《材料力学》附录I截面地几何性质习题解文档格式.docx
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试确立图示各图形的形心地点。
习题I-3(a):
求门形截面的形心地点
矩形
Li
Bi
Ai
Yci
AiYci
Yc
离顶边
上
400
20
8000
160
1280000
左
150
3000
75
225000
右
14000
1730000
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/
∑Ai
习题I-3(b):
求L形截面的形心地点
Xci
AiXci
Xc
下
10
1600
5
80
128000
90
900
55
49500
4500
2500
57500
23
132500
53
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
习题I-3(c):
求槽形与L形组合截面的形心地点
型钢号Ai(cm2Yci(cmAiYci(cm3Yc(cmXci(cmAiXci(cm3Xc(cm
)))))))
槽钢2010
等边角钢
80*10
Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai
[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。
dA
(xd
)
dx;
y
xsin
;
微分面积对x轴的惯性矩为:
dIx
y2dA
y2(xd
dx)
x2sin2
xddx
x3sin2
dxd
四分之一圆对
x轴的惯性矩为:
Ix
/2
x4
/21
cos2
d
xdx
sin
4
]0
1[
cos2d
(2)]
r1/2
{[sin2]0}
r4
16
由圆的对称性可知,四分之一圆对y轴的惯性矩为:
IyI
微分面积对x轴、y轴的惯性积为:
dIxy
xydA
Ixy
r2x2
r1
)dx
1r2x2
x4
1r4
xdx
ydx
x(r
(
8
[习题I-5]
图示直径为d
200mm的圆形截面,在其上、下对称地切去两个高为
20mm的弓形,试用积分法求余下暗影部分对其对称轴
x的惯性矩。
圆的方程为:
x2y2r2
如图,作两条平行x轴的、相距为dy线段,截圆构成微分面积,微分面积为:
dA2
y2dy
切去2
以后,剩下部分对
rsin
2y2r2
2y(2y2
r2)r2
y2
arcsiny
rsin
1sin4
(4
sin4
x1
20)2
1002
3600
60(mm)
tan
100
60
arctan4
0.927(rad)
1004
107(mm4)
[习题I-6]
试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
正方形四条边的直线方程以下图(设水平坐标轴为
z,竖坐标轴为
y)。
Iz
dz
z
2a
y2dy
z2a
2dz
a
2dy
2dy]
2[2
2y
2[
y3
y3
2dz]
2(z
2a)3d(z
2a)
(z
2a)3d(z
2a)]
a)
=2
a4
12
故正方形对其的对角线的惯性矩为:
Iz12
。
[习题I-7]
试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴
Ix
D4(1
2)
3.141754[1
(150)4]
21177368(mm4)
64
175
2103
901503
90449999(mm4)
[习题I-8]
试求图示三角形截面对经过极点
并平行于底边
BC
轴的惯性矩。
的
已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是,利用平行轴定理,可求得截面对形心
轴的惯性矩
所以
再次应用平行轴定理,得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩,此中轴与半圆形的底边
平行,相距1m。
已知半圆形截面对其底边的惯性矩是,用平行轴定理得截面对形心轴
的惯性矩
再用平行轴定理,得截面对轴的惯性矩
[习题I-10]试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
因为三圆直径相等,并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。
该等
边三角形的形心就是组合截面的形心,所以下面两个圆的圆心,到形心轴的距离是
上边一个圆的圆心到
轴的距离是23d。
6
利用平行轴定理,得组合截面对轴的惯性矩以下:
[习题I-11]试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
(a)22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。
利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩
Iz3.4107
120
103
1152
12010)
65760000(mm4)
(b)等边角钢
的截面积是
,其形心距外边沿的距离是
mm,求得组合截面对轴
的惯性矩以下:
习题I-11(b)图
图形
b
h
Ixc
Ix
中间矩形
600
180000000
6000
上矩形
250
20833
305
232583333
下矩形
左上L形
1795100
1926
143869495
右上L形
左下L形
右下L形
Ixc
a2A
1220644645
[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。
对于形心地点,可利
用该题的结果。
形心轴地点及几何尺寸以下图。
惯性矩计算以下:
[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13(a)
bi
hi
ai
Ix(mm4)
1000
100000
650
65000000
225
83333333
5145833333
300
180000
54000000
125
540000000
8212500000
全图
280000
11900000
425
习题I-13(b)
Ix(mm4)
上图(3)
25
3750
275
1031250
148
7031250
89601489
中图
(2)
200
30000
3750000
56250000
56328044
下列图
(1)
50
5000
125000
102
1041667
52667577
38750
4906250
127
198597110
习题I-13(c)
图
Ixc(mm4)
形
矩
1150
2461000
575
1415075000
271222708333
159
333213698275
2140
半
790
-980333
335
-328692667
42750202791
399
圆
全
1480667
1086382333
734
半圆:
yc
4r/3
Ixc
r4/88r4/9
习题I-13(d)
Ixci
Ix(mm4)
220
3520
28160
374
75093
492438613
180
14
2520
57960
359
41160
324821280
从
674
10784
367
3957728
408242699
往
3080
711
2189880
329
50307
333432587
445
9
4005
2893613
341
27034
464367735
23909
9127341
382
2023302914
[习题I-14]
在直径D8a
圆截面中,开了一个2a
4a
的矩形孔,以下图。
试求截面
对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩
Ix和Iy。
先求形心主轴
的地点
截面图形对形心轴的静矩(面积矩)等于零:
(y轴向下为正)
(组合图形对过圆心轴x1的惯性矩)
(组合图形对形心轴x的惯性矩)
习题I-14
b(a)
h(a)
r(a)
Ai(a2)
Yci(a)
Yc(a)
Ix(a4)
-8
[习题I-15]正方形截面中开了一个直径为d100mm的半圆形孔,以下图。
试确立截面的形心地点,并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
习题I-15
正方形
40000
4000000
133333333
133546801
半圆
-3927
79
-309365
685977
242860346
36073
3690635
130686455
8r
Ixca
形心地点:
X(0,102)。
对水平形心轴的惯性矩:
130686455mm4。
对竖直形心轴
的惯性矩:
2004
504
Iy
130878966(mm
Iy(mm)
2454367
130878966
128
[习题I-16]图示由两个
20a号槽钢构成的组合截面,若欲使截面对两对称轴的惯性矩
Ix和
Iy相等,则两槽钢的间距
a应为多少?
20a号槽钢截面对其自己的形心轴、的惯性矩是,
横截面积为;
槽钢背到其形心轴的距离是
依据惯性矩定义和平行轴定理,组合截面对,轴的惯性矩分别是
若
即
等式两边同除以2,而后辈入数据,得
于是
所以,两槽钢相距
[习题I-17]试求图示截面的惯性积Ixy
设矩形的宽为
b高为h,形心主惯性轴为
xc0yc,则
由平行移轴公式得:
IxyIxCyC
abA0(h)
(b)bh
1b2h2
故,矩形截面对其底边与左侧所构成的坐标系的惯性积为:
1b2h2
习题I-17
Ixy
左矩形
250000
下矩形:
重复加的矩形
上图+下列图-重复图=497500
[习题I-18]
图示截面由两个
125mm125mm10mm的等边角钢及缀板(图中虚线)组
合而成。
试求该截面的最大惯性矩
Imax和最小惯性矩Imax。
从图中可知,该截面的形心
C位于两缀板共同的形心上。
过C点作水平线,向右为
xc轴正向;
过C点,垂直于xc轴的
直线为yc轴向上为正。
把
xccyc坐标绕C点逆时针转450
后所获得的坐标系是截面的的两条对称轴,
也就是该截面的形
心主惯性轴x0,y0。
主惯性矩Ix0
Imax,Iy0Imin
查型钢表得:
12.5号等边角钢的参数以下:
,Iy0
Ix'
4,Ix0
Iy'
04,z0
角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离:
2z0
0.5)
3.952cm
Imax
Ix0
(3.952)2
24.373]
1820(cm4)
Imin
Iy0
1148(cm4)
(注:
缀板用虚