1978年普通高等学校招生全国统一考试.数学试题及答案.doc
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1978年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理科考生五,六两题选做一题文科考生五,六两题选做一题,不要求做第七题)
一.(下列各题每题4分,五个题共20分)
1.分解因式:
x2-4xy+4y2-4z2.
解:
原式=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z)
2.已知正方形的边长为,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积
解:
设底面半径为r,则底面周长2πr=
则
3.求函数的定义域
解:
∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.故x≥-1为其定义域
4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值
解:
原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=
5.化简:
二.(本题满分14分)
已知方程kx2+y2=4,其中k为实数对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特征的草图
解:
1)k>0时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,此时又可分为:
①k>1时,长轴在y轴上,半长轴=2,半短轴=;
②k=1时,为半径r=2的圆;
③k<1时,长轴在x轴上,半长轴=,半短轴=2
YYY
k=2Ak=1(0,2)k=1/4
OAX
OBXOX
如图:
2)k=0时,方程为y2=4图形是两条平行于x轴的直线
如图
3)k<0时,方程为
YY
y=2k=-4
A
O
OXBX
y=-2
这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在y轴上如图:
三.(本题满分14分)
(如图)AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点,
求证:
1)CD=CM=CN.2)CD2=AM·BN
M
C
N
AB
D
1)证:
连CA,CB,则∠ACB=900∠ACM=∠ABC∠ACD=∠ABC
∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC
∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN
2)∵CD⊥AB,∠ACD=900
∴CD2=AD·DB
由1)知AM=AD,BN=BD
∴CD2=AM·BN
四.(本题满分12分)
五.(本题满分20分)
已知△ABC的三内角的大小成等差数列,tgAtgC=求角A,B,C的大小又已知顶点C的对边c上的高等于求三角形各边,b,c的长(提示:
必要时可验证)
六.(本题满分20分)
七.(本题满分20分,文科考生不要求作此题)
已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1(m为实数)
1)m是什么数值时,y的极值是0?
2)求证:
不论m是什么数值,函数图象(即抛物线)的顶点都在同一条直线L1上画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论
3)平行于L1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?
求证:
任一条平行于L1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等
解:
用配方法得:
3.设L:
x-y=为任一条平行于L1的直线
与抛物线y=x2+(2m+1)x+m2-1方程联立求解,消去y,得
x2+2mx+m2-1+=0∴(x+m)2=1-
因而当1-≥0即≤1时,直线L与抛物线相交,而>1时,直线L与抛物线不相交
而这与m无关
因此直线L被各抛物线截出的线段都相等
一九七八年副题
1.
(1)分解因式:
x2-2xy+y2+2x-2y-3
解:
原式=(x-y-1)(x-y+3)
(2)求
解:
原式=3/4
(4)已知直圆锥体的底面半径等于1cm,母线的长等于2cm,求它的体积
解:
解:
原式=30
2.已知两数x1,x2满足下列条件:
1)它们的和是等差数列1,3,…的第20项;
2)它们的积是等比数列2,-6,…的前4项和
求根为的方程
略解:
x1+x2=39,x1x2=-40故:
1/x1+1/x2=-39/40
1/x1·1/x2=-1/40
所求方程为:
40x2+39x-1=0.
3.已知:
△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点,求证:
A
1
BECD
证:
因为AD是△ABC的外接圆的切线,所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD
作AE⊥BD于点E,则
A
M
N
α
BEFD
4.(如图)CD是BC的延长线,AB=BC=CA=CD=,DM与AB,AC分别交于M点和N点,且∠BDM=α
求证:
证:
作ME⊥DC于E,由△ABC是等边三角形,在直角△MBE中,
类似地,过N作NF⊥BC于F,在直角△NFC中,可证:
5.设有f(x)=4x4-4px3+4qx2+2p(m+1)x+(m+1)2.(p≠0)求证:
1)如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m+1)=0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方
2)如果f(x)与F(x)=(2x2+x+b)2表示同一个多项式,那么
p2-4q-4(m+1)=0
6.已知:
sinx+bcosx=0.………………………………①
Asin2x+Bcos2x=C.………………………………②
其中,b不同时为0
求证:
2bA+(b2-2)B+(2+b2)C=0
则①可写成cosysinx-sinycosx=0,
∴sin(x-y)=0∴x-y=kπ(k为整数),
∴x=y+kπ
又sin2x=sin2(y+kπ)=sin2y=2sinycosy=
cos2x=cos2y=cos2y-sin2y=
代入②,得
7.已知L为过点P而倾斜角为300的直线,圆C为中心在坐标原点而半径等于1的圆,Q表示顶点在原点而焦点在的抛物线设A为L和C在第三象限的交点,B为C和Q在第四象限的交点
1)写出直线L、圆C和抛物线Q的方程,并作草图
2)写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式
3)设P'、B'依次为从P、B到x轴的垂足求由圆弧AB和直线段BB'、B'P'、P'P、PA所包含的面积
Y
O
X
BQ
LPAC
解:
1)直线L、圆C和抛物线Q的方程为
2)由
Y
P'B'
OX
B
ACQ
LP