八年级上册《线段角的轴对称性》导学设计Word格式.docx

八年级上册《线段角的轴对称性》导学设计Word格式.docx

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为什么？

积极思考，动手操作，提出猜想．

让学生动手操作，感知线段的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．

实践探索二

如图2-17直线l是线段AB的垂直平分线，如果沿直线l翻折，你有什么发现？

说说你的看法．

动手操作，验证猜想，描述发现．

在操作中感知线段的轴对称性，培养数学语言的表达能力．

实践探索三

如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？

通过证明，你发现了什么？

用语言描述你得到的结论．

学生独立思考、积极探究．

方法不一，具体如下：

1． 

利用“SAS”证明△OAP≌△OBP后，

说明PA与PB相等；

2． 

利用线段的轴对

称性和基本事实“两点确定一条直线”，说明PA与PB相等．

问题虽然比较简单，学生都能感受到PA与PB相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从线段的垂直平分线的定义入手，说明线段或角相等，再结合证明两条线段相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．

总结

线段垂直平分线上的点有什么特点？

讨论后共同小结．

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己的看法．

实践探索四

试判断：

线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？

引导学生展开讨论：

1．你能读懂题目吗？

题中已知哪些条件？

要说明怎样一个结论？

2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．

3．根据图形你能证明吗？

试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明．

教师点评，用幻灯片给出解答过程：

学生按老师的要求作图，猜想结论，探讨说理．

完成证明：

解：

线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等．

如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．

根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB．

于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．

因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．

本题是线段的垂直平分线性质的应用，主要是让学生经历比较线段垂直平分线上的点和线外的点与线段的两个端点的距离的关系，进一步加深对此性质的理解．另外对于文字题的证明，教师通过逐层提问、分解难点的方法，引导学生画出图形并用符号语言表示出命题，巩固证明命题的思考方法与表达形式．

指导学生活动．

练习：

课本P52练习1、2．

这两题都是线段垂直平分线性质的应用．

第1题是借助网格画线段的垂直平分线有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．

第2题是利用线段的垂直平分线性质解决实际生活中的问题，再次让学生感受到数学是为生活服务的．

小结

1．线段垂直平分线有哪些性质？

我们是怎么证明的？

2．线段垂直平分线有哪些应用？

它主要可以用来解决什么样的问题？

学生讨论、小结．

帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．

布置作业

课本P57习题2.4，分析第1～4的解法，任选2题写出过程．

学生根据自身实际情况，选题作业．

实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．

八年级上册《线段、角的轴对称性》2导学设计

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；

2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；

利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．

灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．

在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？

这样的点有多少个？

动手操作，交流发现．

激发兴趣，点明主题．

衔接上一节课，渗透数学“逆向思维”的数学研究策略．

如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？

如图2-21

（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.

如图2-21

（2），若点Q是线段AB外任意一点，且

QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？

通过上述探索，你得到了什么结论？

教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；

2．自学课本上点Q在线段上的情形，思考点Q不在线段上时的证明；

3．学生证明逆定理．

（1）过点Q作QMAB于点M，利用HL证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（2）过点Q作∠AQB的角平分线交AB于点M，利用SAS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（3）过点Q作AB边上的中线交AB于点M，利用SSS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理，线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合．

教师提出问题，帮助学生合理猜想，培养学生的逆向思维能力．

从“点Q在线段AB上”这一特殊情形的直接呈现，到“点Q是线段AB外任意一点”一般情形的研究，渗透数学中“特殊——一般”的研究方法，同时图2-21

（1）也是为图2-21

（2）作好铺垫，引导学生思考添加辅助线解决问题.

两个步骤兼顾了“任意性”和“完备性”，让学生感受线段垂直平分线上点的共性，几何画板的一般性图形验证，客观的得到了其是一类点的集合．

你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？

如果能，说说你作图的依据.

课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧的交点”，而且“半径要大于AB”呢？

在线段AB所在直线外取一点C，连接AC，用刚学的方法画出AC的垂直平分线l1，与AB的垂直平分线l2交于点O，再连接BC，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？

得到什么结论？

这又是为什么呢？

1．学生尝试操作、小组交流；

2．小组代表汇报画法，并说明作图依据；

3．自学课本，与你的画法进行对比，判

断谁的画法更好？

4．说明作法中“两弧的交点”“半径要

大于AB”的原因；

5.进行延伸作图，观察现象，思考原因.

从实践探索二出发，引导学生利用圆规的等距性找到确定线段垂直平分线的两点，强调“两交点”及“半径”，确保作图成功．

延伸作图以及图形观察一方面“学以致用”，另一方面为例1的解决作出铺垫．

例1　已知：

如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．求证：

点O在BC的垂直平分线上.

2-22

分析：

要证明点O在BC的垂直平分线上，根据到线段两端

距离相等的点在线段的垂直平分线上，只要证OB＝OC，连接OB、OC，要证OB＝OC，只要证OB＝OA，OC＝OA，因为AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OB＝OA，OC＝OA，所以得证．

1．学生结合实践探索三思考；

2．尝试证明；

3．验证得到结论：

三角形的三边垂直平

分线相交于一点．

在实践探索三的基础上学生开始逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．

分析为学生进行证明提供了一种思考方法．

问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“外心”，为学习三角形的外接圆打好基础．

课本P54练习1．

（1）课本P54练习2．

（2）课本P52练习2的基础上作出公共汽车站的位置．

这两题都是线段垂直平分线性质定理及逆定理的应用．

第1题是借助网格画两边的垂直平分线即可，巩固了例1，有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．

第2题是利用线段的垂直平分线性质定理及逆定理解决实际生活中的问题，再次让学生感受到数学是为生活服务的．

（1）探索并证明了线段的垂直平分线的逆定理，会用直尺和圆规作线段的垂直平分线，知道了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

（2）会应用性质定理和逆定理证明结论的正确性和解决问题．

（3）经历了“作图——猜想——证明”的过程，发展了空间观念和演绎推理的能力．

课本P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法，任选1题写出过程．

八年级上册《线段、角的轴对称性》3导学设计

1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；

2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题；

3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；

4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

利用角的轴对称性探索角平分线的性质．

理解“点在角平分线上”的证明方法．

同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？

与线段有什么异同和联系呢？

下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．

进入状态，兴致盎然，跃跃欲试．

点明课题，揭示角类比线段的探究方法．

实践探索一：

在一张薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？

让学生动手操作，感知角的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．

如图2-23，直线OC是∠AOB的角平分线，如果沿直线OC翻折，你有什么发现？

角平分线是线段的对称轴吗？

动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．

在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．

角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？

如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？

学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：

1．利用“AAS”证明△ODP≌

△OEP后，说明PD与PE相等．

2．利用角的轴对称性和基本事

实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD与PE相等．

问题虽然比较简单，学生都能感受到PD与PE相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从角平分线的定义入手，说明角相等，再结合证明两个角相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．

角平分线上的点有什么特点？

讨论后共同小结：

角平分线上的点到角两边的距离相等．

师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．

如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？

如图2-26，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？

教师利用几何画板验证．

1．猜想角平分线性质定理的逆定理．

2．学生证明逆定理．

连接OQ，利用HL证明三角形全等，继而得到OQ平分∠AOB．

3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理：

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

教师提示问题，帮助学生利用类比学习法合理猜想，培养学生的逆向思维能力．

逆定理的证明，通过引导学生理解“点在线上”的证法基础上，明确辅助线，培养其分析问题和演绎推理的能力．

让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．

课本P55练习．

延伸：

在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．

这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．

借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．

1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：

角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．

2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等；

反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？

课本P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程．

八年级上册《线段、角的轴对称性》4导学设计

1．能利用所学知识提出问题并能解决实际问题；

2．能利用角平分线性质定理和逆定理证明相关结论，做到每一步有根有据；

3．经历探索角的轴对称应用的过程，在解决问题的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点综合运用角平分线的性质定理和逆定理解决问题．教学难点学会证明点在角平分线上．教学过程（教师）学生活动设计思路开场白同学们，上节课我们知道了“角平分线上的点到角两边距离相等”，而且“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．这两个定理能用来解决什么问题呢？

回忆、思考．点明课题，制造悬念，激发学生的学习热情．例2 

已知：

△ABC的两内角∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点P．求证：

点P在∠A的角平分线上．　　分析：

要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE＝PF，从而PD＝PE，所以得证．

通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？

1．结合图形认真审题．2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：

三角形的三个内角的角平分线相交于一点．运用例题引导学生逐渐学会综合利用性质定理和逆定理．采用“要证，只要证”的思考方法引导学生逐步学会“分析法”．问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心”，为学习三角形的内切圆打好基础．例3　已知：

如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DFAC，垂足为E、F．求证：

AD垂直平分EF．

要证AD垂直平分EF，只要证：

， 

．已知　∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DFAC，只要证 

，只要证 

　．……学生利用分析法填空；

阐述证明思路；

完成证明过程．利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．开放的分析过程，提供了多样化的思考路径．指导学生完成练习．解完题后，说说你的发现，提出你的问题．练习：

课本P56练习．学生发现：

三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；

可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题”．本题是角平分线性质定理和逆定理的综合应用，实际上是例2的变式应用．学生“一折，二画，三验证”有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路寻找证明方法．布置作业课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程． 

学生根据自身实际情况，选题作业．