图。

图7-15

21下列图形是否可以一笔画出？

如可以的话画出欧拉图，否则说明原因。

图7-16

解不可以。

因为中有8个度为奇数的顶点。

可以。

按照边上的标号依次读下来，便可以一笔画出。

见图7-17

图7-17

21举出满足下列要求的具有5个点的图。

（1）没有哈密顿回路，也不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路；

（2）有哈密顿回路，但是不能适当指定各边的方向使其具有欧拉路；

（3）没有哈密顿回路，但是能适当指定各边的方向使其具有欧拉路；

（4）有哈密顿回路，也能适当指定各边的方向使其具有欧拉路。

解见图7-18（a）～（d），它们分别满足条件

（1）～（4）

（a）（b）

（c）（d）

23使用平面图定义及Jordan曲线性质证明K3..3是非平面图。

K3..3如图7-19（a）所示，假设可以把K3..3画成一个平面图。

回路v1v6v3v4v1构成一个Jorand曲线，设其为C，如图7-19（b），顶点v2或在ext（C）中，不妨假定v2∈int（C），于是边v2v4，v2v6将int（C）分成两个区域。

设C1=v1v4v2v6v1，G2=v4v2v6v3v4,v5必然位于ext（C），int（C1），int（C2）三个区域之一。

（1）若v5∈int（C），则v2v5与C相交，与K3..3是平面图矛盾。

（2）若v5∈int（C1），则v3v5与C1相交，也矛盾。

（3）若v5∈int（C2），则v1v5与C2相交，同样产生矛盾。

同理可证，当v2∈ext（C）时，也产生矛盾。

故假设不成立，即K3..3不是平面图。

V4

V1

图7-19

24设G是连通平面图，最短回路长度是k（k≥3），边数为u，顶点数为v，证明

u≤k（v-2）/（k-2）

证因为最短回路长度是，而平面图的每一个面是由一个回路所围起来的，因此对于任一个面都有，于是有

∑f∈F（G）dG（f）≥k＆

其中＆是图G的面数。

再由∑f∈F（G）dG（f）=2u

可知2u≥k＆，即2u/k≥＆，根据欧拉公式可得

v-u+2u/k≥2

由此可以推出u≤k（v-2）/（k-2）.

25利用上题结果说明下面各图不是平面图。

图7-20

解图7-20（）中：

边数u=9，顶点数v=6，最短路长k=4，因为

u=9≮k（v-2）/（k-2）=8

于是，由上题结果可知7-20（a）不是平面图。

图7-20（）中：

边数u=15，顶点数v=10，最短路长k=5，因为

u=15≮k（v-2）/（k-2）=40/3

因此7-20（b）不是平面图。

26若是平面图，并且的所有面全由长度为3的回路围成，证明：

u=3v-6。

证因为中所有面由长度为3的回路围成，因此对任意f∈F（G），都有dG（f）=3，从而∑f∈F（G）dG（f）=3﹠。

其中﹠为G的面数。

再由∑f∈F（G）dG（f）=2u，其中u为G的边数，可得3﹠=2u，代入欧拉公式，得

v-u+2u/3=2

即u=3v-6证毕。