高中数学必修抛物线教学讲义文档格式.docx

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5.

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线

与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0，直线

与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线

与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗（不一定）

6.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线

：

抛物线

1　联立方程法：

设交点坐标为

，则有

以及

，还可进一步求出

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a.相交弦AB的弦长

或

b.中点

2　点差法：

，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a.在涉及斜率问题时，

b.在涉及中点轨迹问题时，设线段

的中点为

即

同理，对于抛物线

，若直线

与抛物线相交于

两点，点

是弦

的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：

1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【典型例题】

考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

[解析]过点P作准线的垂线

交准线于点R，由抛物线的定义知，

，当P点为抛物线与垂线

的交点时，

取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3

1.已知抛物线

的焦点为

，点

在抛物线上，且

、

成等差数列，则有（）

A．

B．

C．

D.

［解析］C由抛物线定义，

即：

．

2.已知点

F是抛物线

的焦点,M是抛物线上的动点,当

最小时,

M点坐标是（）

A.

B.

C.

D.

[解析]设M到准线的距离为

则

，当

最小时，M点坐标是

，选C

考点2抛物线的标准方程

题型:

求抛物线的标准方程

[例2]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（-3,2）

（2）焦点在直线

上

[解析]

（1）设所求的抛物线的方程为

∵过点（-3,2）∴

∴

∴抛物线方程为

前者的准线方程是

后者的准线方程为

（2）令

得

，令

∴抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2）,当焦点为（4,0）时

，此时抛物线方程

;

焦点为（0,-2）时

.

∴所求抛物线方程为

对应的准线方程分别是

3.若抛物线

的焦点与双曲线

的右焦点重合,则

的值

[解析]

4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上；

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.

能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析]用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件.

5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且

，求此抛物线的方程

[解析]设点

是点

在准线上的射影，则

，由勾股定理知

，点A的横坐标为

，代入方程

或4，抛物线的方程

考点3抛物线的几何性质

题型：

有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3]设A、B为抛物线

上的点,且

（O为原点）,则直线AB必过的定点坐标为__________.

［解析］设直线OA方程为

由

解出A点坐标为

解出B点坐标为

，直线AB方程为

令

，直线AB必过的定点

补充：

抛物线的几个常见结论及其应用

结论一：

若AB是抛物线

的焦点弦（过焦点的弦），且

则：

。

证明：

因为焦点坐标为F（

0）,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：

由

得:

当AB⊥x轴时，直线AB方程为

，∴

，同上也有：

例：

已知直线AB是过抛物线

焦点F，求证：

为定值。

设

，由抛物线的定义知：

，又

，所以

-p，且由结论一知：

结论二：

（1）若AB是抛物线

的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

（1）设

，设直线AB:

易验证，结论对斜率不存在时也成立。

（2）由

（1）：

AB为通径时，

的值最大，

最小。

已知过抛物线

的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。

解：

由结论二，12=

（其中α为直线AB的倾斜角），

则

，所以直线AB倾斜角为

结论三：

两个相切：

（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

已知AB是抛物线

的过焦点F的弦，求证：

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：

以MN为直径的圆与直线AB相切。

（1）设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，

垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。

由抛物线定义：

∴以AB为直径为圆与准线l相切

（2）作图如

（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，

∵

，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，

∴∠AFM=∠MFO。

同理，∠BFN=∠NFO，

∴∠MFN=

（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°

，∴FP⊥AB

∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。

结论四：

若抛物线方程为

，过（

，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。

反之也成立。

设直线AB方程为:

，由

得，△>

0，

∵AO⊥BO，∴

⊥

将

代入得，

∴直线AB恒过定点（0，1）。

∴当且仅当k=0时，

取最小值1。

结论五：

对于抛物线

，其参数方程为

设抛物线

上动点

坐标为

为抛物线的顶点，显然

，即

的几何意义为过抛物线顶点

的动弦

的斜率．

例直线

与抛物线

相交于原点和

点，

为抛物线上一点，

和

垂直，且线段

长为

，求

的值．

解析：

设点

分别为

的坐标分别为

【课堂练习】

A抛物线

1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是（）

A．（2,0）B．（－2,0）C．（4,0）D．（－4,0）

2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为（）

A．y2＝±

4xB．y2＝±

8xC．y2＝4xD．y2＝8x

3．已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）

A．2B．3C.115D.3716

4．点A，B在抛物线x2＝2py（p>

0）上，若A，B的中点是（x0，y0），当直线AB的斜率存在时，其斜率为（）

A.2py0B.py0C.px0D.x0p

5．[2010·

福建卷]以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）

A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0

6．[2010·

山东卷]已知抛物线y2＝2px（p>

0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）

A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2

7．[2010·

陕西卷]已知抛物线y2＝2px（p>

0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为（）

A.12B．1C．2D．4

8．[2010·

辽宁卷]设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝（）

A．4B．8C．8D．16

9．[2011·

东北三校模拟]已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为________．

10．[2010·

浙江卷]设抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，点A（0,2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．

11．给定抛物线C：

y2＝4x，过点A（－1,0），斜率为k的直线与C相交于M，N两点，若线段MN的中点在直线x＝3上，则k＝________.

12．（13分）[2011·

西城一模]已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．

（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；

（2）设A，B为抛物线上两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰好过点M，求证：

线段AB中点的横坐标为定值．

13．（12分）[2011·

西城一模]已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．

（1）求证：

以线段FA为直径的圆与y轴相切；

（2）若FA→＝λ1AP→，BF→＝λ2FA→，λ1λ2∈12，求λ2的取值范围．

B抛物线

1．若点P（x，y）到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P（x，y）的轨迹方程为（）

A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y

2．抛物线x2＝（2a－1）y的准线方程是y＝1，则实数a＝（）

A.52B.32C．－12D．－32

3．已知抛物线y2＝4x，若过焦点F且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两点，O是坐标原点，则△OAB的面积是（）

A．1B．2C．4D．6

4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）

A．（－∞，0）B．（－∞，2]C．[0,2]D．（0,2）

5．已知A，B是抛物线y2＝2px（p>

0）上的两点，O是原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）

A．x＝pB．x＝3pC．x＝32pD．x＝52p

6．已知抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点为F，点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）均在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有（）

A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·

|FP3|

7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A.172B．3C.D.92

8．已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为（）

A．4B．8C．16D．32

9．已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P（2,2）为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

全国卷Ⅱ]已知抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的准线为l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若AM→＝MB→，则p＝________.

11．[2010·

重庆卷]已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A、B满足AF→＝3FB→，则弦AB的中点P到准线的距离为________．

12．（13分）[2012·

珠海模拟]在平面直角坐标系xOy中，设点F1，0，直线l：

x＝－12，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.

（1）求动点Q的轨迹方程C；

（2）设圆M过A（1,0），且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？

请说明理由．

图K50－1

13．（12分）[2010·

湖北卷]已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

（1）求曲线C的方程；

（2）是否存在正数m，对于过点M（m,0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA→·

FB→<

0？

若存在，求出m的取值范围；

若不存在，请说明理由．

A

1．B[解析]由y2＝－8x，易知焦点坐标是（－2,0）．

2．B[解析]抛物线y2＝ax（a≠0）的焦点F坐标为a，0，则直线l的方程为y＝2a4，它与y轴的交点为Aa2，所以△OAF的面积为12a4·

a2＝4，解得a＝±

8.所以抛物线方程为y2＝±

8x.

3．A[解析]设动点p到直线l2的距离之和为d，直线l2：

x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（1,0）的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F（1,0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（1,0）到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2.

4．D[解析]设A（x1，y1），B（x2，y2），则x21＝2py1，x22＝2py2，两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＝2p（y1－y2），即kAB＝y1－y2x1－x2＝x1＋x22p＝x0p.

5．D[解析]因为已知抛物线的焦点坐标为（1,0），即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r＝1，故所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0.

6．B[解析]抛物线的焦点Fp，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－p2，即x＝y＋p2，

将其代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，

所以y1＋y22＝p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，

准线方程为x＝－1.

7．C[解析]方法1：

∵抛物线的准线方程为x＝－p2，圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝16.

∴3－p2＝4，∴p＝2.

方法2：

作图可知，抛物线y2＝2px（p>

0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切于点（－1,0），所以－p2＝－1，解得p＝2.

8．B[解析]设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4，∵直线AF的斜率为－，∴∠AFB＝60°

.在Rt△ABF中，|AF|＝4cos60°

＝8.又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°

，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8.

9．－14[解析]抛物线方程为x2＝1ay，故其准线方程是y＝－14a＝1，解得a＝－14.

10.24[解析]设抛物线的焦点Fp，0，由B为线段FA的中点，所以Bp，1，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为p4＋p2＝3p4＝24.

11．±

22[解析]过点A（－1,0），斜率为k的直线为y＝k（x＋1），与抛物线方程联立后消掉y得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），有x1＋x1＝4－2k2k2，x1x2＝1.

因为线段MN的中点在直线x＝3上，所以x1＋x2＝6，即4－2k2k2＝6，解得k＝±

22.

而此时k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0的判别式大于零，所以k＝±

12．[解答]

（1）由已知，x＝4不合题意．设直线l的方程为y＝k（x－4）．由已知，抛物线C的焦点坐标为（1,0），因为点F到直线l的距离为，所以|3k|1＋k2＝，

解得k＝±

22，所以直线l的斜率为±

（2）证明：

设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线MN的斜率为y0x0－4，因为AB不垂直于x轴，所以直线AB的斜率为4－x0y0，

直线AB的方程为y－y0＝4－x0y0（x－x0），

联立方程（x－x0y2＝4x，

消去x，得x04y2－y0y＋y20＋x0（x0－4）＝0，

所以y1＋y2＝4y04－x0，

因为N为AB中点，所以y1＋y22＝y0，即2y04－x0＝y0，

所以x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2.

13．[解答]

（1）证明：

由已知Fp，0，设A（x1，y1），

则y21＝2px1，

圆心坐标为y12，圆心到y轴的距离为2x1＋p4，

圆的半径为|FA|2＝12×

p2＝2x1＋p4，

所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切．

（2）解法一：

设P（0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由FA→＝λ1AP→，BF→＝λ2FA→，得

p，y1＝λ1（－x1，y0－y1），

p－x2，－y2＝λ2p，y1，

所以x1－p2＝－λ1x1，y1＝λ1（y0－y1），

p2－x2＝λ2p2，y2＝－λ2y1，

由y2＝－λ2y1，得y22＝λ22y21.

又y21＝2px1，y22＝2px2，

所以x2＝λ22x1.

代入p2－x2＝λ2p2，得p2－λ22x1＝λ2p2，p2（1＋λ2）＝x1λ2（1＋λ2），

整理得x1＝p2λ2，

代入x1－p2＝－λ1x1，得p2λ2－p2＝－λ1p2λ2，

所以1λ2＝1－λ1λ2，

因为λ1λ2∈12，所以λ2的取值范围是4，2.

解法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB：

x＝my＋p2，

将x＝my＋p2代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，

所以y1y2＝－p2（*）．

将y2＝－λ2y1代入（*）式，得y21＝p2λ2，

所以2px1＝p2λ2，x1＝p2λ2.

代入x1－p2＝－λ1x1，得1λ2＝1－λ1λ2，

B

1．C[解析]点P（x，y）到点F（0,2）的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P（x，y）到点F（0,2）的距离与到直线y＋2＝0即y＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p＝4，故所求的抛物线方程为x2＝8y.

2．D[解析]根据分析把抛物线方程化为x2＝－21－ay，则焦参数p＝12－a，故抛物线的准线方程是y＝p2＝－a2，则－a2＝1，解得a＝－32.

3．B[解析]焦点坐标是（1,0），A（1,2），B（1，－2），|AB|＝4，故△OAB的面积S＝12|AB||OF|＝12×

4×

1＝2.

4．B[解析]设点Q的坐标为0，由|PQ|≥|a|，得y20＋02≥a2，整理，得y20（y20＋16－8a）≥0，∵y20≥0，∴y20＋16－8a≥0，即a≤2＋0恒成立．而2＋0的最小值为2，所以a≤2.

5．D[解析]A（x0，y0），则B（x0，－y0），由于焦点Fp2，0是抛物线的垂心，所以OA⊥BF.由此得y0x0×

p2＝－1，把y20＝2px0代入得x0＝5p2，故直线AB的方程是x＝52p.

6．C[解析]由抛物线定义，2p2＝p2＋p2，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.

7．A[解析]依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F1，0.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝12＋22＝172.

8．B[解析]∵抛物线C：

y2＝8x的焦点为F（2,0），准线方程为x＝－2，∴K（－2,0），

设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（－2，y0），∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－（－2）＝x0＋2，

∴由BK2＝AK2－AB2得y20＝（x0＋2）2，即8x0＝（x0＋2）2，解得x0＝2，∴A（2，±

4），∴△AFK的面积为12|KF|·

|y0|＝12×

4＝8.

9．y2＝4x[解析]设抛物线方程为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：

x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝2×

2＝4，故y2＝4x.

10．2[解析]过B作BE垂直于准线l于E，∵AM→＝MB→，∴M为AB中点，∴|BM|＝12|AB|.又斜率为，∠BAE＝30°

，∴|BE|＝12|AB|，∴|BM|＝|BE|，

∴M为抛物线的焦点，∴p＝2.

11.83[解析]设A（xA，yA），B（xB，yB），则|AF|＝xA＋1，|BF|＝xB＋1，∴xA＋1＝3（xB＋1）．①

由几何关系，xA－1＝3（1－xB）．②

联立①②，得xA＝3，xB＝13，∴所求距离d＝xA＋xB2＋1＝83.

12．[解答]

（1）依题意知，

点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，

∴RQ是线段FP的垂直平分线．

∵|PQ|是点Q到直线l的距离．

点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.

故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，

其方程为：

y2＝2x（x>

0）．

（2）弦长|TS|为定值．理由如下：

取曲线C上点M（x0，y0），M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，

圆的半径r＝|MA|＝20，

则|TS|＝2＝22－2x0＋1，

因为点M在曲线C上，所以x0＝0，

所以|TS|＝22＋1＝2，是定值．

13．[解答]

（1）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足－x＝1（x>

化简得y2＝4x（x>

（2）设过点M（m,0）（m>

0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．

设l的方程为x＝ty＋m，由x＝ty＋m，y2＝4x，得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16（t2＋m）>

于是y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.①

又FA→＝（x1－1，y1），FB→＝（x2－1，y2），

FA→·

0?

（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝x1x2－（x1＋x2）＋1＋y1y2<

0.②

又x＝y24，于是不等式②等价于1·

2＋y1y2－2＋1<

?

（y1y216＋y1y2－14[（y1＋y2）2－2y1y2]＋1<

0.