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《等边三角形》练习题
1.(2012•)如图,已知:
∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为( )
6
B.
12
C.
32
D.
64
2.(2012•凉山州)如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β的度数是( )
180°
220°
240°
300°
3.(2012•)如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为( )
2
3
4.(2011•)边长为4的正三角形的高为( )
4
5.(2010•随州)如图,过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )
不能确定
6.(2009•)如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,则∠DFC的度数为( )
60°
45°
40°
30°
7.(2007•)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、H,设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2,则( )
3S1=2S2
2S1=3S2
2S1=S2
S1=2S2
8.(2007•)如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为( )
4cm2
2cm2
3cm2
9.(2006•)如图,A、C、B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;
②CM=CN;
③AC=DN.其中,正确结论的个数是( )
3个
2个
1个
0个
10.(2006•)如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上爬行(A,C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是( )
d>h
d<h
d=h
无法确定
11.(2007•)一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°
的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20°
的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距( )
30海里
40海里
50海里
60海里
12.(2006•)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于( )
25°
13.(2011•)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= _________ 度.
14.(2008•日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
②PQ∥AE;
③AP=BQ;
⑤∠AOB=60度.恒成立的结论有 _________ .(把你认为正确的序号都填上)
15.(2005•)如图,将边长为4的等边△ABC,沿x轴向左平移2个单位后,得到△A′B′C′,则点A′的坐标为 _________ .
16.(2004•)如图,正三角形A1B1C1的边长为1,△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2,△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3,…,如此类推,得到△AnBnCn.则:
(1)△A3B3C3的边长a3= _________ ;
(2)△AnBnCn的边长an= _________ (其中n为正整数).
17.(2006•嘉峪关)△ABC为等边三角形,
D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且
AE=CD=BF,则△DEF为 _________ 三角形.
18.(1999•)如图,以A,B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形,最多可以作出 _________ 个.
19.如图所示,P是等边三角形ABC一点,将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°
,得到△CBP′,若PB=3,则PP′= _________ .
20.(2009•)如图,在边长为4的正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作正三角形ADE.
(2)判断AC、DE的位置关系,并给出证明.
21.(2009•)如图,△ABC为正三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作正三角形CDE,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.
22.(2008•)附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道思考题:
如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
∠BQM=60度.
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完
(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°
”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°
?
③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°
…
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
① _________ ;
② _________ ;
③ _________ .并对②,③的判断,选择一个给出证明.
23.(2007•)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B.
(1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;
(3)当三角尺在
(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,
(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
24.(2004•)已知:
如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.
(1)求证:
DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
25.(2002•)已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题:
(1)当点P在△ABC(如图2),
(2)点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,h1、h2、h3与h之间的关系如何?
请写出你的猜想,不需证明.
26.(2000•)如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB;
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
27.(2010•)如图,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE于N,连接MN.
AE=BD;
(2)求证:
MN∥AB.
28.(2005•)如图,已知AD和BC交于点O,且△OAB和△OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.
求证:
△ACE为等边三角形.
29.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
AD=BE;
(2)求∠DOE的度数;
(3)求证:
△MNC是等边三角形.
30.如图,等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ:
BC=1:
2,过P作PE⊥AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长?
《全等三角形》练习参考答案与试题解析
1.C 2.C 3.C 4.D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13.∠E= 15 度.14. ①②③⑤ .
15..16.a3=;
△AnBnCn的边长an= (或21﹣n)
17. 等边 三角形.18. 2 个.19PP′= 3 .
20.
解:
(1)在正△ABC中,AD=4×
,(2分)
∴S=BC×
AD=×
4×
2=4.(3分)
(2)AC、DE的位置关系:
AC⊥DE.(1分)
在△CDF中,∵∠CDE=90°
﹣∠ADE=30°
∴∠CFD=180°
﹣∠C﹣∠CDE=180°
﹣60°
﹣30°
=90°
.
∴AC⊥DE.(3分)
(注:
其它方法酌情给分).
21.
AE∥BC.理由如下:
∵△ABC与△CDE为正三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
∴△BCD≌△ACE,
∴∠B=∠EAC,
∵∠B=∠ACB,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
22.请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
① 是 ;
② 是 ;
③ 否 .并对②,③的判断,选择一个给出证明.
(1)证明:
在△ABM和△BCN中,
∴△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°
(2)①是;
②是;
③否.
②的证明:
如图,
在△ACM和△BAN中,
∴△ACM≌△BAN,
∴∠AMC=∠BNA,
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°
=120°
∴∠BQM=60°
③的证明:
在Rt△ABM和Rt△BCN中,
∴Rt△ABM≌Rt△BCN,
∴∠AMB=∠BNC.
又∠NBM+∠BNC=90°
∴∠QBM+∠QMB=90°
∴∠BQM=90°
,即∠BQM≠60°
23
(1)BF=CG;
证明:
在△ABF和△ACG中
∵∠F=∠G=90°
,∠FAB=∠GAC,AB=AC
∴△ABF≌△ACG(AAS)
∴BF=CG;
(2)DE+DF=CG;
过点D作DH⊥CG于点H(如图2)
∵DE⊥BA于点E,∠G=90°
,DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG,DH∥BG
∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°
,CD=DC
∴△FDC≌△HCD(AAS)
∴DF=CH
∴GH+CH=DE+DF=CG,即DE+DF=CG;
(3)仍然成立.
过点D作DH⊥CG于点H(如图3)
∴四边形EDHG为矩形,
∴DE=HG,DH∥BG,
∴∠GBC=∠HDC,
∵AB=AC,
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC,
,CD=DC,
∴DF=CH,
∴GH+CH=DE+DF=CG,
即DE+DF=CG.
24.
过点D作DF∥AB,交BC于F.
∵△ABC为正三角形,
∴∠CDF=∠A=60°
∴△CDF为正三角形.
∴DF=CD.
又BE=CD,
∴BE=DF.
又DF∥AB,
∴∠PEB=∠PDF.
∵在△DFP和△EBP中,
∵,
∴△DFP≌△EBP(AAS).
∴DP=PE.
(2)解:
由
(1)得△DFP≌△EBP,可得FP=BP.
∵D为AC中点,DF∥AB,
∴BF=BC=a.
∴BP=BF=a.
25.
(1)当点P在△ABC时,结论h1+h2+h3=h仍然成立.
理由如下:
过点P作BC的平行线,交AB于G,交AC于H,交AM于N,则可得结论h1+h2=AN.
∵四边形MNPF是矩形,
∴PF=MN,即h3=MN.
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h,
即h1+h2+h3=h.
(2)当点P在△ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是h1+h2﹣h3=h.
过点P作BC的平行线,与AB、AC、AM分别相交于G、H、N,则可得结论h1+h2=AN.
∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h,
即h1+h2﹣h3=h.
26.
(1)当CD2=AC•DB时,△ACP∽△PDB,
∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=∠PDC=60°
∴∠ACP=∠PDB=120°
若CD2=AC•DB,由PC=PD=CD可得:
PC•PD=AC•DB,
即=,
则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB
(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度数为120°
27.
(1)∵△ACD和△BCE是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°
,∠ECB=60°
∵∠DCA=∠ECB=60°
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,∠ACE=∠DCB,
在△ACE与△DCB中,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=BD;
(2)∵由
(1)得,△ACE≌△DCB,
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=∠ECB=60°
,而A、C、B三点共线,
∴∠DCN=60°
在△ACM与△DCN中,
∴△ACM≌△DCN,
∴MC=NC,
∵∠MCN=60°
∴△MCN为等边三角形,
∴∠NMC=∠DCN=60°
∴∠NMC=∠DCA,
∴MN∥AB.
28.
∵△OAB和△OCD为等边三角形,
∴CD=OD,OB=AB,∠ADC=∠ABO=60°
∵四边形ODEB是平行四边形,
∴OD=BE,OB=DE,∠CBE=∠EDO.
∴CD=BE,AB=DE,∠ABE=∠CDE.
∴△ABE≌△EDC.
∴AE=CE,∠AEB=∠ECD.
∵BE∥AD,
∴∠AEB=∠EAD.
∴∠EAD=∠ECD.
在△AFE和△CFD中
又∵∠AFE=∠CFD,
∴∠AEC=∠ADC=60°
∴△ACE为等边三角形.
29.
(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC,
∵等边三角形DCE,
∴∠CED=∠CDE=60°
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED,
=∠ADC+60°
+∠BED,
=∠CED+60°
=60°
+60°
∴∠DOE=180°
﹣(∠ADE+∠BED)=60°
答:
∠DOE的度数是60°
(3)证明:
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,
∴AM=AD,BN=BE,
∴AM=BN,
在△ACM和△BCN中
∴△ACM≌△BCN,
∴CM=CN,
∠ACM=∠BCN,
又∠ACB=60°
∴∠ACM+∠MCB=60°
∴∠BCN+∠MCB=60°
∴∠MCN=60°
∴△MNC是等边三角形.
30.
过P点作PF∥BC交AC于F点,
∵等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点,CQ:
2,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠A=60°
∴AP=CQ,
∵PF∥AB,
∴∠APF=∠B=60°
,∠AFP=∠ACB=60°
∴∠A=∠APF=∠AFP=60°
∴△APF是等边三角形,
∵PE⊥AC,
∴EF=AF,
∵△APF是等边三角形,AP=CQ,
∴PF=CQ
∴∠Q=∠FPD,
在△PDF和△QDC中
∴△PDF≌△QDC,
∴DF=CD,∴DF=CF,
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC,
∴ED=5.
双基训练
1.如图14-45,在等边ΔABC中,O是三个角平分线的交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中等腰三角形的个数是。
2.如图14-46,ΔABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EFAB,AE=1,则AD=,ΔEFC的周长=。
3.如图14-47,在等边ΔABC中,AE=CD,BG⊥AD,求证:
BP=2PG。
纵向应用
1.如图14-48,已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点,若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。
2.如图14-49,C是线段AB上的一点,ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:
GH∥AB。
3.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D使得ΔCDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:
ΔCMN是等边三角形。
4.如图14-51,C是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE,M为AE的中点,
N为DB的中点,求证:
ΔCMN为等边三角形。
5.如图14-52,在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,以CD为边向形外作等边ΔCDE,连结AE,求证:
ΔABE为等边三角形。
6.如图14-53,已知ΔABC是等边三角形,D为AC上一点,∠1=∠2,BD=CE,求证:
ΔADE是等边三角形。
7.如图14-54,设在四边形ABCD中,∠A+∠B=1200,AD=BC,M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
ΔMNP是等边三角形。
8.如图14-55,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>
CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,∠AOB=600,且E、F分别是OD、OA的中点,M是BC的中点,求证:
ΔEFM是等边三角形。
9.如图14-56,在
ABCD中,ΔABE和ΔBCF都是等边三角形,求证:
ΔDEF是等边三角形。
10.如图14-57,已知D为等边ΔABC一点,DA=DC,P点在ΔABC外,且CP=CA,CD平分∠PCB,
求∠P。
横向拓展
1.如图14-58,已知P是等边三角形ABC一点,APB:
CPA=5:
6:
7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三角之比。
2.如图14-59,点O为等边ΔABC一点,∠AOB=1100,∠BOC=1350,试问:
(1)以OA、OB、OC为边,能否构成三角形?
若能,请求出该三角形各角的度数;
若不能,请说明理由;
(2)如果∠AOB大小保持不变,那么当∠BOC等于多少度时,以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形?
3.如图14-60,已知ΔABC是边长为1的等边三角形,ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形,以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M,交AC于点N,连结MN,形成一个三角形。
AMN的周长等于2。
4.如图14-61,在ΔABC中,∠A=600,BE⊥AC,垂足为E,CF⊥AB,垂足为F,点D是BC的中点,BE、CF交于点M。
(1)如果AB=AC,求证:
ΔDEF是等边三角形;
(2)如果AB≠AC,试猜想ΔDEF是不是等边三角形?
如果ΔDEF是等边三角形,请加以证明;
如果ΔDEF不是等边三角形,请说明理由;
(3)如果CM=4cm,FM=5cm,求BE的长度。
5.如图14-62,已知AO=10,P是射线ON上一动点(即P点可在射线ON上运动),∠AON=600。
(1)OP为多少时,ΔAOP为等边三角形?
(2)OP为多少时,ΔAOP为直角三角形?