-河南省郑州市高二上期末数学试卷文科.doc

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2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）不等式＞1的解集为（　　）

A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）

2．（5分）△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（　　）

A． B． C． D．

3．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（　　）

A．16 B．32 C．64 D．128

4．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东70°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（　　）

A．akm B．2akm C．akm D．akm

5．（5分）“a＞b“是“a3＞b3”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（　　）

A．25 B．23 C．21 D．20

7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1000+a1018=2，则S2017=（　　）

A．1008 B．1009 C．2016 D．2017

8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=4，cosA=，则b=（　　）

A．2 B．2 C．4 D．6

9．（5分）已知直线y=x+k与曲线y=ex相切，则k的值为（　　）

A．e B．2 C．1 D．0

10．（5分）过y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•=（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．不确定

11．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=60°，则•有（　　）

A．最大值﹣2 B．最小值﹣2 C．最大值2 D．最小值2

12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（　　）

A．一个点 B．椭圆

C．双曲线 D．以上选项都有可能

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）若命题P：

∀x∈R，2x+x2＞0，则￢P为　　．

14．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为　　．

15．（5分）数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+2=（n∈N*），则ai=　　．

16．（5分）已知F为双曲线C：

﹣=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为　　．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（10分）已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=2，b3=4，a1=b1，a8=b4．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．

18．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣，a=6，sinB=．

（Ⅰ）求角A的正弦值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

19．（12分）已知p：

函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R；q：

对任意实数x，不等式4x2+ax+1＞0成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

20．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx．

（Ⅰ）y=kx与f（x）相切，求k的值；

（Ⅱ）证明：

当a≥1时，对任意x＞0不等式f（x）≤ax+﹣1恒成立．

22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程及其离心率；

（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）不等式＞1的解集为（　　）

A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）

【分析】不等式可化为x（x﹣1）＜0，即可得到不等式＞1的解集．

【解答】解：

不等式可化为x（x﹣1）＜0，

∴0＜x＜1，

∴不等式＞1的解集为（0，1），

故选B．

【点评】本题考查不等式的解法，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键．

2．（5分）△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用正弦定理求得sinB的值．

【解答】解：

△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，

则由正弦定理可得=，

即=，∴sinB=，

故选：

A．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．

3．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（　　）

A．16 B．32 C．64 D．128

【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．

【解答】解：

∵等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，

∴，解得a=2，q=2，

∴a6=2×25=64．

故选：

C．

【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．

4．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东70°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（　　）

A．akm B．2akm C．akm D．akm

【分析】先根据题意确定∠ACB的值，再由勾股定理可直接求得|AB|的值．

【解答】解：

根据题意，△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣70°=90°

∵AC=akm，BC=2akm，

∴由勾股定理，得AB=akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为akm，

故选：

C．

【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用勾股定理解三角形等知识，属于基础题．

5．（5分）“a＞b“是“a3＞b3”的（　　）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】解：

由a3＞b3得a＞b，

则“a＞b“是“a3＞b3”的充要条件，

故选：

A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．

6．（5分）函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣2，则f（x）的最大值为（　　）

A．25 B．23 C．21 D．20

【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出a的值，最小值即可求得．

【解答】解：

求导函数可得f′（x）=﹣3x2+6x+9=﹣3（x+1）（x﹣3）

令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3

∵x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0，函数单调减，x∈（﹣1，2]时，f′（x）＞0，函数单调增，

∴函数在x=﹣1时，取得最小值，在x=﹣2或x=2时，函数取得最大值，

∵f（﹣1）=﹣5+a=﹣2，

∴a=3，

∴f（﹣2）=2+a=5，f

（2）=22+a=25，函数的最大值为25，

故选：

A．

【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数工具，确定函数的最值，属于中档题．

7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1000+a1018=2，则S2017=（　　）

A．1008 B．1009 C．2016 D．2017

【分析】由等差数列的性质得a1+a2017=2由此能求出结果

【解答】解：

∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1000+a1018=2，

∴a1+a2017=2，

∴S2017=（a1+a2017）=2017．

故选：

D

【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=4，cosA=，则b=（　　）

A．2 B．2 C．4 D．6

【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解．

【解答】解：

∵a=2，c=4，cosA=，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：

20=b2+16﹣2×，

∴整理可得：

3b2﹣16b﹣12=0，解得：

b=6或﹣（舍去）．

故选：

D．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．

9．（5分）已知直线y=x+k与曲线y=ex相切，则k的值为（　　）

A．e B．2 C．1 D．0

【分析】设切点为（x0，y0），求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．

【解答】解：

设切点为（x0，y0），则y0=ex0，

∵y′=（ex）′=ex，∴切线斜率k=ex0，

又点（x0，y0）在直线上，代入方程得y0=k+x0，

即ex0=ex0+x0，

解得x0=0，k=1，

故选：

C．

【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．（5分）过y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则•=（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．不确定

【分析】可得出抛物线y2=4x的焦点为（1，0），并画出图形，根据题意可设AB的方程为x=ky+1，联立抛物线方程消去x便得到y2﹣4ky﹣4=0，从而得出y1y2=﹣4，然后可设，这样便可求出的值．

【解答】解：

抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），如图：

设直线AB的方程为x=ky+1，代入y2=4x消去x得：

y2﹣4ky﹣4=0；

∴y1y2=﹣4；

设，则：

．

故选C．

【点评】考查抛物线的标准方程，过定点且斜率不为0的直线方程的设法，韦达定理，以及向量数量积的坐标运算．

11．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=60°，则•有（　　）

A．最大值﹣2 B．最小值﹣2 C．最大值2 D．最小值2

【分析】可先画出图形，根据BC=2，A=60°，对两边平方，进行数量积的运算即可得到，从而得出，这样便可求出，从而得出正确选项．

【解答】解：

如图，

；

∴，且BC=2，A=60°；

∴；

即；

∴；

∴有最小值﹣2．

故选B．

【点评】考查向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，不等式a2+b2≥2ab的运用，以及不等式的性质．

12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（　　）

A．一个点 B．椭圆

C．双曲线 D．以上选项都有可能

【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．

【解答】解：

∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点

线段AP的