齐次弦振动方程的MATLAB解法Word文件下载.docx
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，
称
为自由端。
（3）第三类边界问题：
第一类和第二类边界问题的线性组合。
一、两端固定的弦振动问题
两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下：
1、初始位移不为0，初始速度为0
不妨设：
（1）特征函数求解解
由d’Alembert公式：
从而我们可以得到方程的级数解：
而我们知道，弦振动的泛定方程属于本征问题：
它在两个边界上都有第一类其次边界条件，它的本征值与本征函数为：
将系数带入方程，级数中每一项都是一个驻波，定义子程序wfun.m计算不同n的求和各项，再用主程序jxj将它们加起来，得到动画图形。
（MATLAB代码见附录1
（1））
（2）差分方程求解
利用差分方程同样可以求出问题的解。
令
，将微分方程改写成差分方程，即有
其中，
于是，初始条件可以表示为：
作图时，先画出
的图形，然后再用
或
代替其中的
，改变
的值，就画出了不同时刻
的图形。
（MATLAB代码见附录1
（2））
解得的动态图形如下：
2、初始位移为0，初始速度不为0
设初始速度为：
（1）特征函数求解
通过求本征函数与本征值的方法我们可以得到方程的解析解：
其中系数，
，类似的，用函数计算级数中的各项，再在主函数中调用便可得解。
（MATLAB代码见附录2
（1））
类似于问题1，我们还可以采用差分方程求解，不过需要注意的是，题目中的初始条件应表示为：
（MATLAB代码见附录2
（2））
解得的动画图形如下：
【总结】
通过运用MATLAB构造和求解齐次弦振动方程，绘制了相关图像，直观感受了方程解，加深了对其物理意义的理解。
借助于计算机来做计算和研究的过程涉及到建立模型，选择方法，语言编程和结果分析。
通过此次问题的探究，培养和训练了自学能力和操作能力，获益匪浅。
【参考文献】
1、李明奇田太心《数学物理方程》电子科技大学出版社2010
2、彭芳麟《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》清华大学出版社2004
3、彭芳麟《计算物理基础》高等教育出版社2010
4、谢进李大美《MATLAB与计算方法实验》武汉大学出版社2009
【附录】
附录1
（1）
functionjxj
N=50
t=0:
0.005:
2.0;
x=0:
0.001:
1;
ww=wfun（N,0）;
ymax=max（abs（ww））;
h=plot（x,ww）;
axis（[0,1,-ymax,ymax]）
sy=[];
forn=2:
length（t）
ww=wfun（N,t（n））;
set（h,'
ydata'
ww）;
drawnow;
sy=[sy,sum（ww）];
end
functionwtx=wfun（N,t）
a=1;
wtx=0;
forI=1:
N
ifI~=7
wtx=wtx+（（sin（pi*（7-I）*4/7）-sin（pi*（7-I）*3/7））...
/（7-I）/pi-（sin（pi*（7+I）*4/7）-sin（pi*（7+I）*3/7））...
/（7+I）/pi）*cos（I*pi*a*t）.*sin（I*pi*x）;
else
wtx=wtx+1/7*cos（I*pi*a*t）.*sin（I*pi*x）;
end
（2）
N=4010;
dx=0.0024;
dt=0.0005;
c=dt*dt/dx/dx;
x=linspace（0,1,420）;
u（1:
420,1）=0;
u（181:
240,1）=sin（pi*x（181:
240）*7）;
u（2:
419,2）=u（2:
419,1）+c/2*（u（3:
420,1）-2*u（2:
419,1）+u（1:
418,1））;
h=plot（x,u（:
1）,'
linewidth'
2）;
axis（[0,1,-1,1]）;
set（h,'
EraseMode'
'
xor'
MarkerSize'
18）;
fork=2:
XData'
x,'
YData'
u（:
2））;
pause（0.1）
u（2:
419,3）=2*u（2:
419,2）-u（2:
419,1）+c*（u（3:
420,2）...
-2*u（2:
419,2）+u（1:
418,2））;
419,1）=u（2:
419,2）;
419,3）;
附录2
functionpsi
N=50;
x=0:
ww=psi1fun1（N,0）;
h=plot（x,ww,'
axis（[0,1,-0.1,0.1]）;
ww=psi1fun1（N,t（n））;
pause（1.5）
functionwtx=psi1fun1（N,t）
fork=1:
Bk=2/（k*k*pi*pi）*（cos（3*k*pi/7）-cos（4*k*pi/7））;
wtx=wtx+Bk*sin（k*pi*t）*sin（k*pi*x）;
clear
N=4025;
u（180:
240,2）=dt*0.5;
pause（0.01）
-2*u（2:
（注：
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