复数运算练习题.docx

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复数运算练习题

复数运算练习题

一、选择题

1下面四个命题

0比?

i大

两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数

x?

yi?

1?

i的充要条件为x?

y?

1

如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是0B1CD

3的虚部为

8iB?

8iCD?

8

使复数为实数的充分而不必要条件是由

z?

zBz?

zCz为实数

?

2

z?

z为实数

?

设z1?

i4?

i5?

i6i12,z2?

i4?

i5?

i6i12,则z1,z2的关系是

z1?

zz1?

?

z2Cz1?

1?

z2D无法确定

20?

20的值是

?

1024B10C0D1024

已知f?

in?

i?

n集合?

f?

的元素个数是

2BCD无数个

二、填空题

1如果z?

a?

bi是虚数，则z,z,z,z,z,z?

z,z,z,z中是虚数的

2

2

2

有_______个，是实数的有个，相等的有

如果3?

a?

5,复数z?

?

i在复平面上的对应点z在

22

3若复数z?

sin2a?

i是纯虚数,则a

4设z?

log2?

i?

log2,若z对应的点在直线x?

2y?

1?

0

2

上,则m

5已知z?

则z?

z

3

?

6若z?

10050

那么z?

z?

11

7计算i?

2i?

3i2000i

232000

?

三、解答题

1设复数z满足z?

1,且?

z是纯虚数,求z

?

22

已知复数z满足:

z?

1?

3i?

z,求

2z

2

基础训练㈡

一、选择题

1若z1,z2?

C,z1z2?

z1z2是?

1i2

A01CiDi

若复数z

满足z?

z）i?

1,则z?

z2

的值等于

A1B0C?

11D

?

2?

2

5

已知3?

z?

A第一象限B第二象限C第三象限第四象限

已知z1?

z2?

z1?

z2?

1,则z1?

z2等于

A1B

C

D

7

若?

1?

?

2?

2

则等于?

4?

?

2?

1?

A1B0C

D

?

1

给出下列命题

实数的共轭复数一定是实数;

满足z?

i?

z?

i?

2的复数z的轨迹是椭圆;若m?

Z,i2

?

?

1,则im

?

i

m?

1

?

im?

2?

im?

3?

0;

其中正确命题的序号是

ABCD

二、填空题

1若i?

b?

i，其中a、b?

R，i使虚数单位，则a2?

b2

?

_________

若z1?

a?

2i,z2?

3?

4i，且

z1

为纯虚数，则实数az2

复数z?

1

的共轭复数是_________1?

i

计算?

1?

i

复数z?

i?

i?

i?

i的值是

234

?

1?

i

?

1.在复平面内，z所对应的点在第________象限1?

i

已知复数z0?

3?

2i,复数z满足z?

z0?

3z?

z0,则复数z

复数z?

计算

1?

i

?

1?

i?

2

?

1?

i

?

1?

i?

2

?

若复数a?

3i是纯虚数，则实数a的值为___________

1?

2i

设复数z1?

1?

i,z2?

x?

2i,若z1z2为实数，则x?

_____________

11、计算

3?

2i3?

i

22?

1

12、计算

?

?

1?

i?

?

2?

i?

i3

i?

i?

i?

i?

i对复数z、、和自然数m、n，有，，

?

?

?

nn

i?

i，i?

?

1，i?

?

i，i?

1；i

12344n?

1

?

1，i4n?

2?

?

1，i4n?

3?

?

i，i4n?

1.

1?

i1?

i?

1?

3i

?

?

i?

i?

?

2

?

2?

?

，12?

0，1?

i?

2?

?

，2?

?

2i，1?

i，.设，

?

3n?

?

3n，?

n?

?

n?

1?

?

n?

2?

0

二、疑难知识导析1.对于

z?

z?

z?

z

2

2

，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进

行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.

2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当z?

C时，不总是成立的.

mnmnmn

?

zz?

z?

m?

n；；

）；z1?

z2?

0?

z1?

z2?

0

22

z?

z2

2

；

z?

a?

?

a?

z?

a

三、经典例题导讲[例1]满足条件

z?

2i?

z?

1?

的点的轨迹是

A.椭圆B.直线C.线段D.圆正解：

?

点与间的距离为5，?

动点在两定点与之间，选C

n6?

n

?

.[例2]求值：

63nn?

11?

i=?

i?

8i=

?

?

8

?

?

?

8i

?

?

8?

.?

8i

z?

?

[例3]已知

2

1?

i，求1?

z?

z2?

?

z2000的值.

a1

Sn?

1?

q，若直接将条件代入分析：

结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式

求和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.

20013*667

211?

z1?

?

1?

1z

?

i0

4221?

3i1?

z1?

?

1?

?

原式=

2

评注：

由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.

[例4]已知复数w满足w?

4?

i?

4?

3i,?

w?

?

2?

i?

z?

5?

|?

i|?

3?

i

1?

2i2?

i解法一：

.

若实系数一元二次方程有虚根z?

3?

i，则必有共轭虚根?

3?

i.

z?

5

?

|w?

2|w，求一个

?

z?

?

6,

z?

?

10，

2

?

所求的一个一元二次方程可以是x?

6x?

10?

0.

?

a?

4?

2b,?

a?

2,?

?

b?

3?

2a,?

?

b?

?

1,w?

a?

bia?

bi?

4?

3i?

2ai?

2b?

解法二：

设，得

?

w?

2?

i，

以下解法同解法一.

1

设z是虚数，?

?

z?

是实数，且?

12.zz的实部的取值范围.z[例5]

解析?

z是虚数

?

可设?

?

z?

11

?

?

zx?

yi

?

x?

yi?

x?

yixy

?

?

i

x2?

y2x2?

y2x2?

y2

?

1?

122

?

0,即x?

y?

122

x?

y

?

?

是实数，且y?

0,

?

z?

1,

此时?

?

2x

由?

12得?

1?

2x?

2

四、典型习题导练

?

?

11?

x?

1,即z的实部的范围是22

1?

i1993

?

______1?

i2.3．计算

5．解下列方程：

；

4.计算

.

4

|z?

2|?

2,z?

?

R,

z例1，已知复数z满足求z.

z?

44z44x4y?

z?

?

x?

yi?

2?

x?

?

izx?

y2x2?

y2x2?

yzz

解：

设z=x+yi,x,y∈R，则

4y4y?

z?

?

R22

x2?

y2?

y?

z∵，∴=0，又|z－2|=2,∴

联立解得，当y=0时,x=4或x=0，

?

?

x?

1

?

?

y?

z?

1?

∴综上所得

z1?

4,z2?

1z3?

1当y≠0时

?

例2．设z为虚数，求证：

证明：

设z=a+bi，于是

11abz?

?

a?

biiza?

bia?

b2a2?

b2,

z?

1

z为实数的充要条件是|z|=1.

1b

b?

222

z∈R?

a?

b=0?

a?

b?

1?

|z|=1.所以b≠0,

z?

12

例3．复数z满足?

|z|，且z?

1为纯虚数，求z.

z?

22

解：

设z=x+yi，则?

|z|?

z?

z?

1?

|z|

∴z?

z?

1?

0，即

z?

z?

?

1?

x?

?

12.

z?

1z?

z?

1x2?

y2?

x?

yi?

x?

yi?

1

z?

1|z?

1|2|z?

1|2

为纯虚数，

x2?

y2?

1?

y?

∴

11?

z?

?

z?

?

2

或2

例4．设z是虚数，ω=

z?

1

z是实数，且－1z?

1

求|z|的值及z的实部的取值范围；设u=z?

1，求证u为纯虚数；求的最小值。

解：

设z=a+bi，则

ab

i22

a?

ba?

b，由于ω是实数且b≠0，∴a?

b?

1，

1?

即|z|=1，由?

?

2a,?

12∴z的实部a的的取值范围是.z?

11?

a?

bi1?

a2?

b2?

2bibi122

?

ba?

1，由于a?

b≠0，u=z?

11?

a?

bi

2

∴u是纯虚数。

b21?

a221

2a?

?

2a?

?

2a?

1?

?

2[?

]?

322

a?

1a?

1

2

11

?

22

1a?

12由于a∈,∴a+1>0，则,当,即a=0时,上式取等号,所以的最小

值为1.

?

z?

|z|8

?

?

1?

2i?

?

2i2,，则z=.

例5，若复数z满足

例6．设z∈C，|z|=1

，则|zi|的最大值为

3

2z例7，已知复数z满足|z|＝1＋3i－z．求的值．

例7．已知，复数，求|ω|．例8．若z∈C

，满足4z?

2z?

i,?

?

sin?

?

icos?

。

求z的值和|z－ω|的取值范围

z

例9，设,z?

1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程．

zz2zzz?

z?

zzz?

?

0,?

?

0?

?

0

z?

1z?

11解：

∵z?

1是纯虚数，∴z?

1z?

1，即,∴z+z+=0，

11

2?

y2?

24,设z=x＋yi，，2?

2x?

0y≠0）∴．它为

复数z对应点的轨迹方程．

2

2

复数的四则运算练习题

1．几个特殊结论：

i4n?

1?

i4n?

2?

i4n?

3?

i4n?

如果1

2i,则2?

?

3?

2

122?

2?

2?

?

1

i1?

i1?

i?

?

1?

i1?

i

2．已知复数z1?

3?

4i,z2?

t?

i，且z1?

z2是实数，则实数t等于1?

i?

3．复数的值等于1?

i?

?

1?

4．?

?

i?

?

的虚部是?

i?

1?

．i?

12i?

i

116．如果?

?

x?

yi，则实数x?

，y?

1?

i2?

3i313

7．集合｛Z︱Z＝in?

i?

n,n?

Z｝，用列举法表示该集合，这个集合是

8．设x,y为实数，且xy5，则x?

y?

。

?

?

1?

i1?

2i1?

3i

9．已知x,y?

R,复数?

5xi与复数i?

18相等，求x,y．

10．已知f?

2z?

z?

3i,f?

6?

3i,求f的值．

11．求?

16?

30i的平方根．

m2?

m12．设m?

R,复数z1?

?

i,z2?

?

2?

mi,若z1?

z2是虚数，m?

2

求m的取值范围．

13．计算：

4

5

?

2?

i?

19961?

2i?

?

2?

1?

i?

?