选修三四中的模块分析数学史和矩阵与变换Word文件下载.docx

1、王尚志：我们希望能够讲三等分角不可能的问题，在数学发展的过程当中，在很长的阶段是想证明这个问题。说“不”的时候，往往会使数学产生一个突变，比如说三等分角问题，是要证明其不可能性。这种思想，因为你要说这边不行，不能说我做不出来，或者是现在没有人做的出来，你要说明今后无论什么人都做不出来，这样的思想方法是很重要的。另外一些说“不行”的就是黎曼等人对第五公设的否定，拉格朗日提出一元五次方程没有求根公式，但是很遗憾，他没有解决，但是他希望别人去解决，这些都促使数学发生了质的飞跃。所以我觉得，我们不应该仅仅从知识和技能的层面来认识这些内容，我想应该把它看的更开阔一些。主持人：通过两位老师的介绍，我们对选

2、修三的价值的定位有一个初步了解，我们实验区的很多学校，比如说北京，很多学校在以前，也有很多老师都开过数学史这样的内容，所以我们想以数学史为突破，或者为一个麻雀，来解剖选三的内容应该怎么去对待，我们特别想听一听苏州五中的罗强校长，是如何处理这些内容，开设这方面课程的。罗强：在新课程之前，实际上我们也在把数学史融入到日常教学当中。新课程把数学史作为选修三的一个专题，是促进我们数学教师关注数学史的一种方式，也促使教师把数学史更好的融入到教学当中，促进学生的数学的学习，帮助数学教师的教学，我自己在教学中 和很多老师一样，采用最重要的一个策略，就是把数学史融入到目前的教学当中。关于这一点，实际上我们的很

3、多的老师都积累了很多的经验，我跟 刘华老师也做了一个探讨，我们觉得：一个就是以人物为线索，把重要的数学成果，通过人物向学生展示这是一个重要的方法；第二个是以数学发展的历程为线索，向学生展示数学的产生、发展的一个必要性；第三个直接从数学史中提取并创设我们课堂教学的情景。关于这一点，和刘华来对话。让我们大家来看一看，罗强校长 和和刘华老师关于数学史教学的一个对话。刚才我们看到了，两位老师怎样结合课堂教学的内容，融入数学史的教学给我们做了直观的说明，我想两位老师对这种做法有怎么样的结论？我觉得这种做法非常好。数学史在高中作为一个选课存在，老师可以运用自己的智慧，采取各种各样的处理方式，发挥数学史课程

4、的文化作用。关于数学史如何融入课程，我听过很多老师的课，比如对解析几何有两种讲法：一种是结合解析几何初步，花一节课的时间，讲一下解析几何概况，介绍一下解析几何产生的背景，以及解析几何对于数学的影响，再结合高中的内容，如研究函数、三角函数时，我们运用解析几何的思想将会给我们带来什么样的好处，然后再分析，在这件事情上，作出划时代贡献的，有笛卡尔和费尔玛等。 （插入笛卡尔的照片和生卒年月的介绍 ）。接着着重介绍笛卡尔，作为一个数学家，更重要的作为一个科学家，作为一个思想家，在科学发展的历程中，所作出的不可磨灭的贡献。这是我们数学工作者的光荣，当老师向学生讲授这些东西的时候，学生的感觉是不一样的。激发

5、学生的学习兴趣，学习自信，总要有一点精神的力量，那么这些内容就起到了这样一个作用。有的老师把这样一个报告放在解析几何初步之后，我觉得也很精彩。讲到微积分的时候，或者是导数及其应用的时候，老师会用一、两节课讲微积分的产生及牛顿、莱布尼兹的伟大功绩。 （插入两人的照片和生卒年月的介绍 ）。我们把数学史的一些辉煌的成就和一些感人的事例，以一种精神的力量融入到我们的教学中，会使我们的数学课变得非常的丰富，所以我觉得他们的设计，是很值得提倡的。当然并不拘泥于一种唯一的形式，我们还可以开发其他的方式。有的老师把它作为一个专门的选题，安排 18个课时，把这 18个课时，分布在三年的课程，结合具体的内容来讲授

6、数学史。作为数学史，按照 李文林老师的说法，有三种不同的研究定位，一种是为了历史的数学史，一种是为了数学的数学史，学数学和研究数学的人能够从数学史中，继承传统的思想，发现新问题，突破问题；第三种是为了教育的数学史，我们选修三的数学史，就是在第三层定位上。这件事情只是开始，还需要我们 全体老师进行创作。关于数学史的开设，我们期待着我们的老师，能够创造出更多更好的教学模式，教学顺序，以及教学方式。开设数学史的形式可以多种多样，特别是可以根据不同的内容。 有的专题内容比较丰富，如微积分的发展史；有的专题内容非常具体，可以就是几分钟的介绍，比如说对数的出现，对数在当时运算上起了一个非常大的作用，使得学

7、生对他所学的东西要知道为什么要学这个东西？对它有兴趣，或者知道它的背景，不是单纯的去算那个。中学学的知识，不是研究历史，主要是想让学生知道为什么要学？我们从小学一年级到高中毕业 12年，为什么要学。一个是对我们自己的提高，另外要看看数学发展的背景，从教育的角度上，我们设了这些专题。 3月 18号美国总统数学顾问委员会，给美国提交了一份报告，他们认为数学是一个中心的学习领域，它叫做（ centry area of learning in the milldle school ），所以就是说我们数学承担的任务，对于将来的普通劳动者是非常重要的。对于高层次的人才同样是非常重要的，不仅于此，它作为一种

8、文化熏陶人们的素质同样是非常重要的，所以我们应该更好的来认识数学，认识数学在我们当今社会中所发挥的作用。比如，在某些地方可以帮助学生了解二十世纪中期和现在的变化，数学最突出的成就是应用，它几乎渗透到了每一个科学技术的领域，也渗透到了人文社会科学的许多领域，发挥着重大的作用，在文字学的研究，语言学的研究，经济学、金融学等诸多方面发挥着不可替代的作用。这样的一种认识，会激励我们的学生学好数学，将来不一定要做数学家，但是会为他将来提供帮助。总统顾问委员会的报告里也提到到这样的话，学数学帮助你打开大门，增加机会，提高收入。关于数学，为什么要学数学，我们老说数学非常有用，跟学生老这么讲，你也可以讲它非常

9、的好的数学应用课，从太阳系的发现到 CT扫描，学生听了可能也很激动，但是回来一做题，又觉得这个数学枯燥无味。这当然是教育上面的一些问题，我们现在强调数学建模及应用，数学的作用还不仅仅在于此，我觉得数学最重要的是培养人的思维能力。我们经常说打基础，到了大学还是打基础，打基础就没完没了。有些科学家，他也用到数学，但是每个人用的数学都是很有限的。这就让我们思考，学数学做什么？从古希腊开始的所有的几何结论（如三角形的三条高交于一点）都是靠大量的实验得出的。但是后来人们发现，这个结果可以用另外一个结果套，能靠人的思维把它推出来。人们发现，人的思维，人的理性有这么大的一个力量。人的思维方式，在生活中也起着

10、越来越重要的作用，包括提高收入，考虑问题，解决问题。我们要让学生知道，现在学这些东西，是在培养这种能力，对我今后的一生的工作是有很大的作用，而不仅仅是学习知识。两位老师都强调了数学和数学史的作用和价值，刚才罗校长提到了第一策略，就是融入课堂的这个策略，您还有哪些关于数学史的教学策略。能不能给我们介绍一下。罗强校长：第二个策略可以帮助拓展学生的视野，这里面也有很多的工作可以做，比如说我自己在教学中就提供一些阅读材料，比如有意义的故事或者是趣闻，或者数学的应用，可以贴在教室后面的墙上，供学生用，或者老师提供一些网址、网页让学生查阅资料，这也是很好的学习数学的方式，还有一种，实际上就是我们刚才说的化

11、整为零，进行数学史的教学，还有一种我觉得就是就把选修三的数学史跟学生进行一个整体、系统的介绍，这也是一个可行的办法，我自己在教学中尝试了一下。特别是古代数学史，在我们苏教版的数学史中间是三节内容，我用了三节课整体进行了一个课堂教学设计。罗校长：这个设计的初步想法是什么呢？就是说古代数学史史实非常的好玩儿，资料也非常的多，很普通的上法就是变成一个历史课，向学生展示很多很多的史实，很多的人物，很多的成果。但我想应该以数学问题引领我们的教学，所以在这个内容的教学中间，提出一个引领整个三节教学内容的问题，关于这个具体的内容，来看一个东西。我们大家一起来看， 罗强老师为我们提供一个教学设计。从这个教学设

12、计中，我们看到了 罗强老师提出了一个非常有震撼的问题，你怎么找到这个问题，为什么找这个问题，李约瑟的猜想是怎么评价的？这个问题实际上也是我自己在备课的过程中思考的。要开展这节课，调动学生的学习的兴趣及培养学生的理性精神，我结合自己以往的阅读，和对这个问题的思考，发现这个问题是可以引入到这堂课的教学中，结合自己以往对这个问题的了解和思考，和学生探讨和交流。这样的课非常的好，要培养学生的理性精神，要讲道理，就要怀疑，不能迷信过去教条，对问题都要问一个为什么？问题是开放式的，并不见得有唯一的答案。对于数学史这样的问题，让学生有一些不同的看法，不同的争论，这才是真正的学习，而不是去背结论，背教条，像背

13、历史书那样。这节课把这样的一个问题引用到教学，对学生的思维能力有一定的作用。一定不能把数学史讲成几条数学结论。罗强校长的设计有创新，引导我们中国学生对我们的数学历史有一个思考。这个问题提的非常好，这不是只有大家才能思考的问题，我们每一个公民都应该思考这个问题，我们中国为什么科学技术落后？那到底是什么原因，甚至我们可以拷问我们自己，是不是应该为中国的科学技术进步做点什么？我们现在的学生不能只看到上北大、清华，如果只看到上北大、清华，或者是出国，那我们的这个国家的发展会受到制约。我们的学生应该有更多的想法，应该有一种精神。 罗老师选的这样的一个切入点，是一种震撼。我们希望老师能够结合自己的情况有一

14、些开放的想法。比如， 19世纪数学起什么作用，我们现在对 19世纪所谓抽象化、形式化有什么样的反思，这样的思考，都有可能引领史料，作为为教育服务的一个切入点。利用数学史提高教师自身的素质和改善日常教学是非常重要的 比如在日常教学和考试中关注恒等变形。回顾一下方程发展的历史，我们就会体会到，这种恒等变形，是一种盲目的技巧，意义不大。我们的老师，积累的东西应该多一些，思路应该开阔一些，应该多知道一些。这样的话，在同一节课里，你留给学生的将是系统、清晰的知识，即使是讲解细节的知识，学生听起来也会清晰、易懂。原因在哪？看你对数学的理解的深度。我们希望老师，发挥我们自身的聪明才智，为学生的发展提供更多更

15、开阔的思维。这对于我们的学生尤其对中国的发展将会起到一些积极的作用。我们常说三维目标，包括对学生的德育的发展，情感、态度、价值观。很多老师在设计数学课的时候，常常在一节课上做了所谓的穿靴戴帽，比如说辩证唯物主义。我们数学史的教学中，又很多很好的素材可以进行这方面的教育。对于国家发展的关注，对于真理的追求，包括非欧几何的诞生，很年轻的数学家在投入过程中怎么样面对困难。我们不需要特意的把这些东西硕出来，让学生在这个过程中去体验数学、文化的震撼。我们也特别体会到怎么像数学家那样思考问题，这对于培养我们学生的问题意识也非常大的价值。从数学史中，我们找到了数学和数学的德育教育一个非常好的结合点。这一点，

16、也是从罗校长的设计中学到东西。作为选三，除了数学史之外还有一些其他的内容，我们介绍了它的数学文化的价值，开拓视野的价值。现在老师们在选三的教学过程中，好多内容自己过去没有学过，对于一线教师怎么解决好这样的问题，应该用什么样的心态对待选三的教学，是不是给我们老师提出一些建议。我想关于选三，从宏观上看内容比较大，如对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，涉及到拓扑学等高等几何的知识，涉及到比较多的思想。我们还是要讲具体的东西，让学生能够接受，在讲对称性一定不是讲抽象的群的概念，是要讲图形的一些对称性，对称的变换，通过这样来理解对称的性质。同样对于拓扑、欧拉公式这样抽象的东西，要通过很具体的东西来让学生认识

17、这样内容蕴含的思想。另外如球面几何，这跟传统几何非常不一样，有很多不一样的性质。但和我们的实际生活、空间联系十分紧密，通过一些问题使得我们对事物有些不同的思考。比如过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，那么这个结论在球面几何中成立吗？一些表面看来是真理的东西，在不同的环境下不一定成立。这些数学史的内容更注重开拓学生的一些思想。从这样的角度来认识数学史，但又不是抽象、很悬地去讲这个问题，我们要通过一些具体、直观、实际的例子，使数学史的教学现得简单、通俗易懂，同时也促进学生的思考。 张老师说得非常对，选修三的数学内容是比较宏观的，但需要载体。我们通过一个载体使学生有一个新的认识。如对称与群

18、，要开拓学生对运算的认识。学生学过传统的数学运算，多项式运算，后来又学习了指数运算，对数运算，三角运算，复数运算，和导数，积分等等，这些都是运算的载体。为了解决一些问题，还需要从另一个角度去理解运算、矩阵、变换，向量，这些都会使我们对运算有一个新的认识。另外运算最本质的东西是什么？最基本的法则是什么呢？因此，我们把对称与群作为一个内容，来开拓学生这方面的视野，而依托的载体，就是几何图形。通过载体来加深学生对运算的一个理解。如欧拉公式与闭曲面分类，一个球戳一个洞和一个蜂窝煤，能不能通过连续变换获得，就像相机一样，做不到位似的。我们通过这个引发学生对一些图形内在的关系的思考，用这样一个角度去思考问

19、题，对于学生将来的发展很重要。在新课程推进的过程中，我们看到了一个非常非常可喜的现象，很多的学校开设了大量的校本课程，校本课程远远丰富于我们现在所学的。比如洛河中学，就开设了 100多个学科，内容非常丰富。这不仅仅开阔了学生的视野，而且也张扬了我们教师和学生的个性。现在我们中学老师的学位层次也很高，学位背景越来越好，我们是把他们拉回来还是发挥他们的作用，让我们的学生有一个更开阔的视野，我希望我们学校的领导冷静的思考这些事情，我们不要把高考划一个圈，我们就在这个圈里运作，这对于中国的发展是非常非常危险的一件事情，所以我想开设选修课，开设校本课程，都是帮助我们中国，或者是为了我们中国可持续发展的非

20、常重要的举措。当然我们应该从一门一门的课做起，把一门一门课开好，像罗校长一样能够有所创新。我们的创作最大的受益者是我们的学生，所以我们期待着我们新投入新课程实验的老师，能够开发出更多更好的好的案例来，我们大家一起来分享。 王老师给我们这节课做了很好的总结。选修三的开设，对我们每一个老师都是挑战， 罗强老师他们学校的很多老师都投入了这项工作，并有了很好的探索，给我们提供了很好的课例，我相信在座参加研修的老师也会有这样的经验，也会有很多很好的案例希望跟我们更多的老师交流。下一节课，我们将讨论选修四模块中的梗概，并以矩阵和变换为例，展开探讨。欢迎老师们在下节课，继续和我们讨论这些问题，欢迎大家的参与

21、，这节课我们就上到这。第二讲各位老师大家好！欢迎大家继续参加高中数学新课程，国家级远程培训，上一节课，我们就选修三中的数学史进行分析，在这节课我们将就选修四的模块进行简要的分析，并选择其中的矩阵和变换做一点具体的分析。那好我们首先来介绍今天我们到场的几位嘉宾，我身边这位是首都师范大学的 张饴慈教授（加入字幕：首都 师范大学教授 张饴慈），这边这位是北京海淀区第十九中学的檀晋轩老师，（加入字幕：北京 19 中 市青年骨干教师 檀晋轩）那边那位是北京市八一中学的 邵文武老师（加入字幕：北京八一中学 市青年骨干教师 邵文武）他们都是我们海淀区的骨干教师，也是海淀区的学科带头人，今天我们欢迎大家来参加

22、我们这个研讨，首先我们想请老师，为我们介绍一下选修四的内容。选修四的这部分内容，是根据课程总体的选课进度要求来设计的。这部分的内容按课程标准来说是要求进入高考，也就是说学生要选择这一两个专题来进行高考，不同的学生可能选择不同的专题内容进行高考。那么根据我们当时的标准设计，这里有几部分内容：一部分是过去高中课程里有的内容，现在把它放到了选修四。比如不等式选讲，坐标与参数方程，还有关于几何证明选讲，这是原来中学的一些内容，对于这些中学老师都比较熟悉。还有一部分是比较贴近实际生活中的数学应用的，比如说像 华先生最早提倡的优选法和统筹，所以选修四有优选法与试验涉及初步，统筹法与图论初步。还有一些现在用

23、的比较多的，风险与决策。还有一些属于数学基本概念的，当然也有一些既是基本概念又有应用的，如开关电路与布尔代数。还有一些属于数学上很基本的一些概念，比如说数列与差列，实际上它讲的就是我们高中里面比较熟悉的递推公式，但是我们把它换一个层次来讲；还有就是矩阵与变换。关于这些内容，标准是这样定位的，选修四同样是基础，还是中学生应该掌握的。掌握很基本的一些数学概念，而且希望我们的课程一定是中学生能够接受的。 张老师做了一个初步的介绍，那么我们也想老师关心最多的一个问题，如矩阵与变换是大学里面线性代数的课程。现在课程标准把它安排在中学，那么是否可行性，或者您认为什么样的定位能保证中学生的接受？我们现在对于

24、矩阵和变换的处理方法，突出它的变换的背景。实际上矩阵与变换在大学里面，从解方程组开始讲的，这涉及到代数运算、性质等。那么为了让中学能够接受，我们就采用几何的背景，用矩阵表示一个变换。我们把矩阵维数限制在 2维，方便又利于学生所掌握的知识，这样的处理方式还是能够解决当前老师所担心的问题的。 张老师为我们把选修四目标定位、内容做了一个初步介绍，我们特别想就一个具体的内容，如矩阵与变换，听一听两位中学的骨干教师，对这部分内容的分析。这两位老师，对这部分内容一直有比较清晰的认识和深入的研究，也参与了一些相关教材的编写工作。我们特别想请两位老师帮我们介绍一下矩阵和变换的定位，给我们做一个基本的分析。邵文

25、武：矩阵的学习，在代数的学习中有举足轻重的地位，因为从现在的大学课程来看，无论是工科的学生，还是理科的学生都要学习线性代数的知识，特别在一些大学里面，文科院系也开设了高等数学，线性代数也是其中一个主要的学习内容之一。有相当一部分学生进入大学以后都要接触线性代数。矩阵是线性代数核心、基本的概念，从这个角度，新课程把矩阵的变换引入了高中的课程。矩阵作为非常抽象的数学对象之一，如果学生能够了解清楚，再继续学习其他的数学知识。之后，矩阵又以一个具体的例子出现。矩阵就显示出其基础性和广泛应用性。所以我想这是专家考虑选择矩阵的主要原因之一。檀晋轩：新课程标准把矩阵作为高中的一个选修内容，进入教学，是希望通

26、过中学的选修课，使得一部分对于数学有兴趣的学生，能够尽早的了解高等数学中非常重要的一些知识。但是作为中学来进行矩阵教学，必然和大学教学是不同的。在大学，矩阵主要是作为一种抽象的对象，重点研究它的运算性质。在高中阶段，矩阵的学习限制在二阶方阵。二阶方阵与平面向量的乘法有着非常明显的几何意义和背景，所以我想在高中阶段开设矩阵应该更加突出几何的意义和背景。从这个角度，加深学生对于矩阵运算的一些性质的理解。这门课在高中开设，肯定跟在大学开设肯定是不同的。我们开设这门课，归根到底是讲矩阵，把矩阵作为数学对象来进行研究。但是矩阵非常抽象，对高中生的知识和接受能力，有一定的挑战。所以我们讲矩阵，要改变一些角

27、度，从变换这个角度去讲，突出其几何背景。通过几何背景，使学生对矩阵的认识更直观、形象。这门课和其他的几何课是有区别的，比如说解析几何，我们实际是用代数的方法来研究几何；而矩阵与变换，是借助几何的背景来研究代数的知识。矩阵作为一种新的对象，对于高中生来讲，很多方面会感到困惑。如矩阵的运算定律是非常新颖的一种形式，对于这样一种运算，它有很多独特的运用。运算对象所对应的运算性质也发生了很多的变化，如乘法不交换性等等。这些内容是学生比较陌生的，会有一些困惑。在矩阵作为变换的角度来讲，它涉及到很多不变的性质，如矩阵的特征向量，特征根等等概念上，学生对于这些概念的理解以及相关的掌握有非常大的困难，不知道

28、邵老师对这些难点有什么样的想法？檀老师刚提到矩阵的学习有很多的难点，处理的方式主要是分散难点，以便学生容易接受。如我们在多种场合对同一个知识点进行渗透，或者给一些铺垫，这样学生接受起来就比较容易了。或者在最开始研究几何变换的时候，就可以给出特殊向量一些简单的例子，让学生从感性上加以认识，但是这个时候可以不给出具体的定义。在研究反射变换、伸缩变换等一些具体的变换中，提出一些相关的问题，使学生通过运算，初步感受一下这些不变的性质，或者是把它们作为一些特殊的例题来进行处理，这样我想都能够比较容易的把这些难点进行解决。当然以后还可以再通过一些大量的感性认识，引导学生进行思维开阔，这样讲起来可能顺一些。

29、刚檀老师谈到，特殊向量怎么用？我们可以先讲应用，如特殊向量讲完以后，它有哪些性质，在运算的过程中，我们可以简化很多的运算，让学生从这个角度去理解这个东西。之后反过来讲其他的东西，如怎么求特殊向量，这样学生可以更轻松一点，实际的操作更容易一些。在介绍运算的过程中，对于大量的复杂性的运算，我们还可以进一步采用相关的计算工具，使学生更深入的观察和研究运算的性质和运算的本质特征。如利用手持计算器、 EXCEL等等的一些计算工具，来解决复杂的运算问题，这样使学生比较快速的集中注意力去研究相关的一些性质。课标对于这部分内容要求突出信息技术，通过信息技术把矩阵和变换的课变得更形象一些，使学生们理解更容易。矩

30、阵这部分内容对于初中毕业的学生就可以进行开设了，从本质上来讲高一的学生是可以接受这部分内容的。但是要在高一开设这个专题，会涉及到很多的向量的相关知识，学生还没有讲到。因此在开这个课之前，需要花一些时间，弥补学生对于向量相关知识的一些空白，不如放到高二年级讲，学生可能会更容易接受，学起来更轻松。首先这个课如果放到高二讲，从课时上来讲是比较充裕的。再则，学生经过高中一年的学习，学习能力和接受的能力都有一定的提高。在高二开设这个课，还可以帮助学生，从另外一个角度帮助理解斜垂的概念，把机卷看成一种映射，是平面上一个点到另一个点的映射，这样可以让学生理解什么叫做映射，映射不仅是数到数的映射，还有几何到几何的映射。如反函数，新课标对反函数的要求并不高。但通过矩阵变换和相关具体例子，加深理解这个概念。矩阵作为一个新课程的新加内容，但在高中并不是第一次出现，如微积分、概率统计，这些课程以前的教学中都有，后来可