西安工业大学高数期末考试题附答案试题Word格式.docx

1、-1 .f （x, y） =2x2 ax xy2 2y在点（1,4.设函数-1）处取得极值，则常数 a =5.2 J2x2 1 1%1_y26.改变积分次序：l = 0dx f（x,y）dy= pdy 1寸 f （x, y）dx2 2 1 2，贝U （x + y ） ds = （1 -ds = ? 4 兀=三8.设二为曲面z = . x2 y2在0乞z乞1的部分，则! xdS = 0e 兀乞x 09.设f （x）= ,则其以2兀为周期的傅里叶级数在x =兀处收敛于 1, 0 兰X 兀，10.设y1, y2, y是微分方程 9 p（x）y q（x）y二f （x）的三个不同的解，且 =常y2 -

2、y3数，则微分方程的通解为 C1（y1 _ y2） C2（y y3p y,.11.函数f（x） = 1 展开为x的幕级数的形式为 7yXn X，（-2, 2）2x n2n4112.微分方程y y = xeX的通解为 Cx - xeXx 二、计算下列各题（每小题 6分，共18分）解：dz , yx-y . . xy（ ）f1 2 f2 e （y xy ）dx xX （X）（x） ” xy m 心”二 f1 2 f2 exy（ :（x） X : （x）X1设z二f（y,exy），y = （x），其中f,均为一阶可微函数，求xdzdx1 2 22求曲面尹y）与平面所围立体的体积所围立体在xoy面的投

3、影域D：x2 y2 _4，所围立体的体积 （x2 y2）-2 dxdy = 2 I idxdy-1丿 D 22 2 23.在曲面x 2y 3z =66上第一卦限部分求一 点，使该点的切平面与 已知平面设曲面在第一卦限的切点的坐标为 M （x, y, z），令则切平面的法向量F （x, y,z） = x2 2y2 3z266，n =（Fx,Fy,Fz）M =（2x, 4y, 6z）,已知平面x y z = 1的法向量（1, 1, 1）依题意n/ni，即空=41=6z 令 t1 1 1代入曲面方程中解的x =6, y =3, z=2，即切点坐标为 M （6, 3, 2）.三、计算下列各题（每小题

4、6分，共18分）1设门是由锥面z= , x2 y2与半球面z= .1 -x2- y2围成的空间区域，二是门的整个边界的外侧，求曲面积分 jxdydz- ydzdx zdxdy.已知 P（x, y,z）=x , Q（x, y,z）=y , R（x, y,z） = z，由高斯公式有cP cQ cRi i xdydz ydzdx zdxdy = （ ）dv r r r L、x _y _z= 3 ! i idv = 3 dr 4d ；r2sin ： drQ=3 2 二（1 2） =（2-、2）二2 313 5 72.写出级数-飞 n 的通项，判别该级数的敛散性 .若级数收敛时，试求其和2 2 2 2所

5、以S1（x）l3求微分方程 S 2些=2的通解微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r2 _3r 2=0的特征根为 ri =1, a =2 , f（x） =2ex的=1为特征方程的单根，则原方程的特解为 /二Axex,代入原方程中得 A- -2,齐次线性微分方程的通解为 丫二Gex C2e2x,所以原方程的通解为y 二丫 =Gex C2e2x -2xex.四、计算下列各题（每小题 6分，共18分）2 2 1求函数 f （x, y）二 4（x - y） - x - y 的极值.& 亠十上 ”fx（x,y） =0 x= 2由于 fx（x, y） = 4 2x， fy （x, y） = 4 2y，

6、令/ ,得驻八、丿 ,fy（x, y） = 0 y = -2又 A = fxx （x, y） = -2 , B = fxy （x, y） = 0 , C = f yy（x, y） = -2，及（B - AC）（2,_2）= -4 ,则点（2, -2）位极大值点，极大值为f（2, -2） =42-（-2） -22 -（-2）2 = 8.近（一1） 3 1则收敛半径R = 2 .又当t = -2时，级数收敛，当t = 2时，级数发散，所以 r -2, 2），即级数的收敛域为-1, 3）.x c2z3设z二sin（xy） （x,），其中（u, v）具有二阶偏导数，求 一y ccy =y cos（xy

7、） （x, ） 2（x,-）,x y y y五、（本题5分）求函数f （x, y） = x2 - y2 2在椭圆域 （x, y）| x2 y 1上的最4大值和最小值.fx（x, y） = 0 解：由于fx（x,y）=2x, fy（x,y） = 2y，令 ，在D内求得驻点（0,0）.fy（x, y） = 0在D的边界上，设2 2 2 yF（x, y,）二 x-y 2 （x 1），（1）（3）Fx （x, y,人）=2x + 28 = 0*Fy（x,y,九）=2y + 丸y =0Fx, y,九） = x2 + 才 一1 = 0当X式0，由（1）得九=-1,代入（2）得y = 0 ,在代入（3）得;

8、同理当甘0r由于f（0,0） =2， f（_1,0） =3， f（0, 一2）= - 2，所以最大值为3，最小值为- 2 .六、（本题5分）设在上半平面 D =（ x, y）| y 0内，函数f （x, y）具有连续偏导数，且对任意的t 0都有f （tx,ty） =tf（x, y），证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有Lyf（x,y）dx - xf （x, y）dy = 0.由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，l yf （x, y）dx -xf （x, y）dy二- . .-f （x, y） -xfx（x, y） - f（x, y） - yfy（x, y）dxdyD1=-2f （x, y） -xfx（x, y） - yfy（x, y）dxdy （*）由于函数f（x, y）具有连续偏导数，且对任意的 t . 0都有f（tx,ty）二t f （x, y）,t2f（x,y）二 f（tx,ty）上式两端对t求导有2tf （x, y）二 xf；（tx,ty） yf2（tx,ty）特取t =1得2f （x,y） =xfx（x,y） yfy（x,y）由（*）式既有Lyf（x, y）dx -xf（x, y）dy