复数运算练习题.docx

1、复数运算练习题 复数运算练习题 一、选择题 1 下面四个命题 0比?i大 两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数 x?yi?1?i的充要条件为x?y?1 如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应， 其中正确的命题个数是 0 B 1 C D 3的虚部为 8iB ?8i CD ?8 使复数为实数的充分而不必要条件是由 z?zB z?zC z为实数 ? 2 z?z为实数 ? 设z1?i4?i5?i6i12,z2?i4?i5?i6i12,则z1,z2的关系是 z1?zz1?z2C z1?1?z2D 无法确定 20?20的值是 ?1024B 10C0 D 1024 已知f?in?i?n集合

2、?f?的元素个数是 2B C D无数个 二、填空题 1 如果z?a?bi是虚数，则z,z,z,z,z,z?z,z,z,z中是虚数的 2 2 2 有 _个，是实数的有 个，相等的有 如果3?a?5,复数z?i在复平面上的对应点z在 22 3若复数z?sin2a?i是纯虚数,则a 4设z?log2?i?log2,若z对应的点在直线x?2y?1?0 2 上,则m 5已知z?,则z?z 3 ? 6若z? 10050 ,那么z?z?11 7计算i?2i?3i2000i 232000 ? 三、解答题 1 设复数z满足z?1,且?z是纯虚数,求z ? 22 已知复数z满足: z?1?3i?z,求 2z 2

3、基础训练 一、选择题 1 若z1,z2?C,z1z2?z1z2是?1i2 A 0 1 C iDi 若复数z 满足z?z)i?1,则z?z2 的值等于 A 1 B 0C ?11 D ? 2?2 5 已知3?z? A 第一象限 B 第二象限C 第三象限第四象限 已知z1?z2?z1?z2?1,则z1?z2等于 A 1 B C D 7 若?1? 2?2 ,则等于?4?2?1? A 1 B 0 C D ?1 给出下列命题 实数的共轭复数一定是实数; 满足z?i?z?i?2的复数z的轨迹是椭圆; 若m?Z,i2 ?1,则im ?i m?1 ?im?2?im?3?0; 其中正确命题的序号是 A B C D

4、 二、填空题 1 若i?b?i，其中a、b?R，i使虚数单位，则a2?b2 ?_ 若 z1?a?2i, z2?3?4i，且 z1 为纯虚数，则实数a z2 复数z? 1 的共轭复数是_ 1?i 计算? 1?i 复数z?i?i?i?i的值是 234 ?1?i ?1.在复平面内，z所对应的点在第_象限 1?i 已知复数z0?3?2i,复数z满足z?z0?3z?z0,则复数z 复数z? 计算 1?i ?1?i? 2 ? 1?i ?1?i? 2 ? 若复数a?3i是纯虚数，则实数a的值为_ 1?2i 设复数z1?1?i,z2?x?2i,若z1z2为实数，则x?_ 11、计算 3?2i3?i 22?1

5、12、计算 ?1?i?2?i? i3 i?i? i?i?i 对复数z 、和自然数m、n，有， ? ? ? nn i?i，i?1，i?i，i?1； i 12344n?1 ?1，i4n?2?1，i4n?3?i，i4n?1. 1?i1?i?1?3i ?i?i?2 ?2?，12?0，1?i?2?，2 ?2i，1?i，.设， ?3n?3n，?n?n?1?n?2?0 二、疑难知识导析 1.对于 z?z?z?z 2 2 ，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进 行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会. 2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结

6、论. 当z?C时，不总是成立的. mnmnmn ?zz?z?m?n； )；z1?z2?0?z1?z2?0 22 z?z2 2 ； z?a?a?z?a 三、经典例题导讲 例1 满足条件 z?2i?z?1?的点的轨迹是 A.椭圆B.直线C.线段 D.圆 正解：?点与间的距离为5， ?动点在两定点与之间，选C n6?n ?. 例2 求值： 63nn?11?i=?i?8i= ,?8 ? ,?8i ? ,?8?.?8i z? 例3已知 2 1?i，求1?z?z2?z2000的值. a1 Sn? 1?q，若直接将条件代入 分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式 求和公式，则显得较为麻烦，不妨

7、先将条件化简. 20013*667 211?z1?1?1z ?i0 4221?3i1?z1?1? 原式= 2 评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立. 例4 已知复数w满足w?4?i?4?3i,?w?2?i?z?5?|?i|?3?i 1?2i2?i解法一：. 若实系数一元二次方程有虚根z?3?i，则必有共轭虚根?3?i. z? 5 ?|w?2|w，求一个 ?z?6, z?10， 2 ? 所求的一个一元二次方程可以是x?6x?10?0. ?a?4?2b,?a?2,? b?3?2a,?b?1,w?a?bia?bi?4?3i?2ai?2b?解法二：设 ，得 ?w?2?i，

8、以下解法同解法一. 1 设z是虚数，?z?是实数，且?12.zz的实部的取值范围.z 例5 解析 ?z是虚数 ?可设?z? 11 ?zx?yi ?x?yi? x?yixy ?i x2?y2x2?y2x2?y2 ?1? 122 ?0,即x?y?122 x?y ?是实数，且y?0, ?z?1, 此时?2x 由?12得?1?2x?2 四、典型习题导练 ? 11?x?1,即z的实部的范围是22 1?i1993 ?_1?i2.3计算 5解下列方程： ； 4.计算 . 4 |z?2|?2,z?R, z例1，已知复数z满足求z. z? 44z44x4y?z?x?yi?2?x?izx?y2x2?y2x2?yz

9、z 解：设z=x+yi, x, yR，则 4y4y?z?R22 x2?y2?y? z ， =0， 又|z2|=2, 联立解得，当y=0时, x=4或x=0 ， ?x?1 ? ?y? z?1? 综上所得 z1?4,z2?1z3?1 当y0时 ,? 例2设z为虚数，求证： 证明：设z=a+bi ，于是 11abz?a?biiza?bia?b2a2?b2, z? 1 z为实数的充要条件是|z|=1. 1b b?222 zR?a?b=0?a?b?1 ?|z|=1. 所以b0, z?12 例3复数z满足?|z|，且z?1为纯虚数，求z. z? 22 解：设z=x+yi ，则?|z|?z?z?1?|z|

10、z?z?1?0，即 z?z?1?x? 12. z?1z?z?1x2?y2?x?yi?x?yi?1 z?1|z?1|2|z?1|2 为纯虚数， x2?y2?1?y? 11?z?z?2 或2 例4设z是虚数，= z? 1 z是实数，且1 z?1 求|z|的值及z的实部的取值范围；设u=z?1，求证u为纯虚数； 求的最小值。 解：设z=a+bi ，则 ab i22 a?ba?b，由于是实数且b0，a?b?1， 1? 即|z|=1，由?2a,?12 z的实部a的的取值范围是. z?11?a?bi1?a2?b2?2bibi122 ?ba?1，由于a?, b0， u=z?11?a?bi 2 u是纯虚数。

11、b21?a221 2a?2a?2a?1?2?322 a?1a?1 2 11 ?22 1a?12由于a, a+10，则,当,即a=0时,上式取等号,所以的最小 值为1. ? z? |z|8 ?1?2i?2i2,，则z= . 例5，若复数z满足 例6设zC，|z|=1 ，则|zi|的最大值为 3 2z例7，已知复数z满足|z|13iz求的值 例7已知 ，复数，求| 例8若zC ，满足4z?2z?i,?sin?icos?。求z的值和|z|的取值范围 z 例9，设,z?1是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程 zz2zzz?z?zzz?0,?0?0 z?1z?11 解：z?1是纯虚数， z?1z?1，即

12、,z+z+=0， 11 2?y2? 24,设z=xyi，2?2x?0y0） 它为 复数z对应点的轨迹方程 2 2 复数的四则运算练习题 1几个特殊结论： i4n?1?i4n?2?i4n?3?i4n? 如果1 2i,则2?3?2 122?2?2? 1 i1?i1?i? ? 1?i1?i 2 已知复数z1?3?4i,z2?t?i，且z1?z2是实数，则实数t等于1?i?3复数的值等于 1?i? 1?4?i?的虚部是?i? 1?i?12i?i 116如果?x?yi，则实数x? ，y?1?i2?3i313 7集合ZZin?i?n,n?Z，用列举法表示该集合，这个集合是 8设x,y为实数，且xy5，则x?y? 。 ?1?i1?2i1?3i 9已知x,y?R,复数?5xi与复数i?18相等，求x,y 10已知f?2z?z?3i,f?6?3i,求f的值 11求?16?30i的平方根 m2?m12设m?R,复数z1? ?i,z2?2?mi,若z1?z2是虚数，m?2 求m的取值范围 13计算：4 5 ?2?i?19961?2i?2 ?1?i?