高考数学一轮复习第四单元导数及其应用学案文Word文件下载.docx
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3．函数f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值是（ ）
A.B.
C.D.
选D 因为f′（x）＝3ax2＋6x，
所以f′（－1）＝3a－6＝4，
所以a＝.
4．（2016·
天津高考）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________．
因为f（x）＝（2x＋1）ex，
所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，
所以f′（0）＝3e0＝3.
答案：
3
[清易错]
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如（xn）′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，（cosx）′＝－sinx.
2．注意公式不要用混，如（ax）′＝axlna，而不是（ax）′＝xax－1.
1．已知函数f（x）＝sinx－cosx，若f′（x）＝f（x），则tanx的值为（ ）
A．1B．－3
C．－1D．2
选B ∵f′（x）＝（sinx－cosx）′＝cosx＋sinx，
又f′（x）＝f（x），
∴cosx＋sinx＝sinx－cosx，
∴tanx＝－3.
2．若函数f（x）＝2x＋lnx且f′（a）＝0，则2aln2a＝（ ）
A．－1B．1
C．－ln2D．ln2
选A f′（x）＝2xln2＋，由f′（a）＝2aln2＋＝0，得2aln2＝－，则a·
2a·
ln2＝－1，即2aln2a＝－1.
导数的几何意义
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y＝f（x）上点P（x0，y0）处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′（x0）·
（x－x0）．
1.（2018·
郑州质检）已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝（ ）
A．－1B．0
C．2D．4
选B 由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′（3）＝－，∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）＋xf′（x），∴g′（3）＝f（3）＋3f′（3），又由题图可知f（3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×
＝0.
2．设函数f（x）＝xlnx，则点（1,0）处的切线方程是________．
因为f′（x）＝lnx＋1，所以f′
（1）＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.
x－y－1＝0
3．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．
因为y′＝4x，设切点为（m，n），则4m＝2，所以m＝，则n＝2×
2＝，则切点的坐标为.
4．函数y＝f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝3x－2，则f
（1）＋f′
（1）＝________.
因为函数y＝f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝3x－2，所以f′
（1）＝3，且f
（1）＝3×
1－2＝1，所以f
（1）＋f′
（1）＝1＋3＝4.
4
[清易错]
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
1．若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于（ ）
A．－1或－B．－1或
C．－或－D．－或7
选A 因为y＝x3，所以y′＝3x2，
设过点（1,0）的直线与y＝x3相切于点（x0，x），
则在该点处的切线斜率为k＝3x，
所以切线方程为y－x＝3x（x－x0），即y＝3xx－2x，又（1,0）在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1，所以选A.
2.（2017·
兰州一模）已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点（1,3），则实数b的值为________．
因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点（1,3）处的切线斜率为3＋a，
所以解得
利用导数研究函数的单调性
1．函数f（x）在某个区间（a，b）内的单调性与f′（x）的关系
（1）若f′（x）>
0，则f（x）在这个区间上是增加的．
（2）若f′（x）<
0，则f（x）在这个区间上是减少的．
（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
（1）求f′（x）．
（2）在定义域内解不等式f′（x）>
0或f′（x）<
0.
（3）根据结果确定f（x）的单调性及单调区间．
1．函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是（ ）
A．（1,2）B．（2，＋∞）
C．（－∞，1）D．（－∞，1）和（2，＋∞）
选A 解f′（x）＝6x2－18x＋12<
0可得1<
x<
2，所以单调减区间是（1,2）．
2．已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（ ）
选D 当x<
0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c<
0，知相应的函数f（x）在该区间内单调递减；
当x>
0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间（0，x1）内的值是大于0的，则在此区间内函数f（x）单调递增．只有D选项符合题意．
3．已知f（x）＝x2＋ax＋3lnx在（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．（－∞，－2]B.
C．[－2，＋∞）D．[－5，＋∞）
选C 由题意得f′（x）＝2x＋a＋＝≥0在（1，＋∞）上恒成立⇔g（x）＝2x2＋ax＋3≥0在（1，＋∞）上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或⇔－2≤a≤2或a>
2⇔a≥－2，故选C.
若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递增，则f′（x）≥0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立；
若函数y＝f（x）在区间（a，b）上单调递减，则f′（x）≤0，且在（a，b）的任意子区间，等号不恒成立．
若函数f（x）＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．
∵f（x）＝x3＋x2＋mx＋1，
∴f′（x）＝3x2＋2x＋m.
又∵f（x）在R上是单调增函数，∴f′（x）≥0恒成立，
∴Δ＝4－12m≤0，即m≥.
利用导数研究函数的极值与最值
1．函数的极大值
在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点，其函数值f（x0）为函数的极大值．
2．函数的极小值
在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
3．函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；
若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．
1．如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
选A 由图象及极值点的定义知，f（x）只有一个极小值点．
2．若函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
选D f′（x）＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′（－3）＝0，即3×
（－3）2＋2a×
（－3）＋3＝0，解得a＝5.
3．（2017·
济宁一模）函数f（x）＝x2－lnx的最小值为（ ）
A.B．1
C．0D．不存在
选A f′（x）＝x－＝，且x>
0.令f′（x）>
0，得x>
1；
令f′（x）<
0，得0<
1.∴f（x）在x＝1处取得极小值也是最小值，且f
（1）＝－ln1＝.
4．若函数f（x）＝x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围为________．
f′（x）＝x－a＋＝（x>
0），
因为函数f（x）＝x2－ax＋lnx有极值，
令g（x）＝x2－ax＋1，且g（0）＝1>
0，
所以解得a>
2.
（2，＋∞）
5．设x1，x2是函数f（x）＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<
2<
x2，则实数a的取值范围是________．
由题意，f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0，得x＝或a.
又∵x1<
x2，∴x1＝，x2＝a，∴∴2<
a<
6.
（2,6）
1．f′（x0）＝0是x0为f（x）的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点；
又如f（x）＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′（0）不存在．
2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．
1．（2017·
岳阳一模）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）
A．y＝x3B．y＝ln（－x）
C．y＝xe－xD．y＝x＋
选D 因为A、B为单调函数，所以不存在极值，C不是奇函数，故选D.
2．设函数f（x）＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
f′（x）＝3x2－3，
由f′（x）>
0可得x>
1或x<
－1，
由f′（x）<
0可得－1<
1，
所以函数f（x）的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]．
又因为f（－2）＝－1，f（－1）＝3，f
（1）＝－1，f
（2）＝3，
所以M＝3，m＝－1，
所以M＋m＝2.
2
一、选择题
1．已知函数f（x）＝logax（a>
0且a≠1），若f′
（1）＝－1，则a＝（ ）
A．e B.
选B 因为f′（x）＝，所以f′
（1）＝＝－1，所以lna＝－1，所以a＝.
2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A（1,3），则2a＋b的值为（ ）
C．2D．－2
选C 由曲线y＝x2＋ax＋b，得y′＝2x＋a，
由题意可得解得
所以2a＋b＝2.
3．函数y＝2x3－3x2的极值情况为（ ）
A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值
B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值
C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1
D．以上都不对
选C y′＝6x2－6x，
由y′＝6x2－6x>
0，可得x>
即单调增区间是（－∞，0），（1，＋∞）．
由y′＝6x2－6x<
0，可得0<
即单调减区间是（0,1），所以函数在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1.
4．若f（x）＝－x2＋mlnx在（1，＋∞）是减函数，则m的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（1，＋∞）
C．（－∞，1]D．（－∞，1）
选C 由题意，f′（x）＝－x＋≤0在（1，＋∞）上恒成立，即m≤x2在（1，＋∞）上恒成立，又因为x2>
1，所以m≤1.
5．函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（ ）
A．（－∞，2）B．（0,3）
C．（1,4）D．（2，＋∞）
选D 依题意得f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，令f′（x）>
0，解得x>
2，∴f（x）的单调递增区间是（2，＋∞）．故选D.
6．已知函数f（x）＝x（x－m）2在x＝1处取得极小值，则实数m＝（ ）
A．0B．1
C．2D．3
选B f（x）＝x（x2－2mx＋m2）＝x3－2mx2＋m2x，所以f′（x）＝3x2－4mx＋m2＝（x－m）（3x－m）．由f′
（1）＝0可得m＝1或m＝3.当m＝3时，f′（x）＝3（x－1）（x－3），当1<
3时，f′（x）<
0，当x<
1或x>
3时，f′（x）>
0，此时在x＝1处取得极大值，不合题意，∴m＝1，此时f′（x）＝（x－1）（3x－1），当<
x<
1时，f′（x）<
或x>
1时，f′（x）>
0，此时在x＝1处取得极小值．选B.
7．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3B．2
C．1D.
选A 已知曲线y＝－3lnx（x>
0）的一条切线的斜率为，由y′＝x－＝，得x＝3，故选A.
8．若函数f（x）＝的值域为[0，＋∞），则实数a的取值范围是（ ）
A．[2,3]B．（2,3]
C．（－∞，2]D．（－∞，2）
选A 当x≤0时，0≤f（x）＝1－2x<
0时，f（x）＝x3－3x＋a，f′（x）＝3x2－3，
当x∈（0,1）时，f′（x）<
0，f（x）单调递减，
当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>
0，f（x）单调递增，
所以当x＝1时，函数f（x）取得最小值f
（1）＝1－3＋a＝a－2.由题意得0≤a－2≤1，解得2≤a≤3，选A.
二、填空题
9．若函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
由题意知f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1＋，要使函数f（x）＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在（0，＋∞）上有解，即x＝－a，∴a<
（－∞，0）
10．已知函数f（x）＝lnx－f′（－1）x2＋3x－4，则f′
（1）＝________.
∵f′（x）＝－2f′（－1）x＋3，
∴f′（－1）＝－1＋2f′（－1）＋3，
∴f′（－1）＝－2，∴f′
（1）＝1＋4＋3＝8.
8
11．已知函数f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝x＋3，则f
（1）＋f′
（1）＝________.
由题意知f′
（1）＝，f
（1）＝×
1＋3＝，
∴f
（1）＋f′
（1）＝＋＝4.
12．已知函数g（x）满足g（x）＝g′
（1）ex－1－g（0）x＋x2，且存在实数x0，使得不等式2m－1≥g（x0）成立，则实数m的取值范围为________．
g′（x）＝g′
（1）ex－1－g（0）＋x，
令x＝1时，得g′
（1）＝g′
（1）－g（0）＋1，
∴g（0）＝1，g（0）＝g′
（1）e0－1＝1，
∴g′
（1）＝e，
∴g（x）＝ex－x＋x2，g′（x）＝ex－1＋x，
当x<
0时，g′（x）<
0，当x>
0时，g′（x）>
∴当x＝0时，函数g（x）取得最小值g（0）＝1.
根据题意得2m－1≥g（x）min＝1，∴m≥1.
[1，＋∞）
三、解答题
13．已知函数f（x）＝x＋＋b（x≠0），其中a，b∈R.
（1）若曲线y＝f（x）在点P（2，f
（2））处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在上恒成立，求实数b的取值范围．
解：
（1）f′（x）＝1－（x≠0），
由已知及导数的几何意义得f′
（2）＝3，则a＝－8.
由切点P（2，f
（2））在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x－＋9.
（2）由
（1）知f′（x）＝1－（x≠0）．
当a≤0时，显然f′（x）>
0，这时f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上是增函数．
当a>
0时，令f′（x）＝0，解得x＝±
，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－
）
－
（－
，0）
（0，
（
，＋∞）
f′（x）
＋
f（x）
极大值
极小值
所以当a>
0时，f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上是增函数，在（－，0），（0，）上是减函数．
（3）由
（2）知，对于任意的a∈，不等式f（x）≤10在上恒成立等价于即对于任意的a∈成立，从而得b≤，
所以实数b的取值范围是.
14．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
（1）对f（x）求导，得f′（x）＝－－（x>
0），由f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x，
知f′
（1）＝－－a＝－2，解得a＝.
（2）由
（1）知f（x）＝＋－lnx－，
则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．
当x∈（0,5）时，f′（x）<
0，故f（x）在（0,5）内为减函数；
当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>
0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．
由此知函数f（x）在x＝5时取得极小值f（5）＝－ln5，无极大值．
高考研究课
（一）
导数运算是基点、几何意义是重点
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
5年8考
求切线、已知切线求参数、求切点坐标
导数的运算
[典例]
（1）（2018·
惠州模拟）已知函数f（x）＝cosx，则f（π）＋f′＝（ ）
A．－ B．－
C．－D．－
（2）已知f1（x）＝sinx＋cosx，fn＋1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2018（x）等于（ ）
A．－sinx－cosxB．sinx－cosx
C．sinx＋cosxD．cosx－sinx
（3）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′
（1）＋lnx，则f′
（1）＝（ ）
A．－eB．－1
C．1D．e
[解析]
（1）∵f′（x）＝－cosx＋（－sinx），
∴f（π）＋f′＝－＋·
（－1）＝－.
（2）∵f1（x）＝sinx＋cosx，
∴f2（x）＝f1′（x）＝cosx－sinx，
∴f3（x）＝f2′（x）＝－sinx－cosx，
∴f4（x）＝f3′（x）＝－cosx＋sinx，
∴f5（x）＝f4′（x）＝sinx＋cosx，
∴fn（x）是以4为周期的函数，
∴f2018（x）＝f2（x）＝cosx－sinx，故选D.
（3）由f（x）＝2xf′
（1）＋lnx，得f′（x）＝2f′
（1）＋.
∴f′
（1）＝2f′
（1）＋1，则f′
（1）＝－1.
[答案]
（1）C
（2）D （3）B
[方法技巧]
1．可导函数的求导步骤
（1）分析函数y＝f（x）的结构特点，进行化简；
（2）选择恰当的求导法则与导数公式求导；
（3）化简整理答案．
2．求导运算应遵循的原则
求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
[即时演练]
1．（2018·
江西九校联考）已知y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3），则y′＝（ ）
A．3x2－12x＋6B．x2＋12x－11
C．x2＋12x＋6D．3x2＋12x＋11
选D 法一：
y′＝（x＋2）（x＋3）＋（x＋1）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）＝3x2＋12x＋11.
法二：
∵y＝（x2＋3x＋2）（x＋3）＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝3x2＋12x＋11.
2．已知函数f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝________.
f′（x）＝lnx＋1，由f′（x0）＝2，
即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
e
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的第1问中，难度较低，属中、低档题.
常见的命题角度有：
求切线方程；
确定切点坐标；
已知切线求参数值或范围；
切线的综合应用
角度一：
求切线方程
1．已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2，则曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程是________．
∵f′（x）＝－1＋2x，∴f′
（1）＝，f
（1）＝ln2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y－ln2＝（x－1），即3x－2y＋2ln2－3＝0.
3x－2y＋2ln2－3＝0
角度二：
确定切点坐标
2．（2018·
沈阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：
y＝x3－x－1上，且在第三象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．
∵y′＝3x2－1，曲线C在点M处的切线的斜率为2，∴3x2－1＝2，x＝±
又∵点M在第三象限，
∴x＝－1，∴y＝（－1）3－（－1）－1＝－1，
∴点M的坐标为（－1，－1）．
（－1，－1）
角度三：
已知切线求参数值或范围
武汉一模）已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x
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