第十章曲线曲面积分习题及解答Word文档格式.docx

1、I 1 = I 2.2.设L是连接A（1,0）与B（0,1）两点的直线段，则JL（x+y）ds =.2 .3.设 L: x =acost, y =asint （0 Et E2n）,贝U （x2 + y2）nds =2na2a卡4.设 L: x = acost, y =asint （0 Mt M2n）,贝U （x2 y2）ds =0.5.设 L 是圆周 x2+y2 =1,则 I =Lx2ds=.二.6.设x： cost,y =Ssint,z = et,上相应于t从0变到2的这段弧，则曲线 积分 l （x2 - y2）ds = .或（）.27.设L为曲线y =4x上从点A（0,0）到点B（1,2）

2、的弧段，则 l y,.1 , xds =3.三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）jixds其中为由直线 y = x与抛物线y = x2所围区域的整个边界.（5 5 6 2 -1）.12（2）Le&Kds其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内 所围成的扇形的整个边界.ea 2 a二-2.,4（3）1rx2yzds,其中为折线 ABCD ,这里 A,B,C,D依次为点（0,0,0）、 （0,0,2）、（1,0,2）、（1,3,2）.9. y2ds其中 L 为摆线一拱 x = a（t-sint）, y =a（1 -cost） （0 Wt W2n）.2 2 x =a（co

3、st tsint）（5）J （x2 +y2）ds其中 L 为曲线 V （0t 0）及x轴所围成的在第一象限的区域的整个边界（按逆时针方向绕行 工则fL xydy =答:二 a36.设jL（x-2y）dx + （2x+3y）dy =9，其中L为xoy平面上简单闭曲线，方向为逆时针.则L所围成的平面区域D的面积等于1 .计算（x+y）dx+（y x）dy,其中 L为:（1）抛物线y=x2上从（1,1）到（4,2）的一段弧；（2）从点（1,1）到点（4,2）的一直线段;（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线； 2 2（4）曲线 x =2t2 +t +1,y =t

4、2 +1 上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧. 34 32答案：（1） ; （2） 11; （3） 14; （4） 一 .3 3冗2.计算ydx+xdy其中L为圆周x = Rcost, y = Rsint上对应t从0到二的一段弧.3.计算. （x +吗-（x-y）dy淇中l为圆周x2 +y2 =a2（方向按逆时针）. L x y-2 二.4.计算Jpdx十ydy十（x +y1）dz其中F为从点（1,1,1）到点（2,3, 4）的直线段.13.5.计算 IL（x2 2xy）dx+（y2 2xy）dy ,其中 L 是 y=x2 上从点（1,1）到点 （1,1）的一段弧.14-14. 10. 3

5、格林公式一、选择题1.设C是圆周x2+y2 =R2,方向为逆时针方向，则Jcx2ydx + xy2dy用格 林公式计算可化为（）.2 一 R 3 2 - R 2（A）dHr dr ; （B） f dH r dr ；0 0 0 0 27 . R . . 2? . R 、（C） Jo d0fo -4r sinOcosOdr ; （D） fo dOf o R rdr.答（A）.2.设L是圆周x2+y2 =a2 ,方向为负向则 UL（x3 x2y）dx （xy2 _y3）dy=（）.2- 4（A） a3; （B） -na4; （C） ; （D） a4. 答（D）.323.设L是从O（ 0, 0沿折线y

6、 =2 x 2|至ij A（4,0）到的折线段，则（A）8; （B） -8； （C） -4; （D） 4. 答（B）.4.设P（x,y）,Q（x,y）在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，则D内恒有（ ）.L Pdx +Qdy在D内与路径无关的充分必要条件是在（B） =0;二x 二 y:P 二 Q（D） 0.,不含原点在内的简单闭曲线Lxd4ydx=（）.Lx 4y（A） 4n; （B） n ; （C） 2n； （D） 0. 答（D）.6.设L为一条包含原点在内的简单闭曲线 ，则I xdyydx =（ ）.L x2 4y2（A）因为学=之，所以I =0; （B）因为QW不连续所以I不存在；二x

7、；y 二 x 二 y沁 ：P（C） 2n ; （D）因为、#,所以沿不同的L, I的值不同.答（C）.二 x 二 y7.表达式P（x,y）dx -Q（x, y）dy为某函数U （x, y）的全微分的充分心要条件是（）.（A）答（D）.（C）史二-卫 二 x y8.已知 但土aydxjdy为某函数U（x,y）的全微分，则a=（ ）.（x y）2 （B） 2; （C） -1; （D）1. 答（B）.9.设L是从点A（1,1）到点B（2,3）的直线段,贝 U （x 3y）dx （y 3x）dy =（ ）.2 3 2（A） 1（x 3）dx 1（y 6）dy； （B） 1 （x 6x） （2x 3x）

8、dx ；2 3 y-1 2（C） 1（3x 1）dx 1（y 3.2_）dy； （D） 1（3x-1） （5x 1）dx.答（A）.10*.设f（x）连续可导，且f （0） =1，曲线积分（；）I = J（o4）3 yf （x） tanxdx - f （x）dy 与路径无关，则 f（x）=（ ）.（A） 1 +cosx ; （B） 1 cosx ; （C） cosx ; （D） sin x. 答（C）.1.设区域D的边界为L,方向为正向，D的面积为仃.则X xdy 一 ydx =2二.5 x2 22.设f（x, y）在D: 一十y E1上具有二阶连续偏导数，L是D的边界正向4则fy（x, y）

9、dy 一3y + fx（x, y）dx =.6二.3.设L是圆周x2+y2 =9,方向为逆时针，贝U Q （2xy - y）dx （x2 -4x）dy = .-27 二.4.设L为闭曲线| x|十| y|=2方向为逆时针，a,b为常数，则门噌曾x 必 |x|+|y|4（a b）.5.设ABCDA为以点A（1,0）,B（0,1）,C61,0）D （0, 1为顶点的正方形逆时针方向一周，则口dx dyix y6.设L为圆周x2 +y2=1上从A（1,0）到B（0,1）再到C（1,0）的曲线段，则Ley2dy =.（2,2） 27. f（0,0） 2xydx+（x 3）dy =.2.8.设L为直线y

10、=x从0（0,0）至ij A（2,2）的一段，2 2则 ey dx 2xyey dy =2e4.9*.设L为抛物线上一段弧，试将积分JLP（x, y）dx + Q（x,y）dy化为对弧长 的曲线积分，其中P（x, y）,Q（x, y）在L上连续.fds.L 1 4x210*.设f（x）连续可导，且f （0） =0，曲线积分f （x） -exsin ydx 一 f （x）cos ydy 与路径无关，贝U f （x）=x .x上二1.计算何组二噂 ,其中L为圆周（x1）2 +y2 =2的正向.L 2（x y ）F .2.计算L（2x y+4）dx+（5y+3x 6）dy，其中 L 是顶点分别为（0

11、,0）、 （3,0）和（3,2）的三角形正向边界.12.3.计 算（2xy3 - y2 cosx ）代 （1 y sixn 2x32y ，中 L 为 抛物线22x=ny2上由点（0,0）至ij |-,1 |的一段弧.4.计算（x2 y）dx（x+sin2 y）dy ,其中 L 是圆周 y =2x- X2 上由 （0, 0.ij （1,1）的一段弧._1 +画26 45.证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： ：（x y）dx （x -y）dy .（1,1）55.（2,（1）4 c、， ，2 . 3、，（2） （1,0）（2xy-y 3）dx （x -4xy ）dy.6.验证下列P（x, y

12、）dx+Q（x,y）dy在整个xoy平面内是某函数 u（x, y）的全 微分，并求函数u（x, y）.（1）（x 2y）dx （2x y）dy.（2）2xydx x dy.（3）（2xcosy y cosx）dx （2 ysin x - x sin y）dy . 2 2x y 9 9 9 .（1） 2xy - ; （2） x y ; （3） x cosy y sinx.7.用格林公式计算 fL （x x2y）dx +（xy2 -y3 +2）dy ,其中L是圆周y = 以-x2上由A（2,0）到O（0,0）的一段弧.3 二-2.8.用格林公式计算 （2xyy4+3）dx十（x2+x4xy3）dy

13、 ,其中L是圆周y = J1 -x2 上由 A（1,0）到 B（1,0）的一段弧.一冗 一-6. 104对面积的曲面积分1.设工是xoy平面上的一个有界闭区域 Dxy,则曲面积分 口 f（x,y,z）dS与二重积分17 f （x, y）dxdy的关系是（ ）.Dxy（A） f（x, y,0）dS= I l f （x,y）dxdy； （B） f （x, y,0）dS = f （x, y）dxdy ； Dxy 、 Dxy（C） ! f （x,y,0）dS . ! f （x,y）dxdy; （D） II f （x,y,0）dS i II f（x, y）dxdy. Dxy Dxy2.设是抛物面z=x2

14、+y2（0 WzE4）,则下列各式正确的是（ ）.（A）Il f（x, y,z）dS= Il f（x, y,x2 y2）dxdy ; x2 .y2 （B）! f （x, y, z）dS= ! f（x,y,x2 y2）1 4x2dxdy;、： x2 .y2 吧（C）f（x,y,z）dS= f（x,y,x2 y2） 1 4y2dxdy;x2 y2 反（D）JJf（x,y,z）dS= H f （x, y,x2 +y2）Jl+4x2 +4y2dxdy.答（D）. x2 y2%3.设x2 +y2 +z2 =a2（z之0）,i是在第一卦限中的部分，则有（ ）.（A） xdS=4 xdS; （B） ydS

15、=4 xdS; 、； 、 %（C） JfzdS=4jfzdS； （D） jjxyzdS = 4 口xyzdS .答（C）.4.设工是锥面 z =& + y2（0 EzEl）,则 ff（x2 + y2）dS = （ ）.Z2：-. 1 2（A）.（x y ）dS = 0 drdr ；、 0 0二 1 c（x y ）dS = J0d0r rdr;（C）JJ（x2 +y2）dS = V2i%日2dr ; Z（D）口（x2 +y2）dS = e，%日：r2 ,rdr ；.答（D）.、一 x y z5.设Z为平面一十十一=1在第一卦限内的部分,2 3 4则 z 2x , y dS =（ ）. , 3（A

16、）4 !dxdy ； （B） 4 年 dxdy ；Dxy D xy61 2 3 61 3 2（C） 4丁10dxi0dy； （D） 4 - fodxtdy；.答（B）.6.设Z为曲面z=2（x2+y2）在xoy平面上方的部分，则ffzdS=（ ）.2 2 -2 _ 2- 2 （A） 0 du 0 （2r2） rdr； （B） 0 d*o（2r2） .1 4r2 rdr ；2 - -.2 2 - .2 （C）0 de 1。（2 -r2） rdr ; （D） J。d13 0 （2 r2）/ +4r2，rdr.答（D）.7.设工为球面x2 +y2 +z2 =2z,则下列等式错误的是（ ）.（D） |

17、（x + y）z2dS=0.答（C）.- z2 =a2,则 口 （x2 y2 - z2）dS =4二a4.2.设 Z为球面 x2+y2+z2 =a2,则jfx2y2z2dS =3.设Z为上半球面z = Ja2 -x2 -y2，则ffzdS =t二a3.4.设 为下半球面 z = -7a2 -x2-y2，则 JJzdS = z5设 Z为球面 x2 +y2 +z2 =a2/uqzdS= .2 二a3.6.设工为上半球面z=Ja2 -x2 - y2，则JJxdS = Z7y x dS =.设z为平面x+W=i在第一卦限部分，则niz+-| 2 3 2 - i. 32 22 .8.设工为平面x+y +

18、 z=1在第一卦限部分，则zdS =且69.设工为平面2x+2y+z=6在第一卦限部分， 则 |（5 -2x 2y z）dS =z.27.1.计算曲面积分 口 f（x,y,z）dS淇中工为抛物面z = 2（x2 + y2）在xoy面上方部分，f（x,y,z）分别如下：（1） f（x,y,z）=1； （2） f（x,y,z）=x y ； （3） f（x,y,z）=2z.（2）149（3）302.计算Q（x2 +y2）dS,其中是锥面z=域的整个边界曲面.1一 J2J2n2 -10x2 + y2及平面z = 1所围成的区3.计算ff（x2 +y2）dS淇中是锥面z2 =x2 z得的部分.9二.2

19、、+ y被平面z=0和z=3所截4.计算Iz+2x+4y jdS,其中工为平面 3分.-=1在第一卦限中的部3 44.61.5.计算“（x+y+z）dS,其中为球面x2 Z的部分.2 2 2 .y +z =a 上 zh（0ha）a二（a2 - h2）. 10. 5对坐标的曲面积分1.设Z是球面x2+y2 +z2 =a2外侧，Dxy: x2+y2 Ea2,则下列结论正确的（A）ft z2dxdy = JJ（a2 x2 - y2 ）dxdy ;,二 Dxy（B）J z2dxdy =2 i i （a2 -x2 -y2）dxdy;“ Dxy（C）z2dxdy=0; （ D ） （A） （B） （C）都

20、不对.答（C）.二2.设Z为柱面x2+y2=a2被平面z = 0及z =3所截得的部分 外侧，则ii zdxdy xdydz ydxdz =（ z（A） 3 ! zdxdy ;（C） 3 ii ydxdz0;（B） 3!.!xdydz;（D） 11 xdydz ydxdz. 答（D）.为柱面x2 +y2 =a2被平面z =0及z =3所截得的部分外侧在第卦限内的部分，则 jjzdxdy+xdydz+ ydxdz =（ ）.（A） 3 1dy ；口dx； （B） 2 03dz ： .dy ；3 1 2 3 1 2（C） J0dz0 Ji x dx; （D） J0dz0 Ji y dx. 答（B）

21、.4.设 g: x2 +y2 +z2 =a2, Zi: z = Ja2 x2 y2 ,工取外侧,3 取上侧.下列结论正确的是（ ）.（A）（x2 y2 z2）dxdy =a2 dxdy;i（B）（x2 y2 z2）dxdy=2a2 iidxdy;（C）Jf（x2 +y2+z2）dxdy=2a2 口 dxdy；. x2 .y2 W5.已知Z为平面x+y + z=i在第一卦限内的下侧，则Jfzdxdy = （ ）.si i _x i i _x（A） - 0dx,0 （i -x -y）dy ； （B） 0dx 0 （i -x -y）dy；i i -x i i -x（C）10dy0 （i -x-y）d

22、x； （D） -f0dyf0 （i-x-y）dx.答（A）.6.曲面积分ffz2dxdy在数值上等于（ ）.z （A）向量z2;穿过曲面Z的流量;（B）密度为z2的曲面Z的质量；（C）向量z2k穿过曲面的流量;（D）向量z2j穿过曲面的流量.答（C）.i.设工是xoy平面上的闭区域 4 0MxM1的上侧，0 y 1贝 U （x y z）dydz .Z 工0 Ex E1 一，一7.设工是xoy平面上的闭区域 的上侧，y/3z = 6在第一卦限部分的上侧.是抛物面z=8（x +y ）在xoy面上万部分的上侧 106高斯公式1.设空间闭区域 C的边界是分片光滑的闭曲面 围成，工取外侧，则C的 体积V =（ ）.（A） - ydydz