均值不等式 含答案.docx

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均值不等式含答案

课时作业15　均值不等式

时间：

45分钟　　满分：

100分

课堂训练

1．已知＋＝1（x>0，y>0），则xy的最小值是（　　）

A．15　　　　　　　　　　B．6

C．60D．1

【答案】　C

【解析】　∵＋＝1≥2，

∴xy≥60，

当且仅当3x＝5y时取等号．

2．函数f（x）＝x＋＋3在（－∞，－2]上（　　）

A．无最大值，有最小值7

B．无最大值，有最小值－1

C．有最大值7，有最小值－1

D．有最大值－1，无最小值

【答案】　D

【解析】　∵x≤－2，∴f（x）＝x＋＋3

＝－＋3≤－2＋3

＝－1，当且仅当－x＝－，即x＝－2时，取等号，

∴f（x）有最大值－1，无最小值．

3．已知两个正实数x，y满足x＋y＝4，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围是____________．

【答案】　

【解析】　＋＝＝＋＋≥＋2＝.

4．求函数y＝（x>－1）的最小值．

【分析】　对于本题中的函数，可把x＋1看成一个整体，然后将函数用x＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．

【解析】　因为x>－1，

所以x＋1>0.

所以y＝＝

＝（x＋1）＋＋5≥2＋5＝9

当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．

∴当x＝1时，函数y＝（x>－1），取得最小值为9.

【规律方法】　形如f（x）＝（m≠0，a≠0）或者g（x）＝（m≠0，a≠0）的函数，可以把mx＋n看成一个整体，设mx＋n＝t，那么f（x）与g（x）都可以转化为关于t的函数．

课后作业

一、选择题（每小题5分，共40分）

1．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是（　　）

A．3　　　　　　　　　　B．3－3

C．3－2D．－1

【答案】　C

【解析】　y＝3－3x－＝3－（3x＋）≤3－2

＝3－2.

当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”．

2．下列结论正确的是（　　）

A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2

B．当x>0时，＋≥2

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

D．当0

【答案】　B

【解析】　A中，当x>0且x≠1时，lgx的正负不确定，∴lgx＋≥2或lgx＋≤－2；C中，当x≥2时，（x＋）min＝；D中当0

3．如果a，b满足0

A.B．a

C．2abD．a2＋b2

【答案】　D

【解析】　方法一：

∵02a，∴a<，

又a2＋b2≥2ab，

∴最大数一定不是a和2ab，

又a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab，

∵1＝a＋b>2，∴ab<，

∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.

方法二：

特值检验法：

取a＝，b＝，则2ab＝，a2＋b2＝，∵>>>，∴a2＋b2最大．

4．已知a>b>c>0，则下列不等式成立的是（　　）

A.＋>

B.＋<

C.＋≥

D.＋≤

【答案】　A

【解析】　∵a>b>c>0，

∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，

∴（a－c）

＝[（a－b）＋（b－c）]·

＝2＋＋

≥2＋2＝4.

∴＋≥>.

5．下列函数中，最小值为4的是（　　）

A．f（x）＝x＋B．f（x）＝2×

C．f（x）＝3x＋4×3－xD．f（x）＝lgx＋logx10

【答案】　C

【解析】　A、D选项中，不能保证两数为正，排除；B选项不能取等号，f（x）＝2×＝2×＝2×（＋）≥4，要取等号，必须＝，即x2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.

6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a，b（a≠b），则物体的实际重量为多少？

实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？

（　　）

A.；大B.；小

C.；大D.；小

【答案】　D

【解析】　设物体真实重量为m，天平左、右两臂长分别为l1，l2，则

ml1＝al2①

ml2＝bl1②

①×②得m2l1l2＝abl1l2

∴m＝

又∵≥且a≠b，∴等号不能取得，故m<.

7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（　　）

A．3B．4

C.D.

【答案】　B

【解析】　∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0，

∴－1

∴x＋2y＝x＋2·＝（x＋1）＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝时“＝”成立，此时x＝2，y＝1，故选B.

8．在区间[，2]上，函数f（x）＝x2＋bx＋c（b、c∈R）与g（x）＝在同一点取得相同的最小值，那么f（x）在区间[，2]上的最大值是（　　）

A.B．4

C．8D.

【答案】　B

【解析】　∵g（x）＝＝x＋＋1≥3，当x＝1时取等号，即当x＝1时取最小值3，∴f（x）的对称轴是x＝1，∴b＝－2，将（1,3）代入即得c＝4，∴f（x）＝x2－2x＋4，易得在[，2]上的最大值是4.

二、填空题（每小题10分，共20分）

9．比较大小：

________2（填“>”“<”“≥”或“≤”）．

【答案】　≥

【解析】　＝＋≥2.

10．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．

【答案】　（－∞，3]

【解析】　∵x>1，∴x＋>0，

要使x＋≥a恒成立，设f（x）＝x＋（x>1），则a≤f（x）min对x>1恒成立．

又f（x）＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝即x＝2时取“＝”．

∴a≤3.

三、解答题（每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

11．设x，y∈R＋，且x＋y＋xy＝2，

（1）求x＋y的取值范围；

（2）求xy的取值范围．

【解析】　

（1）2＝x＋y＋xy≤x＋y＋（）2，

当且仅当x＝y时取“＝”．

∴（x＋y）2＋4（x＋y）－8≥0.

∴[（x＋y）＋2]2≥12.

∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥.

∴x＋y≥2－2，当且仅当x＝y＝－1时取“＝”．

故x＋y的取值范围是[2－2，＋∞）．

（2）2＝x＋y＋xy≥2＋xy，当且仅当x＝y＝－1时取“＝”．

∴（）2＋2≤2.∴（＋1）2≤3.

又x、y>0，∴＋1>0.∴＋1≤.

∴0<≤－1.

∴0

12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．

（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？

（2）问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？

【解析】　

（1）设船捕捞n年后的总盈利y万元．则

y＝50n－98－[12×n＋×4]

＝－2n2＋40n－98

＝－2（n－10）2＋102

∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．

（2）年平均利润为＝－2

≤－2＝12

当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．

所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．

【规律方法】　在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案．