工程力学组合变形汇总.docx

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工程力学组合变形汇总

10组合变形

1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念；

2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定；如双向偏心拉伸,中性轴方程为

12zo2yo0

iyiz

3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。

4、截面核心。

解题范例

10.1、定性分析图10.1示结构中各构件将发生哪些基本变形?

图10.1

［解］（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。

（b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。

（c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。

（d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。

10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。

为压弯变形。

偏心受压,产生压缩和弯曲变形。

BC段:

弯曲。

BC段:

压弯组合。

[解]（a）力可分解成水平和竖直方向的分力

（b）所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

（c）该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.

（d）该杆受水平集中荷载

（e）AB段:

受弯,弯曲变形，

（f）AB段:

受弯,弯曲变形，

（g）AB段:

斜弯曲，BC段:

弯纽扭合。

10.3分析图10.3示构件中（AB、BC和CD）各段将发生哪些变形?

图10.3

[解]AB段发生弯曲变形，

BC段发生弯曲、扭转变形；

CD段发生拉伸、双向弯曲变形。

10.4一悬臂滑车架如图

10.4所示，杆AB为18号工字钢（截面面积

30.6cm2，

Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。

试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应

力。

设工字钢的自重可略去不计。

图10.4

[解]取AB为研究对象，对A点取矩可得FNBCY12.5kN

FNABFNBCX

分别作出AB的轴力图和弯矩图

l/2

kN.m

轴力作用时截面正应力均匀分布，FN（压）

弯矩作用时截面正应力三角形分布，M（下拉上压）Wz

可知D截面处上边缘压应力最大,叠加可得最大正应力94.9MPa（压

10.5如图10.5所示,截面为16a号槽钢的简支梁,跨长L=4.2m,受集度为q的均布荷载作

用,q=2KN/m。

梁放在=20o的斜面上,试确定梁危险截面上A点和B点处的弯曲正应力。

[解]双向弯曲梁,在梁跨中点处的截面是危险截面,该截面上的弯矩、

MZmaxqlcos4.15kNm

ymax

81ql2sin1.5kMm

从型钢规格中查得16A号钢的抗弯截面模量

WZ108cm3IZ73.3cm4z01.08cmb6.3cm

离中和轴最远的点是危险点

A点:

cmaxMWZmaxMymaxI6.3z0145.22MPa

cmaxWZIy

B点:

tmaxMymaxMymaxz060.5.MPatmaxWZIy

习题解析

10.1矩形截面木檩条,跨度L=4m,荷载及截面尺寸如图10.6所示,木材为杉木,弯曲容

许应力[σ]=12MPa,E=9×103MPa容许挠度为L/200,试验算穰条的强度和刚度。

[解]⑴首先进行强度的校核：

先将q分解成为两个分量

qX=716N/m，qz=1430N/m,

二者对应最大弯矩分别为

Mxmax=1432N·m,Mzmax=2860N·m，

代入强度条件公式得

Mxmax／Wx+Mzmax／WZ=1053.MPa<=12MPa故强度条件满足.

⑵再进行刚度的核算：

与qX相应的挠度fX=5qxl4=14.9mm

XX384EIZ

与qz相应的挠度fz=5qzl4=14.mm

zz384EIx

fmax=fxfz=20.51mm<[L／200]=20mm（容许挠度）

可以认为刚度满足要求。

10.2由木材制成的矩形截面悬臂梁,在梁的水平对称面内受到力P1=1.6kN的作用,在铅直对称面内受到力P2=0.8kN作用（如图10.7所示）。

已知:

b=90mm，h=180mm,E=1.0×104MPa。

试求梁的横截面上的最大正应力及其作用点的位置,并求梁的最大挠度。

如果

截面为圆形,d=13Omm,试求梁的横截面上的最大正应力。

图10.7

[解]P1,P2单独作用在梁上时,所引起的最大弯矩

MyP1l21.63.2kNm

MZ1P210.80.8kNm

都在梁固定端,截面上1、2两点是危险点

MyMZ14.82MPa（1点为拉应力,2点为压应力）WyWZ

梁的最大挠度在自由端,其值为

P2（3l）3P2（2l）2

3EI2EI

l5P2l3

248EI

1.5mm

所以最大挠度为

max

P1l

39mm

3EI

f2z39.03mm

如果截面为圆形:

WyWZD3

yZ32

max

10.3试分别求出图

MymaxMZmax

15.3MPa（发生在固定端截面上）

10.8示不等截面及等截面杆内的最大正应力,并作比较（图中尺寸

单位为mm）。

[解]（a）

轴力N=P=350kN

MPe3500.0514.5kNm

50PP

max

11.67MPa

12A

b2hA

（b）NP8.75MPa.AA

10.4一伞形水塔,受力如图10.9,其中P为满水时的重力,Q为地震时引起的水平载荷

立柱的外径D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的许用应力[σ]=8MPa，试校核其强度。

由Q引起的正应力

max

PMmax

[解]水塔为压弯组合编形

max

Mmax

（最大值在固定端）

180010330010340

D32

1Dd4

17.068MPa

所以,不满足强度条件.

10.5起重机受力如图10.10,P1=3OkN,P2=22OkN,P3=6OkN,

它们的作用线离立柱中心线的距离分别为

1.Om,1.2m和1.6m,如立柱为实心钢柱,

材料许用应力[σ]=16OMPa,试设计其底部A--A处的直径。

[解]该杆为压弯组合变形

设底部A-A处直径D，柱底部所受的压应力有两部分

P1P2P3

3022060）103

394.9103

柱底部最大弯矩

MmaxP1l1P2l2P3l3468kNm

由此弯矩产生的最大压力

Mmax468103324769.43

23310

2Wd3d3

柱底部所受的压应力12160MPa

由于21,若只考虑弯矩的作用解得

d=31cm

取d=40cm

10.6上题中,若立柱为空心钢管,内外径之比d/D=0.9,试设计A-A处的直径。

[解]此题为压弯组合变形，将立柱在A-A处截开，合压力

FP1P2P33022060310kN

底部面积

D2d2）

0.15D

弯矩

3214）

D（10.94）0.3439D

3232

FMZ

AWZ

F232MZ30.15D20.3439D3

[]16.103

解得

MZP110P21.2P31.630102201.2601.6468kNm

D43cm,d0.9D38cm

可取D45cm,d38cm

10.7三角形构架ABC,受力如图10.11

。

水平杆AB由18号工字钢制成

试求AB

杆的最大应力。

如产生力

图10.11

P的小车能在AB杆上移动,则又如何?

[解]AB杆产生压缩与弯曲组合变形

NBC

P1.5

21.5sin300

150kN

荷载移动到中点时弯矩最大,其值为MmaxNBCsin3001.5125kNm

MDN

cmaxD717.92MPa（截面的上边缘为压应力）

WZA

10.8上题中,若工字钢材料的许用应力[σ]=10O0MPa,试选择AB杆的截面尺寸。

[解]接上题cmaxNDMD,WZMD125cm3

cmaxAWZZ

选16号普通工字钢,WZ141cm3,A26.1cm2

强度校核:

cmax936.3MPa<

即选16号普通工字钢,WZ141cm3,A26.1cm2.

10.9图10.12示钻床,受力P=15kN,铸铁立柱的许用应力[σ]=35MPa,试计算立柱所需的直径d。

图10.12

[解]为拉弯组合变形,只考虑弯矩的作用解得

tmax

0.17103m3

3或32d

0.17103

解得

d12cm

取d=14cm

代入验算:

tmaxPMmax28.95MPa35MPaAWz

10.10砖砌烟囱,高H=30m,自重Q=200OkN,受水平风力q=2kN/m作用,如图10.13所示。

如烟囱底部截面的外径D=3m时,内径d=2m,求烟囱底部截面上的最大压应力。

图10.13

[解]由自重引起的压应力大小为

0.509MPaA

烟囱底部截面上的弯距大小为

max

12ql2

9.0105Nm

maxAW0.92MPa

10.11如图10.14所示某厂房柱子,受到吊车竖直轮压力P=22OKN,屋架传给柱顶的水平力Q=8KN,以及风载荷q=1kN/m的作用,P力的作用线离底部柱的中心线的距离e=0.4m,柱子底部截面尺寸为1m×0.3m,试计算柱底部的危险点的应力。

图10.14

[解]分析知,危险截面在底部,危险点在右侧边缘.力的作用分为三部分,P的作用PeP

1c（）（右侧边缘受压）

1cWA

Q作用下：

（右侧边缘受拉）

在均布荷载的作用：

qll/2

（右侧边缘受压）

危险点的应力为：

max

10.11如图10.15,功率N=8.8kW的电动机轴以转速n=80Or/min旋转着,胶带传动轮的直径D=250mm,胶带轮重力G=70ON。

轴可看成长度L=120mm的悬臂梁,其许用应力

[σ]=100MPa。

试按最大切应力理论求直径d。

图10.15

[解]转子在水轮机部分产生的外力偶矩Nk3

Mn9.55k0.105103Nm

2TT2Mn

可解得:

T=840N

轴所受荷载分解x,y两个方向,其值为

pyG3Tsin452481.64N

py3Tcos4501781.64N

二者合力

ppx2py27y31.80.50k2NN

危险载的处最大弯矩

MmaxpL0.366kNm

由些弯矩产生的最大正压力

max

轴产生弯扭变形,由扭矩M产生的最大切应力

max

2max42max

maxmax

用最大切应力理论

代入后得

M2Mt2

[]

可解得d=157mm.

10.21如图10.16,电动机带动一胶带轮轴,轴直径d=40mrn,胶带轮直径D=30Omm,轮

重G=6OON。

若电动机功率N=14KW,转速n=980r/min,胶带紧边与松边拉力之比T/t=2,

轴的[σ]=12OMPa。

试按最大切应力理论校核轴的强度。

图10.16

[解]电动机所产生的扭距为

Mn9.55Nk136.43N·mn

=（T-t）D/2

令拉紧边拉力T,则松边拉力t=T/2,于是可解得

T=1819N,t=909N

危险截面处最大弯距

max

1PL

118199096000.8665.6Nm

max

105.98MPa

最大扭转切应力

maxMn52.99MPa,

maxWp

代入第三强度理论公式得

242149.88MPa120MPa

不符合要求.

10.22卷扬机轴为圆形截面,直径d=30mm,其它尺寸如图10.17示。

许用应力[σ]=80MPa,试求最大许可起重载荷P。

[解]支反力RARBP/2设C点在轴与轮交点处,外力距

TATR

TCPD/2

图10.17

轴跨中为危险截面

Mmaxpl0.2p

MtTCPD/20.09P

max

轴产生弯扭变形,由扭矩M产生的最大切应力

max

WP2WZ

根据第三强度理论可得

图10.18

24280MPa

将数值代入可得,P≤945.5N

10.23一起重螺旋的载荷和尺寸如图10.18所示。

己知起重载荷W=40×103N,载荷的偏心距e=5mm。

若起重时推力P=32ON,力臂l=500mm,起重最大高度h=30Omm,螺纹根部直径d=40mm,螺杆的[σ]=10OMPa,试用最大切应力理论校螺杆强度。

提示:

校核时不计螺纹影响,螺杆可近似看作d=40mm的等截面圆杆。

[解]螺杆弯、压、扭组合变形,危险截面处的弯距

MmaxWe200Nm

MmaxW'

max31.7931.8563.64MPa（压力）

危险截面处的扭距

MnPl160Nm

maxn12.73MPa

maxWp

用最大扭转切应力理论进行校核:

24268.54MPa<100MPa

满足要求.

10.24图10.19示钢制圈轴上有两个齿轮,齿轮C上作用着铅直切线力P1=5kN,齿轮D上作用着水平切线力P2=lOkN。

若[σ]=100MPa,齿轮C直径dc=30Omm,齿轮D直径dD=150mm。

试用第四强度理论求轴的直径。

图10.19

[解]支座反力RBP1150,RA

600

P1450

600

由第四强度理论

M20.75M

上式中的MnP1dc0.75kNm

Mymax1.125kNm

MZ0.19kNm,M1.14kNm

100106

d31.1420.750.75213.1210632

解得

d51.1mm

10.25如图10.20所示电动机功率N=6kW,转速n=1430r/min,胶带水平张力T=1kN,

电动机轴和电枢重G=94N,单边磁拉力Pb=60ON（铅直平面）,轴材料为30号

钢,[σ]=74MPa。

试按第三强度理论校核轴的强度。

[解]计算简图如10.21示,由分析得,外力矩

T9.55Nk9.5561040Nm

n1430

剪应力为：

T40D3/164016/3.140.02839.26MPaWp

C截面有：

M5732326.5MPa

Wz3.140.0283

按第三强度理论

图10.21

24226.4249.3232.25MPa74MPa

10.26有一术质拉杆如图10.22所示,截面原为边长a的正方形,拉力P与杆轴重合。

后因使用上的需要,在杆的某一段范围内开

a/2宽的切口。

试求m-m截面上的最大拉应

力。

这个最大拉应力是截面削弱以前的拉应力值的几倍。

图10.22

[解]未削弱之前,拉应力为

Aa2

削弱之后竖向下力P产生的弯矩

Pa4

由P引起的拉应力

由弯矩引起的最大拉应力

''M

46P

22a2a2

所以

max

max8（倍）

10.27受拉构件形状如图10.23所示,已知截面尺才为40mm×5mm,通过轴线的拉力

P=12kN。

现拉杆开有切口,如不计应力集中影响,当材料的[σ]=10OMPa时,试确定切口的容

许最大深度,并绘出切口截面的应力变化图。

图10.23

[解]设槽深为x

tmax

A'WZ

MPx/2

A'（hx）b

WZ（hx）2

由得x5.2103m

10.28一圆截面直杆受偏心拉力作用,其偏心距e=20mm,杆的直径为70mm,容许拉

应力[σ]=120MPa,试求此杆容许承受的偏心拉力。

[解]分析有

PeP

即：

P0.023P2120106

1/320.0731/40.072

计算可得偏心拉力为：

P=140.5kN.

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