《三角恒等变换章末总结》教师版.doc

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《三角恒等变换》章末总结

08.10.10

一、教学目的：

对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结，对重点、热点题型进行归纳总结。

二.重点、难点：

公式的灵活应用

三、知识分析：

1、本章网络结构

2、要点概述

（1）求值常用的方法：

切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如

是的半角，是的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：

①“给角求值”：

一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：

给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：

实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：

，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）化简三角函数式常有两种思路：

一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：

①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。

3、题型归纳

（1）求值题

例1.已知，，且，求。

分析：

由已知条件求，应注意到角之间的关系，，可应用两角差的余弦公式求得。

解：

由已知，得

又

由，得

又

由，得

点评：

<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键；

<2>常见角的变换：

，等。

（2）化简题

例2.化简：

，其中。

分析：

式中有单角α与半角，可用倍角公式把α化为。

解：

原式

∴原式

（3）证明题

例3.求证：

分析1：

从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左边。

证法1：

右边

∴原命题成立

分析2：

由配方，得。

将左边约分，达到化简的目的。

证法2：

左边

∴原命题成立

分析3：

代数证明中的作差法也适用于三角证明。

证明3：

左－右

∴左＝右

∴原式成立

（4）与向量、三角形等有关的综合题

例4.平面直角坐标系内有点。

（1）求向量与的夹角θ的余弦；

（2）求的最值。

解析：

（1）∵

（2）

又

，即

【模拟试题】

一.选择题（每小题4分，共48分）

1.的值为（）

A. B. C. D.

2.可化为（）

A. B.

C. D.

3.若，且，则的值是（）

A. B. C. D.

4.函数的周期为T，最大值为A，则（）

A. B.

C. D.

5.已知，则的值为（）

A. B. C. D.

6.已知，则（）

A. B. C. D.

7.设，则（）

A.4 B. C. D.

8.的值是（）

A. B. C. D.

9.在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

10.要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）

A.30° B.45° C.60° D.正弦值为的锐角

11.已知向量，向量，向量，则向量与的夹角范围为（）

A. B.

C. D.

12.已知：

，则的值为（）

A. B.4 C. D.1

二.填空题（每小题3分，共12分）

13.已知，则_____________。

14.函数的最小正周期为_____________。

15.已知，且满足关系式，则

_____________。

16.已知。

若，则可化简为

_____________。

三.解答题（每小题10分，共40分）

17.求值：

18.已知函数

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；

（3）求函数的单调区间，并指出在每一个区间上函数的单调性。

19.若已知，求的值。

20.已知α、β为锐角，且。

求证：

[参考答案]

一.选择题：

1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D

7.D 8.C 9.A 10.B 11.D 12.C

二.填空题：

13. 14.15. 16.

三.解答题：

17.解：

原式

18.解：

（1）

（2）当

即时，

当

即时，

（3）当

即时，单调递增。

当

即时，单调递减。

故的单调递增区间为

的单调递减区间为

19.解法1：

，则

从而

故原式

解法2：

原式

又

即

则

故原式

20.证法1：

由已知

∵α、β为锐角，

证法2：

由已知条件得：

又∵α、β为锐角，即

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