e的全称是自然对数的底.docx

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e的全称是自然对数的底，不是自然对数，自然对数是ln。

自然对数的底e，一般认为是欧拉（LeonhardEuler，1707-1783，瑞士）在研究微积分的时候发现的。

e=lim（1+1/x）^x，当x趋近于正无穷时的极值。

在计算中，一般取e=1+1/（1!

）+1/（2!

）+1/（3!

）....，越多项越准确。

与上次提到的圆周率相比，e对于人类的重要性并不像π那样显而易见。

但是e又是无处不在的。

-----------分割线-----------古人对e的认识公元前1700年左右，古巴比伦人就曾提出一个问题：

如果以20%的年利息贷款给别人，那么一年后你有多少钱？

这道题无非是一个简单的公式：

1x（1+0.2）^1=1.2如果每半年复利一次，则第一年的本利和为1x（1+0.2/2）^2=1.21如果每季度复利一次，则为1x（1+0.2/4）^4=1.21550625如果每月复利一次，则为1.2193910849每天复利一次，则为1.221335858如果每时、每分、每秒复利，第一年的本利和分别为1.2213999696、1.2214027117、1.2214027574。

从上面的计算可以看出，年率一定，分期复利，期数增加，本利和缓慢增大；但无论期数怎么增加，本利和并不会无限制地增大，而是有一个“封顶”，永远超过不了。

这个封顶就是时时刻刻都在复利时第一年的本利和，用数学语言来将就是期数趋向无穷大时第一年本利和的极限。

稍懂点微积分就能算出这个极限等于e^0.2=1.2214027581巴比伦人不知道这个连续复利的问题，很显然，在古代讨论这么大的小数是令人痛苦的。

-----------分割线-----------伯努利家族对e的贡献在1683年，瑞士著名数学家雅各·伯努利（JacobBernoulli,1654～1705）在研究连续复利时，才意识到问题须以极限方式来解决。

但是他只提出了一个式子，觉得这个数应该在2和3之间，并未得到完整的数据。

因为那时候，还没有极限的概念。

顺便说一句，伯努利家族3代人出了8位天才科学家。

这位雅各·伯努利醉心于赌博游戏中的输赢次数，并写出巨著《猜度术》。

他还解决了悬链线问题（1690年），曲率半径公式（1694年），“伯努利双纽线”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周问题”（1700年）等。

另外，他非常钟爱对数螺旋线，最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开始了。

他发现，对数螺线经过各种变换后仍然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线，以及与所有这些反射线相切的曲线（回光线）都是对数螺线。

他惊叹这种曲线的神奇，竟在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。

还有个约翰·伯努利，他除了解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版《积分学教程》（1742年）等工作外，还有个对人类数学界最大的功劳，那就是：

培养了一位好学生——欧拉。

学物理学的同学也听说过另一位伯努利：

丹尼尔·伯努利，他是上面一位约翰的儿子。

此人对流体动力学的贡献极大。

并研究弹性弦的横向振动问题（1741～1743年），提出声音在空气中的传播规律（1762年）。

他的论著还涉及天文学（1734年）、地球引力（1728年）、湖汐（1740年）、磁学（1743、1746年），振动理论（1747年）、船体航行的稳定（1753、1757年）和生理学（1721、1728年）等。

扯远了，我们还是回到自然对数上来。

-----------分割线-----------天才欧拉的诞生现在，该轮到欧拉出场了。

之前，我们先用些篇幅介绍这位欧拉先生。

欧拉的一生，称得上传奇。

他不到十岁就开始自学《代数学》，要知道那时候很多欧洲的骑士还是大字不识呢。

他在大学时得到约翰·伯努利的提携，之后丹尼尔·伯努利又将他推荐到俄国彼得堡科学院。

可以说，伯努利家族是欧拉的贵人。

欧拉可以用3天的时间计算出彗星轨道。

1771年彼得堡遭受大火灾，欧拉的书房毁于一旦。

但是已经失明的他居然凭借记忆，用一年的时间重写出大部分论文。

欧拉写下886本书籍和论文，他死后彼得堡科学院花了47年才整理完毕。

欧拉可以背诵前100个质数的前10次幂。

欧拉创立了许多新的符号：

课本上常见的如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f（x）（1734年）等几乎每个数学领域都有欧拉的名字：

从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。

他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作。

歌德巴赫猜想也是在他与歌德巴赫的通信中提出来的。

欧拉还首先完成了月球绕地球运动的精确理论，创立了分析力学、刚体力学等力学学科，深化了望远镜、显微镜的设计计算理论。

欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算，并且最先发现了对数是无穷多值的。

他证明了任一非零实数R有无穷多个对数。

欧拉使三角学成为一门系统的科学，他首先用比值来给出三角函数的定义，而在他以前是一直以线段的长作为定义的。

欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子。

欧拉对整个三角学作了分析性的研究。

在这以前，每个公式仅从图中推出，大部分以叙述表达。

欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式，还获得了许多新的公式。

欧拉用a、b、c表示三角形的三条边，用A、B、C表示第个边所对的角，从而使叙述大大地简化。

欧拉得到的著名的公式,又把三角函数与指数函联结起来。

以上一长段，各位不想看就不看吧，这些在各位的高中数学中都学过。

在老师的指导下，欧拉很快提出了用无穷阶乘的倒数和来表示自然对数的底的公式。

有了公式，就容易很多。

据说他靠手算就算到了小数点之后23位。

考虑到这位牛人记忆力超群，这样的事情似乎也很正常。

自然对数的出现，不但使悬链方程迎刃而解，而且对于当时很热门的天文学——西方的星象学——也具有重要意义。

对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法，只要查阅对数表就可以了。

同时，对数尺也应运而生。

当然在计算器普及的今天，已经很少有人用这种东西了。

-----------分割线-----------C版本#includeintmain（）{doubleA（double）;doublee=1.0,f;doublen=1.0;while

（1）{f=1.0/A（n）;if（f>0.0000001）{n++;e=e+f;}elsebreak;}printf（"%0.16f\n",e）;return0;}doubleA（doublea）{doubleb=1,c=a;for（;b

。

嘿嘿有点混

数学表示方法编辑

自然对数的一般表示方法为lnx。

数学中也常见以logx表示自然对数。

若为了避免与基为10的常用对数lgx混淆，可用“全写”㏒ex。

[1] 

概念编辑

它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值

有关概念

自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。

我们定义：

当n趋于无限时，

.

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。

对数函数

当自然对数

中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作

（x为自变量，y为因变量）.

e的级数展开式

易证明：

函数展开为x的幂级数（Maclaurin级数）是

+1；

特别地，当x=1时就得到了e的展开式

+1

对数的生物学意义编辑

在连锁交换定律中，重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，即重组率=重组配字数/总配子数（亲组合+重组和）×100%，重组是交换的结果，所以重组率（recombinationfraction）通常也称作交换率（crossingoverpercentage）或交换值。

可是仔细推敲起来，这两个数值是不尽相同。

如果我们假定，沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随机确定的。

那么可以这样认为，如果两个基因座相距很近，由交换而分开较少，重组率就低；如果两基因座离开很远，交换发生的次数较多，重组率就高。

所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离，把基因顺序地排列在染色体上，绘制出基因图。

生物学家就是这样做的。

如果有关的两个基因座在染色体上分开较远，举例说重组率在12%-15%以上，那么进行杂交试验时，其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换，形成的配子却仍然是非重组型的。

这时如简单地把重组率看作数交换率，那么交换率就要被低估了。

因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的，所以如交换率低估了，图距自然也随之缩小了，这就需要校正。

校正的公式较多，可根据自己得出的连锁与交换试验的结果，提出单是适用于某一生物的校正公式。

一般来说，一个合适的校正公式应该满足下列两个条件：

①最大的重组率不超过0.5或50%，因为这数值说明两个基因之间遵循自由组合定律；②较小的重组率应该大致上是加性的。

常用的的较简单的公式是Haldane推导的作图函数R=[1-e^（-2x）]/2，式中R代表重组率，x代表交换率。

这公式表示重组率与图距的关系，而图距的单位是1%交换率。

说明一下Haldane曲线的几点性质：

①曲线的起始一小段基本上是直线，斜率接近于1，重组率可以直接看作是图距，所以重组率是加性的。

②在曲线的曲度较大的区域，重组率就不是加性的了。

当图距比较大，两端的基因的重组率就要小于相邻两个重组率之和，即Rab+Rbc>Rac，例如abc是三个连锁基因，两两间的重组率R值是非加性的，0.23+0.32>0.40。

吧Haldane公式加以改写：

x=-ln（1-2R）/2，把上面R值代入公式，求得x值如下：

在0.31+0.51，稍大于0.81，x值大致上成为加性的了。

③标记基因间的图距很大时，重组率与图距无关，接近或等于1/2。

所以重组率大致代表交换率，但当重组率逐渐增大时，重组率往往小于交换率，需要加以校正。

在实际应用时，要看研究的生物而定。

像黑腹果蝇那样，各染色体上定位的基因已经很多，标记的区域已划分得很细，就无需用作图函数来校正了。

但对一种新的生物开始进行连锁研究，可供利用的标记基因很少，这是最好用作图函数来加以校正，以得到更接近实际的图距。

历史编辑

约翰·纳皮尔在1614年以及JostBürgi（英语：

JostBürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年WilliamJones（英语：

WilliamJones（mathematician））才发表了幂指数概念。

按后来人的观点，JostBürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。

实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，HenryBriggs（英语：

HenryBriggs（mathematician））建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己