选修三四中的模块分析数学史和矩阵与变换Word文件下载.docx

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王尚志：

我们希望能够讲三等分角不可能的问题，在数学发展的过程当中，在很长的阶段是想证明这个问题。

说“不”的时候，往往会使数学产生一个突变，比如说三等分角问题，是要证明其不可能性。

这种思想，因为你要说这边不行，不能说我做不出来，或者是现在没有人做的出来，你要说明今后无论什么人都做不出来，这样的思想方法是很重要的。

另外一些说“不行”的就是黎曼等人对第五公设的否定，拉格朗日提出一元五次方程没有求根公式，但是很遗憾，他没有解决，但是他希望别人去解决，这些都促使数学发生了质的飞跃。

所以我觉得，我们不应该仅仅从知识和技能的层面来认识这些内容，我想应该把它看的更开阔一些。

主持人：

通过两位老师的介绍，我们对选修三的价值的定位有一个初步了解，我们实验区的很多学校，比如说北京，很多学校在以前，也有很多老师都开过数学史这样的内容，所以我们想以数学史为突破，或者为一个麻雀，来解剖选三的内容应该怎么去对待，我们特别想听一听苏州五中的罗强校长，是如何处理这些内容，开设这方面课程的。

罗强：

在新课程之前，实际上我们也在把数学史融入到日常教学当中。

新课程把数学史作为选修三的一个专题，是促进我们数学教师关注数学史的一种方式，也促使教师把数学史更好的融入到教学当中，促进学生的数学的学习，帮助数学教师的教学，我自己在教学中和很多老师一样，采用最重要的一个策略，就是把数学史融入到目前的教学当中。

关于这一点，实际上我们的很多的老师都积累了很多的经验，我跟刘华老师也做了一个探讨，我们觉得：

一个就是以人物为线索，把重要的数学成果，通过人物向学生展示这是一个重要的方法；

第二个是以数学发展的历程为线索，向学生展示数学的产生、发展的一个必要性；

第三个直接从数学史中提取并创设我们课堂教学的情景。

关于这一点，和刘华来对话。

让我们大家来看一看，罗强校长和和刘华老师关于数学史教学的一个对话。

刚才我们看到了，两位老师怎样结合课堂教学的内容，融入数学史的教学给我们做了直观的说明，我想两位老师对这种做法有怎么样的结论？

我觉得这种做法非常好。

数学史在高中作为一个选课存在，老师可以运用自己的智慧，采取各种各样的处理方式，发挥数学史课程的文化作用。

关于数学史如何融入课程，我听过很多老师的课，比如对解析几何有两种讲法：

一种是结合解析几何初步，花一节课的时间，讲一下解析几何概况，介绍一下解析几何产生的背景，以及解析几何对于数学的影响，再结合高中的内容，如研究函数、三角函数时，我们运用解析几何的思想将会给我们带来什么样的好处，然后再分析，在这件事情上，作出划时代贡献的，有笛卡尔和费尔玛等。

（插入笛卡尔的照片和生卒年月的介绍）。

接着着重介绍笛卡尔，作为一个数学家，更重要的作为一个科学家，作为一个思想家，在科学发展的历程中，所作出的不可磨灭的贡献。

这是我们数学工作者的光荣，当老师向学生讲授这些东西的时候，学生的感觉是不一样的。

激发学生的学习兴趣，学习自信，总要有一点精神的力量，那么这些内容就起到了这样一个作用。

有的老师把这样一个报告放在解析几何初步之后，我觉得也很精彩。

讲到微积分的时候，或者是导数及其应用的时候，老师会用一、两节课讲微积分的产生及牛顿、莱布尼兹的伟大功绩。

（插入两人的照片和生卒年月的介绍）。

我们把数学史的一些辉煌的成就和一些感人的事例，以一种精神的力量融入到我们的教学中，会使我们的数学课变得非常的丰富，所以我觉得他们的设计，是很值得提倡的。

当然并不拘泥于一种唯一的形式，我们还可以开发其他的方式。

有的老师把它作为一个专门的选题，安排18个课时，把这18个课时，分布在三年的课程，结合具体的内容来讲授数学史。

作为数学史，按照李文林老师的说法，有三种不同的研究定位，一种是为了历史的数学史，一种是为了数学的数学史，学数学和研究数学的人能够从数学史中，继承传统的思想，发现新问题，突破问题；

第三种是为了教育的数学史，我们选修三的数学史，就是在第三层定位上。

这件事情只是开始，还需要我们全体老师进行创作。

关于数学史的开设，我们期待着我们的老师，能够创造出更多更好的教学模式，教学顺序，以及教学方式。

开设数学史的形式可以多种多样，特别是可以根据不同的内容。

有的专题内容比较丰富，如微积分的发展史；

有的专题内容非常具体，可以就是几分钟的介绍，比如说对数的出现，对数在当时运算上起了一个非常大的作用，使得学生对他所学的东西要知道为什么要学这个东西？

对它有兴趣，或者知道它的背景，不是单纯的去算那个。

中学学的知识，不是研究历史，主要是想让学生知道为什么要学？

我们从小学一年级到高中毕业12年，为什么要学。

一个是对我们自己的提高，另外要看看数学发展的背景，从教育的角度上，我们设了这些专题。

3月18号美国总统数学顾问委员会，给美国提交了一份报告，他们认为数学是一个中心的学习领域，它叫做（centryareaoflearninginthemilldleschool），所以就是说我们数学承担的任务，对于将来的普通劳动者是非常重要的。

对于高层次的人才同样是非常重要的，不仅于此，它作为一种文化熏陶人们的素质同样是非常重要的，所以我们应该更好的来认识数学，认识数学在我们当今社会中所发挥的作用。

比如，在某些地方可以帮助学生了解二十世纪中期和现在的变化，数学最突出的成就是应用，它几乎渗透到了每一个科学技术的领域，也渗透到了人文社会科学的许多领域，发挥着重大的作用，在文字学的研究，语言学的研究，经济学、金融学等诸多方面发挥着不可替代的作用。

这样的一种认识，会激励我们的学生学好数学，将来不一定要做数学家，但是会为他将来提供帮助。

总统顾问委员会的报告里也提到到这样的话，学数学帮助你打开大门，增加机会，提高收入。

关于数学，为什么要学数学，我们老说数学非常有用，跟学生老这么讲，你也可以讲它非常的好的数学应用课，从太阳系的发现到CT扫描，学生听了可能也很激动，但是回来一做题，又觉得这个数学枯燥无味。

这当然是教育上面的一些问题，我们现在强调数学建模及应用，数学的作用还不仅仅在于此，我觉得数学最重要的是培养人的思维能力。

我们经常说打基础，到了大学还是打基础，打基础就没完没了。

有些科学家，他也用到数学，但是每个人用的数学都是很有限的。

这就让我们思考，学数学做什么？

从古希腊开始的所有的几何结论（如三角形的三条高交于一点）都是靠大量的实验得出的。

但是后来人们发现，这个结果可以用另外一个结果套，能靠人的思维把它推出来。

人们发现，人的思维，人的理性有这么大的一个力量。

人的思维方式，在生活中也起着越来越重要的作用，包括提高收入，考虑问题，解决问题。

我们要让学生知道，现在学这些东西，是在培养这种能力，对我今后的一生的工作是有很大的作用，而不仅仅是学习知识。

两位老师都强调了数学和数学史的作用和价值，刚才罗校长提到了第一策略，就是融入课堂的这个策略，您还有哪些关于数学史的教学策略。

能不能给我们介绍一下。

罗强校长：

第二个策略可以帮助拓展学生的视野，这里面也有很多的工作可以做，比如说我自己在教学中就提供一些阅读材料，比如有意义的故事或者是趣闻，或者数学的应用，可以贴在教室后面的墙上，供学生用，或者老师提供一些网址、网页让学生查阅资料，这也是很好的学习数学的方式，还有一种，实际上就是我们刚才说的化整为零，进行数学史的教学，还有一种我觉得就是就把选修三的数学史跟学生进行一个整体、系统的介绍，这也是一个可行的办法，我自己在教学中尝试了一下。

特别是古代数学史，在我们苏教版的数学史中间是三节内容，我用了三节课整体进行了一个课堂教学设计。

罗校长：

这个设计的初步想法是什么呢？

就是说古代数学史史实非常的好玩儿，资料也非常的多，很普通的上法就是变成一个历史课，向学生展示很多很多的史实，很多的人物，很多的成果。

但我想应该以数学问题引领我们的教学，所以在这个内容的教学中间，提出一个引领整个三节教学内容的问题，关于这个具体的内容，来看一个东西。

我们大家一起来看，罗强老师为我们提供一个教学设计。

从这个教学设计中，我们看到了罗强老师提出了一个非常有震撼的问题，你怎么找到这个问题，为什么找这个问题，李约瑟的猜想是怎么评价的？

这个问题实际上也是我自己在备课的过程中思考的。

要开展这节课，调动学生的学习的兴趣及培养学生的理性精神，我结合自己以往的阅读，和对这个问题的思考，发现这个问题是可以引入到这堂课的教学中，结合自己以往对这个问题的了解和思考，和学生探讨和交流。

这样的课非常的好，要培养学生的理性精神，要讲道理，就要怀疑，不能迷信过去教条，对问题都要问一个为什么？

问题是开放式的，并不见得有唯一的答案。

对于数学史这样的问题，让学生有一些不同的看法，不同的争论，这才是真正的学习，而不是去背结论，背教条，像背历史书那样。

这节课把这样的一个问题引用到教学，对学生的思维能力有一定的作用。

一定不能把数学史讲成几条数学结论。

罗强校长的设计有创新，引导我们中国学生对我们的数学历史有一个思考。

这个问题提的非常好，这不是只有大家才能思考的问题，我们每一个公民都应该思考这个问题，我们中国为什么科学技术落后？

那到底是什么原因，甚至我们可以拷问我们自己，是不是应该为中国的科学技术进步做点什么？

我们现在的学生不能只看到上北大、清华，如果只看到上北大、清华，或者是出国，那我们的这个国家的发展会受到制约。

我们的学生应该有更多的想法，应该有一种精神。

罗老师选的这样的一个切入点，是一种震撼。

我们希望老师能够结合自己的情况有一些开放的想法。

比如，19世纪数学起什么作用，我们现在对19世纪所谓抽象化、形式化有什么样的反思，这样的思考，都有可能引领史料，作为为教育服务的一个切入点。

利用数学史提高教师自身的素质和改善日常教学是非常重要的比如在日常教学和考试中关注恒等变形。

回顾一下方程发展的历史，我们就会体会到，这种恒等变形，是一种盲目的技巧，意义不大。

我们的老师，积累的东西应该多一些，思路应该开阔一些，应该多知道一些。

这样的话，在同一节课里，你留给学生的将是系统、清晰的知识，即使是讲解细节的知识，学生听起来也会清晰、易懂。

原因在哪？

看你对数学的理解的深度。

我们希望老师，发挥我们自身的聪明才智，为学生的发展提供更多更开阔的思维。

这对于我们的学生尤其对中国的发展将会起到一些积极的作用。

我们常说三维目标，包括对学生的德育的发展，情感、态度、价值观。

很多老师在设计数学课的时候，常常在一节课上做了所谓的穿靴戴帽，比如说辩证唯物主义。

我们数学史的教学中，又很多很好的素材可以进行这方面的教育。

对于国家发展的关注，对于真理的追求，包括非欧几何的诞生，很年轻的数学家在投入过程中怎么样面对困难。

我们不需要特意的把这些东西硕出来，让学生在这个过程中去体验数学、文化的震撼。

我们也特别体会到怎么像数学家那样思考问题，这对于培养我们学生的问题意识也非常大的价值。

从数学史中，我们找到了数学和数学的德育教育一个非常好的结合点。

这一点，也是从罗校长的设计中学到东西。

作为选三，除了数学史之外还有一些其他的内容，我们介绍了它的数学文化的价值，开拓视野的价值。

现在老师们在选三的教学过程中，好多内容自己过去没有学过，对于一线教师怎么解决好这样的问题，应该用什么样的心态对待选三的教学，是不是给我们老师提出一些建议。

我想关于选三，从宏观上看内容比较大，如对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，涉及到拓扑学等高等几何的知识，涉及到比较多的思想。

我们还是要讲具体的东西，让学生能够接受，在讲对称性一定不是讲抽象的群的概念，是要讲图形的一些对称性，对称的变换，通过这样来理解对称的性质。

同样对于拓扑、欧拉公式这样抽象的东西，要通过很具体的东西来让学生认识这样内容蕴含的思想。

另外如球面几何，这跟传统几何非常不一样，有很多不一样的性质。

但和我们的实际生活、空间联系十分紧密，通过一些问题使得我们对事物有些不同的思考。

比如过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，那么这个结论在球面几何中成立吗？

一些表面看来是真理的东西，在不同的环境下不一定成立。

这些数学史的内容更注重开拓学生的一些思想。

从这样的角度来认识数学史，但又不是抽象、很悬地去讲这个问题，我们要通过一些具体、直观、实际的例子，使数学史的教学现得简单、通俗易懂，同时也促进学生的思考。

张老师说得非常对，选修三的数学内容是比较宏观的，但需要载体。

我们通过一个载体使学生有一个新的认识。

如对称与群，要开拓学生对运算的认识。

学生学过传统的数学运算，多项式运算，后来又学习了指数运算，对数运算，三角运算，复数运算，和导数，积分等等，这些都是运算的载体。

为了解决一些问题，还需要从另一个角度去理解运算、矩阵、变换，向量，这些都会使我们对运算有一个新的认识。

另外运算最本质的东西是什么？

最基本的法则是什么呢？

因此，我们把对称与群作为一个内容，来开拓学生这方面的视野，而依托的载体，就是几何图形。

通过载体来加深学生对运算的一个理解。

如欧拉公式与闭曲面分类，一个球戳一个洞和一个蜂窝煤，能不能通过连续变换获得，就像相机一样，做不到位似的。

我们通过这个引发学生对一些图形内在的关系的思考，用这样一个角度去思考问题，对于学生将来的发展很重要。

在新课程推进的过程中，我们看到了一个非常非常可喜的现象，很多的学校开设了大量的校本课程，校本课程远远丰富于我们现在所学的。

比如洛河中学，就开设了100多个学科，内容非常丰富。

这不仅仅开阔了学生的视野，而且也张扬了我们教师和学生的个性。

现在我们中学老师的学位层次也很高，学位背景越来越好，我们是把他们拉回来还是发挥他们的作用，让我们的学生有一个更开阔的视野，我希望我们学校的领导冷静的思考这些事情，我们不要把高考划一个圈，我们就在这个圈里运作，这对于中国的发展是非常非常危险的一件事情，所以我想开设选修课，开设校本课程，都是帮助我们中国，或者是为了我们中国可持续发展的非常重要的举措。

当然我们应该从一门一门的课做起，把一门一门课开好，像罗校长一样能够有所创新。

我们的创作最大的受益者是我们的学生，所以我们期待着我们新投入新课程实验的老师，能够开发出更多更好的好的案例来，我们大家一起来分享。

王老师给我们这节课做了很好的总结。

选修三的开设，对我们每一个老师都是挑战，罗强老师他们学校的很多老师都投入了这项工作，并有了很好的探索，给我们提供了很好的课例，我相信在座参加研修的老师也会有这样的经验，也会有很多很好的案例希望跟我们更多的老师交流。

下一节课，我们将讨论选修四模块中的梗概，并以矩阵和变换为例，展开探讨。

欢迎老师们在下节课，继续和我们讨论这些问题，欢迎大家的参与，这节课我们就上到这。

第二讲

各位老师大家好！

欢迎大家继续参加高中数学新课程，国家级远程培训，上一节课，我们就选修三中的数学史进行分析，在这节课我们将就选修四的模块进行简要的分析，并选择其中的矩阵和变换做一点具体的分析。

那好我们首先来介绍今天我们到场的几位嘉宾，我身边这位是首都师范大学的张饴慈教授（加入字幕：

首都师范大学教授张饴慈），这边这位是北京海淀区第十九中学的檀晋轩老师，（加入字幕：

北京19中市青年骨干教师檀晋轩）那边那位是北京市八一中学的邵文武老师（加入字幕：

北京八一中学市青年骨干教师邵文武）他们都是我们海淀区的骨干教师，也是海淀区的学科带头人，今天我们欢迎大家来参加我们这个研讨，首先我们想请老师，为我们介绍一下选修四的内容。

选修四的这部分内容，是根据课程总体的选课进度要求来设计的。

这部分的内容按课程标准来说是要求进入高考，也就是说学生要选择这一两个专题来进行高考，不同的学生可能选择不同的专题内容进行高考。

那么根据我们当时的标准设计，这里有几部分内容：

一部分是过去高中课程里有的内容，现在把它放到了选修四。

比如不等式选讲，坐标与参数方程，还有关于几何证明选讲，这是原来中学的一些内容，对于这些中学老师都比较熟悉。

还有一部分是比较贴近实际生活中的数学应用的，比如说像华先生最早提倡的优选法和统筹，所以选修四有优选法与试验涉及初步，统筹法与图论初步。

还有一些现在用的比较多的，风险与决策。

还有一些属于数学基本概念的，当然也有一些既是基本概念又有应用的，如开关电路与布尔代数。

还有一些属于数学上很基本的一些概念，比如说数列与差列，实际上它讲的就是我们高中里面比较熟悉的递推公式，但是我们把它换一个层次来讲；

还有就是矩阵与变换。

关于这些内容，标准是这样定位的，选修四同样是基础，还是中学生应该掌握的。

掌握很基本的一些数学概念，而且希望我们的课程一定是中学生能够接受的。

张老师做了一个初步的介绍，那么我们也想老师关心最多的一个问题，如矩阵与变换是大学里面线性代数的课程。

现在课程标准把它安排在中学，那么是否可行性，或者您认为什么样的定位能保证中学生的接受？

我们现在对于矩阵和变换的处理方法，突出它的变换的背景。

实际上矩阵与变换在大学里面，从解方程组开始讲的，这涉及到代数运算、性质等。

那么为了让中学能够接受，我们就采用几何的背景，用矩阵表示一个变换。

我们把矩阵维数限制在2维，方便又利于学生所掌握的知识，这样的处理方式还是能够解决当前老师所担心的问题的。

张老师为我们把选修四目标定位、内容做了一个初步介绍，我们特别想就一个具体的内容，如矩阵与变换，听一听两位中学的骨干教师，对这部分内容的分析。

这两位老师，对这部分内容一直有比较清晰的认识和深入的研究，也参与了一些相关教材的编写工作。

我们特别想请两位老师帮我们介绍一下矩阵和变换的定位，给我们做一个基本的分析。

邵文武：

矩阵的学习，在代数的学习中有举足轻重的地位，因为从现在的大学课程来看，无论是工科的学生，还是理科的学生都要学习线性代数的知识，特别在一些大学里面，文科院系也开设了高等数学，线性代数也是其中一个主要的学习内容之一。

有相当一部分学生进入大学以后都要接触线性代数。

矩阵是线性代数核心、基本的概念，从这个角度，新课程把矩阵的变换引入了高中的课程。

矩阵作为非常抽象的数学对象之一，如果学生能够了解清楚，再继续学习其他的数学知识。

之后，矩阵又以一个具体的例子出现。

矩阵就显示出其基础性和广泛应用性。

所以我想这是专家考虑选择矩阵的主要原因之一。

檀晋轩：

新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识。

但是作为中学来进行矩阵教学，必然和大学教学是不同的。

在大学，矩阵主要是作为一种抽象的对象，重点研究它的运算性质。

在高中阶段，矩阵的学习限制在二阶方阵。

二阶方阵与平面向量的乘法有着非常明显的几何意义和背景，所以我想在高中阶段开设矩阵应该更加突出几何的意义和背景。

从这个角度，加深学生对于矩阵运算的一些性质的理解。

这门课在高中开设，肯定跟在大学开设肯定是不同的。

我们开设这门课，归根到底是讲矩阵，把矩阵作为数学对象来进行研究。

但是矩阵非常抽象，对高中生的知识和接受能力，有一定的挑战。

所以我们讲矩阵，要改变一些角度，从变换这个角度去讲，突出其几何背景。

通过几何背景，使学生对矩阵的认识更直观、形象。

这门课和其他的几何课是有区别的，比如说解析几何，我们实际是用代数的方法来研究几何；

而矩阵与变换，是借助几何的背景来研究代数的知识。

矩阵作为一种新的对象，对于高中生来讲，很多方面会感到困惑。

如矩阵的运算定律是非常新颖的一种形式，对于这样一种运算，它有很多独特的运用。

运算对象所对应的运算性质也发生了很多的变化，如乘法不交换性等等。

这些内容是学生比较陌生的，会有一些困惑。

在矩阵作为变换的角度来讲，它涉及到很多不变的性质，如矩阵的特征向量，特征根等等概念上，学生对于这些概念的理解以及相关的掌握有非常大的困难，不知道邵老师对这些难点有什么样的想法？

檀老师刚提到矩阵的学习有很多的难点，处理的方式主要是分散难点，以便学生容易接受。

如我们在多种场合对同一个知识点进行渗透，或者给一些铺垫，这样学生接受起来就比较容易了。

或者在最开始研究几何变换的时候，就可以给出特殊向量一些简单的例子，让学生从感性上加以认识，但是这个时候可以不给出具体的定义。

在研究反射变换、伸缩变换等一些具体的变换中，提出一些相关的问题，使学生通过运算，初步感受一下这些不变的性质，或者是把它们作为一些特殊的例题来进行处理，这样我想都能够比较容易的把这些难点进行解决。

当然以后还可以再通过一些大量的感性认识，引导学生进行思维开阔，这样讲起来可能顺一些。

刚檀老师谈到，特殊向量怎么用？

我们可以先讲应用，如特殊向量讲完以后，它有哪些性质，在运算的过程中，我们可以简化很多的运算，让学生从这个角度去理解这个东西。

之后反过来讲其他的东西，如怎么求特殊向量，这样学生可以更轻松一点，实际的操作更容易一些。

在介绍运算的过程中，对于大量的复杂性的运算，我们还可以进一步采用相关的计算工具，使学生更深入的观察和研究运算的性质和运算的本质特征。

如利用手持计算器、EXCEL等等的一些计算工具，来解决复杂的运算问题，这样使学生比较快速的集中注意力去研究相关的一些性质。

课标对于这部分内容要求突出信息技术，通过信息技术把矩阵和变换的课变得更形象一些，使学生们理解更容易。

矩阵这部分内容对于初中毕业的学生就可以进行开设了，从本质上来讲高一的学生是可以接受这部分内容的。

但是要在高一开设这个专题，会涉及到很多的向量的相关知识，学生还没有讲到。

因此在开这个课之前，需要花一些时间，弥补学生对于向量相关知识的一些空白，不如放到高二年级讲，学生可能会更容易接受，学起来更轻松。

首先这个课如果放到高二讲，从课时上来讲是比较充裕的。

再则，学生经过高中一年的学习，学习能力和接受的能力都有一定的提高。

在高二开设这个课，还可以帮助学生，从另外一个角度帮助理解斜垂的概念，把机卷看成一种映射，是平面上一个点到另一个点的映射，这样可以让学生理解什么叫做映射，映射不仅是数到数的映射，还有几何到几何的映射。

如反函数，新课标对反函数的要求并不高。

但通过矩阵变换和相关具体例子，加深理解这个概念。

矩阵作为一个新课程的新加内容，但在高中并不是第一次出现，如微积分、概率统计，这些课程以前的教学中都有，后来可