第十章曲线曲面积分习题及解答Word文档格式.docx
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I1=I2.
2.设L是连接A（1,0）与B（0,1）两点的直线段，则JL（x+y）ds=.
2.
3.设L:
x=acost,y=asint（0EtE2n）,贝U（x2+y2）nds=
2na2a卡
4.设L:
x=acost,y=asint（0MtM2n）,贝U[（x2—y2）ds=
0.
5.设L是圆周x2+y2=1,则I=[Lx2ds=.
二.
6.设「x：
^cost,y=Ssint,z=et,上相应于t从0变到2的这段弧，则曲线积分l（x2-y2）ds=.
或（"
）.
2
7.设L为曲线y=4x上从点A（0,0）到点B（1,2）的弧段，
则ly,.1,xds=
3.
三、解答题
1.计算下列对弧长的曲线积分：
（1）[jixds其中为由直线y=x与抛物线y=x2所围区域的整个边界.
—（5562-1）.
12
（2）]Le&
Kds其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
ea2a二-2.
4
（3）1rx2yzds,其中「为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点（0,0,0）、（0,0,2）、（1,0,2）、（1,3,2）.
9.
⑷£
y2ds其中L为摆线一拱x=a（t-sint）,y=a（1-cost）（0WtW2n）.
22x=a（costtsint）
（5）J（x2+y2）ds其中L为曲线V（0<
t<
2n）.
Ly=a（sint-tcost）
2二2a3（12二2）.
10.2对坐标的曲线积分
1.设AB为由A（0,n）到B（n,0）的直线段，则JABsinydx+sinxdy=（）.
5.设f（u）连续可导，L为以原点为心的单位圆，则必有（）.
（A）[jLf（x2+y2）（xdx+ydy）=0;
（B）乩f（x2+y2）（xdy+ydx）=0
（C）ULf（x2y2）（dxydy）=0；
（D）在f（x2y2）（xdxdy）=0.答（A）.
6.设C是从O（0,0沿折线y=1—x—1到A（2,0）到的折线段，则
xdy-ydx=（）
C
（A）0；
（B）-1;
（C）-2;
（D）2.答（C）.
1.L为xoy平面内直线x=a上的一段，则］LP（x,y）dx=.
2.设L为y=x2上从0（0,0）到A（2,4）的一段弧，则［（x2—y2）dx=.
-笆
15
3.设L为y=x2上从O（0,0）到A（2,4）的一段弧，则［（x2—y2）dy=.
一竺
3
4.L为圆弧y=，4x—x2上从原点到A（2,2）的一段弧，则］xydy=.
44
4.
5.设L为圆周（x—a）2+y2=a2（a>
0）及x轴所围成的在第一象限的区域
的整个边界（按逆时针方向绕行工则fLxydy=
答:
二a3
6.设［jL（x-2y）dx+（2x+3y）dy=—9，其中L为xoy平面上简单闭曲线，方
向为逆时针.则L所围成的平面区域D的面积等于
1.计算］（x+y）dx+（y—x）dy,其中L为:
（1）抛物线y=x2上从（1,1）到（4,2）的一段弧；
（2）从点（1,1）到点（4,2）的一直线段;
（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线；
22
（4）曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧.
…3432
答案：
（1）;
（2）11;
（3）14;
（4）一.
33
冗
2.计算［ydx+xdy其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到二的
一段弧.
3.计算.（x+吗-（x-y）dy淇中l为圆周x2+y2=a2（方向按逆时针）.Lxy
-2二.
4.计算Jpdx十ydy十（x+y—1）dz其中F为从点（1,1,1）到点（2,3,4）的直
线段.
13.
5.计算IL（x2—2xy）dx+（y2—2xy）dy,其中L是y=x2上从点（—1,1）到点（1,1）的一段弧.
14
-14.
10.3格林公式
一、选择题
1.设C是圆周x2+y2=R2,方向为逆时针方向，则[Jc—x2ydx+xy2dy用格林公式计算可化为（）.
2一R32-R2
（A）』dH』rdr;
（B）fdH]rdr；
0'
00'
0'
27.R「..2?
.R、
（C）Jod0fo-4rsinOcosOdr;
（D）fodOfoRrdr.答（A）.
2.设L是圆周x2+y2=a2,方向为负向
则UL（x3—x2y）dx（xy2_y3）dy=（）.
2-4
（A）——a3;
（B）-na4;
（C）;
（D）—a4.答（D）.
32
3.设L是从O（0,0沿折线y=2—x—2|至ijA（4,0）到的折线段，则
（A）8;
（B）-8；
（C）-4;
（D）4.答（B）.
4.设P（x,y）,Q（x,y）在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，则
D内恒有（）.
LPdx+Qdy在D内与路径无关的充分必要条件是在
（B）—=0;
二x二y
:
P二Q
（D）——^0.
不含原点在内的简单闭曲线
Lxd4ydx=（）.
Lx4y
（A）4n;
（B）n;
（C）2n；
（D）0.答（D）.
6.设L为一条包含原点在内的简单闭曲线，则Ixdy—ydx=（）.
Lx24y2
（A）因为学=之，所以I=0;
（B）因为^QW不连续所以I不存在；
二x；
y二x二y
沁：
P
（C）2n;
（D）因为、#——,所以沿不同的L,I的值不同.答（C）.
二x二y
7.表达式P（x,y）dx-Q（x,y）dy为某函数U（x,y）的全微分的充分心要条件
是（）.
（A）
答（D）.
（C）史二-卫二xy
8.已知但土aydxjdy为某函数U（x,y）的全微分，则a=（）.
（xy）2
（B）2;
（C）-1;
（D）1.答（B）.
9.设L是从点A（1,1）到点B（2,3）的直线段,
贝U（x3y）dx（y3x）dy=（）.
232
（A）1（x3）dx1（y6）dy；
（B）1[（x6x）（2x3x）]dx；
23y-12
（C）1（3x1）dx1（y3.2__）dy；
（D）1[（3x-1）（5x1）]dx.
答（A）.
10*.设f（x）连续可导，且f（0）=1，曲线积分
（；
；
）
I=J（o4）3yf（x）tanxdx-f（x）dy与路径无关，则f（x）=（）.
（A）1+cosx;
（B）1—cosx;
（C）cosx;
（D）sinx.答（C）.
1.设区域D的边界为L,方向为正向，D的面积为仃.
则[Xxdy一ydx=
2二.
5»
x22
2.设f（x,y）在D:
一十yE1上具有二阶连续偏导数，L是D的边界正向
4
则[fy（x,y）dy一[3y+fx（x,y）]dx=.
6二.
3.设L是圆周x2+y2=9,方向为逆时针，
贝UQ（2xy-y）dx（x2-4x）dy=.
-27二.
4.设L为闭曲线|x|十|y|=2方向为逆时针，a,b为常数，
则门噌曾x必|x|+|y|
4（ab）.
5.设ABCDA为以点A（1,0）,B（0,1）,C61,0）D（0,1为顶点的正方形逆时
针方向一周，则口
dxdy
ixy
6.设L为圆周x2+y2=1上从A（1,0）到B（0,1）再到C（—1,0）的曲线段，则
Ley2dy=.
（2,2）2
7.f（0,0）2xydx+（x—3）dy=.
2.
8.设L为直线y=x从0（0,0）至ijA（2,2）的一段，
22
则eydx2xyeydy=
2e4.
9*.设L为抛物线上一段弧，试将积分JLP（x,y）dx+Q（x,y）dy化为对弧长的曲线积分，其中P（x,y）,Q（x,y）在L上连续.
fds.
L14x2
10*.设f（x）连续可导，且f（0）=0，曲线积分
f（x）-ex]sinydx一f（x）cosydy与路径无关，贝Uf（x）=
x.x
上二^
1.计算何组二噂,其中L为圆周（x—1）2+y2=2的正向.
L2（xy）
F.
2.计算［L（2x—y+4）dx+（5y+3x—6）dy，其中L是顶点分别为（0,0）、（3,0）和（3,2）的三角形正向边界.
12.
3.计算［（2xy3-y2cosx）代（1ysixn2x32y，㈱中L为抛物线
2'
2x=ny2上由点（0,0）至ij|-,1|的一段弧.
」
4.计算[（x2—y）dx—（x+sin2y）dy,其中L是圆周y=^2x-X2上由（0,0.ij（1,1）的一段弧.
_1+画2
64
5.证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：
⑴：
：
（xy）dx（x-y）dy.
（1,1）
5
5.
（2,
（1）4c、，，2.3、，
（2）（1,0）（2xy-y3）dx（x-4xy）dy.
6.验证下列P（x,y）dx+Q（x,y）dy在整个xoy平面内是某函数u（x,y）的全微分，并求函数u（x,y）.
（1）（x2y）dx（2xy）dy.
（2）2xydxxdy.
（3）（2xcosyycosx）dx（2ysinx-xsiny）dy.22
xy999.
（1）—2xy-^;
（2）xy;
（3）xcosyysinx.
7.用格林公式计算fL（x—x2y）dx+（xy2-y3+2）dy,其中L是圆周
y=以-x2上由A（2,0）到O（0,0）的一段弧.
3二-2.
8.用格林公式计算[（2xy—y4+3）dx十（x2+x—4xy3）dy,其中L是圆周
y=J1-x2上由A（1,0）到B（—1,0）的一段弧.
一冗一
―-6.
104对面积的曲面积分
1.设工是xoy平面上的一个有界闭区域Dxy,则曲面积分口f（x,y,z）dS与
二重积分17f（x,y）dxdy的关系是（）.
Dxy
（A）f（x,y,0）dS=Ilf（x,y）dxdy；
（B）f（x,y,0）dS=—f（x,y）dxdy；
▼Dxy、Dxy
（C）!
!
f（x,y,0）dS.!
f（x,y）dxdy;
（D）IIf（x,y,0）dSiIIf（x,y）dxdy.'
DxyDxy
2.设£
是抛物面z=x2+y2（0WzE4）,则下列各式正确的是（）.
（A）Ilf（x,y,z）dS=Ilf（x,y,x2y2）dxdy;
'
x2.y2<
（B）!
f（x,y,z）dS=!
f（x,y,x2y2）14x2dxdy;
、：
x2.y2吧
（C）f（x,y,z）dS=f（x,y,x2y2）14y2dxdy;
x2y2反
（D）JJf（x,y,z）dS=Hf（x,y,x2+y2）Jl+4x2+4y2dxdy.答（D）.x2y2%
3.设£
x2+y2+z2=a2（z之0）,£
i是£
在第一卦限中的部分，则有（）.
（A）xdS=4xdS;
（B）ydS=4xdS;
<
、、；
'
、%
（C）JfzdS=4jfzdS；
（D）jjxyzdS=4口xyzdS.答（C）.
4.设工是锥面z=&
+y2（0EzEl）,则ff（x2+y2）dS=（）.
Z
2：
-.12
（A）..（xy）dS=0d"
「rdr；
、・00
二1c
（xy）dS=J0d0rrdr;
（C）JJ（x2+y2）dS=V2i%日"
2dr;
Z
（D）口（x2+y2）dS=e，%日]：
r2,rdr；
.答（D）.
、
一xyz
5.设Z为平面一十」十一=1在第一卦限内的部分,
234
则z2x,ydS=（）.
3
（A）4!
dxdy；
（B）4年dxdy；
DxyDxy
61236132
（C）4'
丁10dxi0dy；
（D）4-fodxtdy；
.答（B）.
6.设Z为曲面z=2—（x2+y2）在xoy平面上方的部分，则ffzdS=（）.
2—2-2_2-2
（A）0du0（2—r2）rdr；
（B）0d*o（2—r2）.14r2rdr；
2--.2„2-.2„„
（C）〕0de1。
（2-r2）rdr;
（D）J。
d13]0（2—r2）/+4r2，rdr.答（D）.
7.设工为球面x2+y2+z2=2z,则下列等式错误的是（）.
（D）[|（x+y）z2dS=0.答（C）.
-z2=a2,则口（x2y2-z2）dS=
4二a4.
2.设Z为球面x2+y2+z2=a2,则]jfx2y2z2dS=
3.设Z为上半球面z=Ja2-x2-y2，则ffzdS=
t
二a3.
4.设£
为下半球面z=-7a2-x2-y2，则JJzdS=z
5设Z为球面x2+y2+z2=a2/uq「zdS=.
2二a3.
6.设工为上半球面z=Ja2-x2-y2，则JJxdS=Z
7
yxdS=
.设z为平面x+W=i在第一卦限部分，则ni'
z+-|232-i.3
222.
8.设工为平面x+y+z=1在第一卦限部分，则『zdS=
且
6
9.设工为平面2x+2y+z=6在第一卦限部分，则||（5-2x—2y—z）dS=
z
.27.
1.计算曲面积分口f（x,y,z）dS淇中工为抛物面z=2—（x2+y2）在xoy面
上方部分，f（x,y,z）分别如下：
（1）f（x,y,z）=1；
（2）f（x,y,z）=xy；
（3）f（x,y,z）=2z.
⑴
（2）
149
（3）
30
2.计算Q[（x2+y2）dS,其中£
是锥面z={
域的整个边界曲面.
1一J2
J2n
2-
10
x2+y2及平面z=1所围成的区
3.计算ff（x2+y2）dS淇中£
是锥面z2=x2z
得的部分.
9二.
2、
+y被平面z=0和z=3所截
4.计算[[Iz+2x+4yjdS,其中工为平面<
3
分.
--=1在第一卦限中的部
34
4.61.
5.计算“（x+y+z）dS,其中£
为球面x2Z
的部分.
222.
y+z=a上z±
h（0<
h<
a）
a二（a2-h2）.
10.5对坐标的曲面积分
1.设Z是球面x2+y2+z2=a2外侧，Dxy:
x2+y2Ea2,则下列结论正确的
（A）"
ftz2dxdy=JJ（a2—x2-y2）dxdy;
二Dxy
（B）[Jz2dxdy=2ii（a2-x2-y2）dxdy;
“Dxy
（C）]z2dxdy=0;
（D）（A）（B）（C）都不对.答（C）.
二
2.设Z为柱面x2+y2=a2被平面z=0及z=3所截得的部分外侧，则
iizdxdyxdydzydxdz=（z
（A）3!
zdxdy;
（C）3iiydxdz0;
（B）3!
.!
xdydz;
（D）11xdydzydxdz.答（D）.
为柱面x2+y2=a2被平面z=0及z=3所截得的部分外侧在第
卦限内的部分，则jjzdxdy+xdydz+ydxdz=（）.
（A）31dy；
口dx；
（B）203dz：
.▼dy；
312312
（C）J0dz]0Ji—xdx;
（D）J0dz]0Ji—ydx.答（B）.
4.设g:
x2+y2+z2=a2,Zi:
z=Ja2—x2—y2,工取外侧,3取上侧.下
列结论正确的是（）.
（A）（x2y2z2）dxdy=a2dxdy;
i
（B）（x2y2z2）dxdy=2a2iidxdy;
（C）Jf（x2+y2+z2）dxdy=2a2口dxdy；
.x2.y2W
5.已知Z为平面x+y+z=i在第一卦限内的下侧，则Jfzdxdy=（）.
s
ii_xii_x
（A）-0dx,0（i-x-y）dy；
（B）0dx0（i-x-y）dy；
ii-xii-x
（C）10dy』0（i-x-y）dx；
（D）-f0dyf0（i-x-y）dx.答（A）.
6.曲面积分ffz2dxdy在数值上等于（）.
z«
（A）向量z2;
穿过曲面Z的流量;
（B）密度为z2的曲面Z的质量；
（C）向量z2k穿过曲面£
的流量;
（D）向量z2j穿过曲面£
的流量.答（C）.
i.设工是xoy平面上的闭区域40MxM1的上侧，
0<
y<
1
贝U（xyz）dydz.
Z——
工0ExE1一，一
7.设工是xoy平面上的闭区域\的上侧，
y<
贝U（xyz）dxdy=
Z一
1.
8.设Z为球面x2+y2+z2=a2取外侧，则［g（x2+y2+z2）dxdy=..
9.设£
为球面x2+y2+z2=a2取外侧，则惇zdxdy=..
4二a3.
10设工为球面（x-a）2+（y—b）2+（z—c）2=R2取外侧，则曲面积分
“zdxdy=.
Lt
4二R3.
11
取外侧，贝U|M（x2+y2+z2）dxdy=
设Z为球面x2+y2+z2=a2
1.计算JJx2y2zdxdy淇中E是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧.
二R7.
三r742-642
453753105
2.计算口zdxdy+xdydz+ydzdx,其中Z是柱面x2+y2=1被平面z=0及X
z=3所截得的在第一卦限内的部分的前侧.
3二.
3.计算［^xzdxdy十xydyd才yNd俎中Z是平面x=0,y=0,z=0,及
x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧^
8
4*.把对坐标的曲面积分ffP（x,y,z）dydz+Q（x,y,z）dzdx+R（x,y,z）dxdy
化成对面积的曲面积分，其中：
（1）£
是平面3x+2y+2>
/3z=6在第一卦限部分的上侧.
£
是抛物面z=8—（x+y）在xoy面上万部分的上侧
106高斯公式
1.设空间闭区域C的边界是分片光滑的闭曲面£
围成，工取外侧，则C的体积V=（）.
（A）-[ydydz
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