西安工业大学高数期末考试题附答案试题Word格式.docx
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-1.
f（x,y）=2x2axxy22y在点（1,
4.设函数
-1）处取得极值，则常数a=「5.
2J2x」211%1_y2
6.改变积分次序：
l=0dx°
f（x,y）dy=pdy1寸f（x,y）dx
2212
，贝U[（x+y）ds=（1-ds=?
4兀=三
8.设二为曲面z=.x2y2在0乞z乞1的部分，则!
!
xdS=0
e—兀乞x■<
0
9.设f（x）=」'
则其以2兀为周期的傅里叶级数在x=兀处收敛于
♦1,0兰X£
兀，
10.设y1,y2,y是微分方程9p（x）y'
q（x）y二f（x）的三个不同的解，且=常
y2-y3
数，则微分方程的通解为C1（y1_y2）C2（y^y3py,.
11.函数f（x）=1展开为x的幕级数的形式为7」yXnX，（-2,2）
2—xn^2n41
12.微分方程yy=xeX的通解为Cx-xeX
x
二、计算下列各题（每小题6分，共18分）
解：
dz,yx-y..xy（）
f12f2e（yxy）
dxx
X®
"
（X）—®
（x）”xym心”
二f12f2exy（:
（x）X:
（x））
X
1•设z二f（y,exy），y=（x），其中f,「均为一阶可微函数，求
x
dz
dx
122
2求曲面―尹y）与平面…所围立体的体积
所围立体在xoy面的投影域D：
x2•y2_4，所围立体的体积
（x2y2）]-2dxdy=2Iidxdy-1
丿D2
222
3.在曲面x2y3z=66上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面
设曲面在第一卦限的切点的坐标为M（x,y,z），令
则切平面的法向量
F（x,y,z）=x22y23z2「66，
n=（Fx,Fy,Fz）M=（2x,4y,6z）,
已知平面xy•z=1的法向量
（1,1,1）
依题意n//ni，即
空=41=6z令t
111
代入曲面方程中解的x=6,y=3,z=2，即切点坐标为M（6,3,2）.
三、计算下列各题（每小题6分，共18分）
1•设门是由锥面z=,x2y2与半球面z=.1-x2-y2围成的空间区域，二是门的整个
边界的外侧，求曲面积分[jxdydz-ydzdx•zdxdy.
已知P（x,y,z）=x,Q（x,y,z）=y,R（x,y,z）=z，由高斯公式有
cPcQcR
■iixdydzydzdxzdxdy=（）dv
¥
¥
rrrL\、
x_y_z
=3!
iidv=3°
dr°
4d[；
r2sin：
dr
Q
=32二（12）[=（2-、2）二
23
1357
2.写出级数--飞n•…的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和
2222
所以
S1（x）£
l
3•求微分方程S2些=2£
的通解•
微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r2_3r•2=0的特征根为ri=1,a=2,f（x）=2ex的’=1为特征方程的单根，则原方程的特解为'
/二Axex,
代入原方程中得A--2,齐次线性微分方程的通解为丫二Gex•C2e2x,所以原方程的通解
为
y二丫'
=GexC2e2x-2xex.
四、计算下列各题（每小题6分，共18分）
221•求函数f（x,y）二4（x-y）-x-y的极值.
&
亠十上”fx（x,y）=0'
x=2
由于fx（x,y）=4—2x，fy（x,y）=—4—2y，令」£
/,得驻八、、丿,
fy（x,y）=0y=-2
又A=fxx（x,y）=-2,B=fxy（x,y）=0,C=fyy（x,y）=-2，及（B-AC）（2,_2）=-4,
则点（2,-2）位极大值点，极大值为
f（2,-2）=4[2-（-2）]-22-（-2）2=8.
近（一1）'
'
31
则收敛半径R=2.又当t=-2时，级数收敛，当t=2时，级数发散，所以r[-2,2），即级数的收敛域为[-1,3）.
xc2z
3•设z二sin（xy）•「（x,），其中（u,v）具有二阶偏导数，求’一
yc^cy
~=ycos（xy）\（x,—）'
—2（x,-）,
xyyy
五、（本题5分）求函数f（x,y）=x2-y22在椭圆域^{（x,y）|x2y<
1}上的最
4
大值和最小值.
fx（x,y）=0解：
由于fx（x,y）=2x,fy（x,y）=—2y，令」，在D内求得驻点（0,0）.
fy（x,y）=0
在D的边界上，设
222y
F（x,y,）二x-y2…（x1），
（1）
⑵
（3）
Fx（x,y,人）=2x+28=0
*Fy（x,y,九）=—2y+—丸y=0
F^x,y,九）=x2+才一1=0
当X式0，由
（1）得九=-1,代入
（2）得y=0,在代入（3）得;
同理当
甘0
■r~
由于
f（0,0）=2，f（_1,0）=3，f（0,一2）=-2，
所以最大值为3，最小值为-2.
六、（本题5分）设在上半平面D={（x,y）|y0}内，函数f（x,y）具有连续偏导数，且
对任意的t0都有f（tx,ty）=t'
f（x,y），证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线
L,都有
Lyf（x,y）dx-xf（x,y）dy=0.
由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，
lyf（x,y）dx-xf（x,y）dy
二-..[-f（x,y）-xfx（x,y）-f（x,y）-yfy（x,y）]dxdy
D1
=[-2f（x,y）-xfx（x,y）-yfy（x,y）]dxdy（*）
由于函数f（x,y）具有连续偏导数，且对任意的t.0都有f（tx,ty）二tf（x,y）,
t2f（x,y）二f（tx,ty）
上式两端对t求导有
2tf（x,y）二xf；
（tx,ty）yf2（tx,ty）
特取t=1得
2f（x,y）=xfx（x,y）yfy（x,y）
由（*）式既有
Lyf（x,y）dx-xf（x,y）dy
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