《材料力学》附录I截面地几何性质习题解文档格式.docx
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试确立图示各图形的形心地点。
习题I-3（a）:
求门形截面的形心地点
矩形
Li
Bi
Ai
Yci
AiYci
Yc
离顶边
上
400
20
8000
160
1280000
左
150
3000
75
225000
右
14000
1730000
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/
∑Ai
习题I-3（b）:
求L形截面的形心地点
Xci
AiXci
Xc
下
10
1600
5
80
128000
90
900
55
49500
4500
2500
57500
23
132500
53
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
习题I-3（c）:
求槽形与L形组合截面的形心地点
型钢号Ai（cm2Yci（cmAiYci（cm3Yc（cmXci（cmAiXci（cm3Xc（cm
）））））））
槽钢2010
等边角钢
80*10
Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai
[习题I-4]试求图示四分之一圆形截面对于x轴和y轴的惯性矩Ix、Iy和惯性积Ixy。
dA
（xd
）
dx；
y
xsin
；
微分面积对x轴的惯性矩为：
dIx
y2dA
y2（xd
dx）
x2sin2
xddx
x3sin2
dxd
四分之一圆对
x轴的惯性矩为：
Ix
/2
x4
/21
cos2
d
xdx
sin
4
]0
1[
cos2d
（2）]
r1/2
{[sin2]0}
r4
16
由圆的对称性可知，四分之一圆对y轴的惯性矩为：
IyI
微分面积对x轴、y轴的惯性积为：
dIxy
xydA
Ixy
r2x2
r1
）dx
1r2x2
x4
1r4
xdx
ydx
x（r
（
8
[习题I-5]
图示直径为d
200mm的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
20mm的弓形，试用积分法求余下暗影部分对其对称轴
x的惯性矩。
圆的方程为：
x2y2r2
如图，作两条平行x轴的、相距为dy线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dA2
y2dy
切去2
以后，剩下部分对
rsin
2y2r2
2y（2y2
r2）r2
y2
arcsiny
rsin
1sin4
（4
sin4
x1
20）2
1002
3600
60（mm）
tan
100
60
arctan4
0.927（rad）
1004
107（mm4）
[习题I-6]
试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
正方形四条边的直线方程以下图（设水平坐标轴为
z，竖坐标轴为
y）。
Iz
dz
z
2a
y2dy
z2a
2dz
a
2dy
2dy]
2[2
2y
2[
y3
y3
2dz]
2（z
2a）3d（z
2a）
（z
2a）3d（z
2a）]
a）
=2
a4
12
故正方形对其的对角线的惯性矩为：
Iz12
。
[习题I-7]
试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴
Ix
D4（1
2）
3.141754[1
（150）4]
21177368（mm4）
64
175
2103
901503
90449999（mm4）
[习题I-8]
试求图示三角形截面对经过极点
并平行于底边
BC
轴的惯性矩。
的
已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心
轴的惯性矩
所以
再次应用平行轴定理，得
[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，此中轴与半圆形的底边
平行，相距1m。
已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴
的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩
[习题I-10]试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
因为三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。
该等
边三角形的形心就是组合截面的形心，所以下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是
上边一个圆的圆心到
轴的距离是23d。
6
利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩以下：
[习题I-11]试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。
利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩
Iz3.4107
120
103
1152
12010）
65760000（mm4）
（b）等边角钢
的截面积是
，其形心距外边沿的距离是
mm，求得组合截面对轴
的惯性矩以下：
习题I-11（b）图
图形
b
h
Ixc
Ix
中间矩形
600
180000000
6000
上矩形
250
20833
305
232583333
下矩形
左上L形
1795100
1926
143869495
右上L形
左下L形
右下L形
Ixc
a2A
1220644645
[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。
对于形心地点，可利
用该题的结果。
形心轴地点及几何尺寸以下图。
惯性矩计算以下：
[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13（a）
bi
hi
ai
Ix（mm4）
1000
100000
650
65000000
225
83333333
5145833333
300
180000
54000000
125
540000000
8212500000
全图
280000
11900000
425
习题I-13（b）
Ix（mm4）
上图（3）
25
3750
275
1031250
148
7031250
89601489
中图
（2）
200
30000
3750000
56250000
56328044
下列图
（1）
50
5000
125000
102
1041667
52667577
38750
4906250
127
198597110
习题I-13（c）
图
Ixc（mm4）
形
矩
1150
2461000
575
1415075000
271222708333
159
333213698275
2140
半
790
-980333
335
-328692667
42750202791
399
圆
全
1480667
1086382333
734
半圆：
yc
4r/3
Ixc
r4/88r4/9
习题I-13（d）
Ixci
Ix（mm4）
220
3520
28160
374
75093
492438613
180
14
2520
57960
359
41160
324821280
从
674
10784
367
3957728
408242699
往
3080
711
2189880
329
50307
333432587
445
9
4005
2893613
341
27034
464367735
23909
9127341
382
2023302914
[习题I-14]
在直径D8a
圆截面中，开了一个2a
4a
的矩形孔，以下图。
试求截面
对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩
Ix和Iy。
先求形心主轴
的地点
截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：
（y轴向下为正）
（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）
（组合图形对形心轴x的惯性矩）
习题I-14
b（a）
h（a）
r（a）
Ai（a2）
Yci（a）
Yc（a）
Ix（a4）
-8
[习题I-15]正方形截面中开了一个直径为d100mm的半圆形孔，以下图。
试确立截面的形心地点，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
习题I-15
正方形
40000
4000000
133333333
133546801
半圆
-3927
79
-309365
685977
242860346
36073
3690635
130686455
8r
Ixca
形心地点：
X（0，102）。
对水平形心轴的惯性矩：
130686455mm4。
对竖直形心轴
的惯性矩：
2004
504
Iy
130878966（mm
Iy（mm）
2454367
130878966
128
[习题I-16]图示由两个
20a号槽钢构成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩
Ix和
Iy相等，则两槽钢的间距
a应为多少？
20a号槽钢截面对其自己的形心轴、的惯性矩是，
横截面积为；
槽钢背到其形心轴的距离是
依据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是
若
即
等式两边同除以2，而后辈入数据，得
于是
所以，两槽钢相距
[习题I-17]试求图示截面的惯性积Ixy
设矩形的宽为
b高为h，形心主惯性轴为
xc0yc，则
由平行移轴公式得：
IxyIxCyC
abA0（h）
（b）bh
1b2h2
故，矩形截面对其底边与左侧所构成的坐标系的惯性积为：
1b2h2
习题I-17
Ixy
左矩形
250000
下矩形:
重复加的矩形
上图+下列图-重复图=497500
[习题I-18]
图示截面由两个
125mm125mm10mm的等边角钢及缀板（图中虚线）组
合而成。
试求该截面的最大惯性矩
Imax和最小惯性矩Imax。
从图中可知，该截面的形心
C位于两缀板共同的形心上。
过C点作水平线，向右为
xc轴正向；
过C点，垂直于xc轴的
直线为yc轴向上为正。
把
xccyc坐标绕C点逆时针转450
后所获得的坐标系是截面的的两条对称轴，
也就是该截面的形
心主惯性轴x0,y0。
主惯性矩Ix0
Imax，Iy0Imin
查型钢表得：
12.5号等边角钢的参数以下：
，Iy0
Ix'
4，Ix0
Iy'
04，z0
角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离：
2z0
0.5）
3.952cm
Imax
Ix0
（3.952）2
24.373]
1820（cm4）
Imin
Iy0
1148（cm4）
（注：
缀板用虚
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