倒易点阵习题集.docx

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倒易点阵习题集

例题

2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．

[证明]

选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示，

其中a是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。

初基晶胞体积

根据式（2．1）计算倒易点阵矢量

于是有：

显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是．

同理，对面心立方点阵写出初基矢量

如图1.10所示。

初基晶胞体积。

根据式（2．1）计算倒易点阵矢量

显然，正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是．

2．2（a）证明倒易点阵初基晶胞的体积是，这里是晶体点阵初基晶胞的体积；（b）证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身．

[证明]

（a）倒易点阵初基晶胞体积为，现计算．由式（2．1）知，

此处

而

这里引用了公式：

。

由于，故有

而

故有

或写成

倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的倍。

（b）现要证明晶体点阵初基矢量满足关系

有前面知：

令

又知，代入上式得：

同理

可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身．

2．3面间距考虑晶体中一组互相平行的点阵平面（hkl），（a）证明倒易点阵矢量垂直于这组平面（hkl）；（b）证明两个相邻的点阵平面间的距离d（hkl）为：

（c）证明对初基矢量互相正交的晶体点阵，有

（d）证明对简单立方点阵有

证明

（a）参看图2．3，在平面族（hkl）中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是．现要证明G（hkl）垂直于ABC，只需证明G（hkl）垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可．

，

用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式（2．2），立即可得

同理，

故G（hkl）垂直于点阵平面（hkl）．

（b）点阵平面（hkl）的面间距d（hkl）为

（c）如果晶体点阵的初基矢量彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交．

设

由倒易点阵基矢的定义

及得

于是面间距为

（d）对立方晶系中的简单立方点阵，，用（c）的结果可得

2．4二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC＝的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量．

[解]解法之一

参看图2．4，晶体点阵初基矢量为

用正交关系式（2．2）求出倒易点阵初基矢量。

设

由

得到下面四个方程式

（1）

（2）

（3）

（4）

由式

（1）得：

由式

（2）得：

，即

解得：

由式（3）得：

代入式（4）得：

于是得出倒易点阵基矢

解法之二

选取为方向的单位矢量，即令

于是初基晶胞体积为

倒易点阵基矢为

对二维点阵，仅取两个方向，于是得

2．5简单六角点阵的倒易点阵简单六角点阵的初基矢量可以取为

（a）证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和，并且相对于正点阵转动了30角；

（b）当比率c／a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?

如果正点阵的c／a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少?

（c）绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积．

[解]

（a）选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示．

初基晶胞体积为

倒易点阵初基矢量为

或写为

同正点阵初基矢量

比较看出，所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为和，并相对于正点阵绕转动了30角（见图2．6）。

（b）设倒易点阵的点阵常数比为，出（a）可知

若，则有

故当正点阵的值为时，倒易点阵的和正点阵的有相同值。

若正点阵c／a＝，则倒易点阵的为

故当正点阵的c／a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53．

（c）简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W—S晶胞．显然为一六角正棱柱（如图2．7），其体积为

即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为

2．6底心正交点阵的倒易点阵证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵．

[证明]

底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为

初基晶胞体积为

倒易点阵基矢为

由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为。

2．7三角点阵的倒易点阵三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为。

其中是倒易点阵初基矢量间的夹角，满足

-cosθ*＝cosθ／（1+cosθ）

[证明]

三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为

（1）

参见图2.10，是在x、y、z三个方向的方向余弦。

由

得

（2）

由

得

（3）

于是有

（4）

由倒易点阵基矢的定义可知分别垂直于正点阵初基晶胞的平面，且有相同长度，

（5）

将（6）

代入上式得

（7）

彼此间应有相间夹角．设间的夹角为，

利用公式

上式化为

（8）

同理可以证明任意二矢量间的夹角均为此值。

为了计算，利用式（4）得到

代入式（7）得

（9）

2.8点阵平面上的阵点密度

（a）证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数），这里是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离；

（b）证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面．

[证明]

（a）考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为

或写为

其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高．由以上二式得

于是点阵平面上的密度为

（b）由（a）可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d的关系

可知，倒易点阵矢量G（hkl）越短，与之垂直的点阵平面（hkl）两点密度也就越大．

面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量

都是最短的倒易点阵矢量，，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}平面有最大的阵点密度．

体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量

也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面．

2．9单斜点阵的面间距已知平面族（hkl）的面间距与倒易点阵矢量G（hkl）间的关系为

其中，试证明单斜点阵的面间距d（hkl）由下式决定

其中是单斜点阵惯用晶胞的三个边长，为间的夹角，（参看图2.12）

证明：

单斜点阵惯用晶脑的几何特征是

初基晶胞的体积为

（hkl）平面族的面间距为

要计算d（hkl），除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义

此外，有

代入d（hkl）的表达式中得

2．10外斯晶带定律属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明，

（a）晶带轴[uvw]与该晶带中的平面（hkl）满足关系

（b）证明晶面（），（），（）属于同一晶带的条件是

证明

（a）以晶面指数（hkl）为指数的倒易点阵矢量G（hkl）是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是

必定在晶面（hkl）法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为.既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行

用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系

直接可得

（b）既然属于同一晶带，由（a）有

由于不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即

2．11一个单胞的尺寸为，试求：

（a）倒易点阵单胞基矢；

（b）倒易点阵单胞体积；

（c）（210）平面的面间距；

（d）此类平面反射的布喇格角（己知λ＝1．54Å）．

[解]

（a）画出此单胞如图2．13所示．写出晶体点阵单胞基矢如下：

晶体点阵的单胞体积为

（Å）3

倒易点阵单胞的基矢为

（b）倒易点阵单细体积为

（Å）-3

（c）与晶面（hkl）垂直的最短倒易点阵矢量为

（Å）-1

Å

（d）（210）面反射的布喇格角为

2．12（a）从体心立方结构铁的（110）平面来的X-射线反射的布喇格角为22，X-射线波长λ＝1．54Å，试计算铁的立方晶胞边长；（b）从体心立方结构铁的（111）平面来的反射布喇格角是多少?

（c）已知铁的原子量是55．8，试计算铁的密度．

[解]

（a）求出（110）平面的面间距d（110）

Å

于是求得点阵常数为

Å

（b）（111）平面的面间距为

Å

于是（111）平面反射的不喇格角为

（c）固体密度的公式为

其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质

对M个阵点求和后，上式化为