数学分析171多元函数微分学之可微性Word文档格式.docx
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注：
1、这里符号亠-专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号
dxcydx
相似，又有差别；
2、定义中，f在点（x）,yo）存在关于x（或y）的偏导数，f至少在
{（X,y）|y=y0,|x-X0|<
$（或{（x,y）|x=X0,|y-y°
|v8}）上必须有定义.
二元函数偏导数的几何意义：
设Po（xo,y°
Z0）是曲面z=f（x,y）上一点，过
P0作平面y=yo与曲面的交线为C：
其中「y=yo是平面上的一条曲线.
（Z=f（x,y）
因此，fx（xo,yo）作为一元函数f（x,yo）在x=x）的导数，就是曲线C在点Po处的切线Tx对于x轴的斜率，即Tx与x轴正向所成倾角的正切tanar
同样的，fy（xo,yo）是平面x=x）曲面Z=f（x,y）的交线^=Xo在点P。
处的
z=f（x,y）
切线T/关于y轴的斜率tan3例2:
求函数f（x,y）=X5+2x2y-y3在点（1,3）关于x和关于y的偏导数.
解法1:
fx（1,3）=df（x,3^|x4=3x2+12xx4=15;
fy（1,3）=f^|y£
=2-3y2|y」=-25.
dy
解法2:
:
/fx（x,y）=3X^+4xy,二fx（1,3）=15;
又fy（x,y）=-3y+2x2,二fx（1,3）=-25.
例3:
求函数z二X（x>
0）的偏导数.
Zx=yxy-1;
zy=xylnx.
例4：
求三元函数u=sin（x+?
-eZ）的偏导数.
Ux=cos（x+^-eZ）;
uy=2ycos（x+y_ez）;
Uz=-eZcos（x+^-eZ）.
三、可微性条件
定理17.1:
（可微的必要条件）若二元函数f在定义域内一点（xo,yo）可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=AAx+BAy+o（p中A=x（x0,y0）,B=$（x0,y0）.即全微分df（X0,y°
）=fx（x0,y0）△x+fy（x）,yo）△y.
或dz=fx（xo,y0）dx+fy（X0,y0）dy.f在D上全微分为df（x,y）=fx（x,y）dx+fy（x,y）dy.
'
l冯x2+v2"
例5:
考察函数f（x,y）=x2在原点的可微性.
0x2y2=0
根据偏导数的定义，fx（0,0）=limfC：
x,0^f（0,0）=0;
同理fy（0,0）=0;
△z-dz二*、△y）-f（O,O）-fx（O,O）Ax-iy（O,O）Ay二丄xy_.
p'
Ax2+Ay2
...啊皂竺=1叫；
x弓2不存在，即△z-dz不是p的高阶无穷小量，
二f在原点不可微.
定理17.2:
（可微的充分条件）若函数z=f（x,y）的偏导数在点（xo,yo）的某邻域上存在，且fx与fy在点（xo,yo）连续，贝S函数f在点（xo,yo）可微.
证：
△z=f（x）+^x、y°
+Ay）-f（xo,yo）
=[f（xo+^x、yo+Ay）-f（xo、yo+Ay）]+[f（xo、yo+Ay）-f（xo,yo）];
即全增量等于两个偏增量的和.对它们分别应用拉格朗日中值定理得：
△z=fx（xo+9i△X、y°
+A『）△x+fy（xo、yo+『）△y,。
<
01、$<
1.（中值公式）
.fx与fy在点（xo、yo）连续，fx（xo+X,yo+△y）=fx（xo、yo）+a、
fy（xo、yo+$△yF^xo’y。
）*3其中当（△x,△y）^（0,0）时，a0,厂o.
二△z=f<
（xo、yo）Ax+fy（xo、yo）Ay+a^x+込y,即卩f在点（xo、yo）可微.
注1:
例2函数fXypx^xH-y3在点（1,3）可微，且df（心=15dx-25dy;
例3函数z=H在D={（x、y）|x>
o、-xvyvu}上可微，且dz=yxy-1dx+xylnxdy.
注2:
偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数
\22122
伽）』…'
跡十7，x+y式0在原点（0,0）可微，但
22
卫x+y=0
fx与fy却在点（0,0）不连续.若z=f（x,y）在点（xo,yo）的偏导数fx,fy连续，则称f在（xo,yo）连续可微.
定理17.3:
（中值公式）设函数f在点（xo,y。
）的某邻域上存在偏导数，若
（x,y）属于该邻域，则存在丰x）+9i（x-x）和T=y°
+02（y-yo）,0<
0i,$<
1,使得
f（x,y）-f（xo,yo）=1X（Eyo）（x-xo）+fy（xo,n（y-y。
1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微如：
函数f（x,y）=x2—y2（圆锥）在原点连续，但在该点不存在偏导数;
2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续,
定义3:
设P是曲面S上一点，T为通过点P的一个平面，曲面S上的动点Q到定点P和到平面T的距离分别为d与h,若当Q在S上以任何方式趋近于P时，恒有h-0,则平面T为曲面S到点P处的切
d
平面，P为切点.
定理17.4:
曲面z=f（x,y）在点P（x）,y0,f（xo,y。
））存在不平行于x轴的切平面T的充要条件是函数f在点（x°
）可微.
［充分性］若函数f在点（Dy。
）可微，由定义知，
△z二z-z=fx（xo,yo）（x-x3）+fy（xo,yo）（y-yo）+o（p）;
p=；
（x-x°
）2（y-y°
）2.
在过P的平面T上任取点（X,YZ）若有Z-z）=fx（xo,yo）（X->
o）+fy（Xo,yo）（Y-y））;
则曲面上任一点Q（x,y,z到这个平面的距离为：
Iz-zo-fx（x°
）（x-xo）-fy（xo,y°
）（y-y。
）|_|：
■（p）|
h=.22=22
Jfx（xo,yo）fy（xo,yo）1fx（Xo,yo）fy（Xo,yo）
又P到Q的距离为d=（x-Xo）2（y-yo）2（z-z°
）2二,•（z-z°
）2>
p.
由o<
h<
h=|:
（p）|1-o,严0,根据定义3知,
dppJi+f：
（xo,y。
）+f；
（x°
yo）
平面T为曲面z=f（x,y）在点P（x）,yo,f（xo,yo））的切平面.
［必要性］若曲面z=f（x,y）在点P（xo,yo,f（xo,yo））存在不平行于x轴的切平面,
且Q（x,y,z是曲面上任意一点，则点Q到这个平面的距离为：
h=|zz°
A"
xo）四yo）|,令厶x=x-x）Ay=y-y）Az=Z-z,（j=<
Ax2+Ay2.
由切平面定义知，当Q充分接近P时，--0,二对于充分接近P的Q有d
h=|Az-A也x-BAy|<
_1即
d1A2B2
2x1A2B2,|△z-A^x-BAy|<
d="
2Jax?
+Ay2*Sz2=—^p?
+^z2<
—（p+|△z|）,又|△z|-|A||△x|-|B||△y|<
|△z-AAx-BAy|<
^（p|△z|）,
11
•-却△z|<
|A||△x|+|B||△y|+2p.
又由凹<
2（|A|3+冋4）+1<
2（|A|+|B|）+1知，J-z|有界，从而
>
2
pppp
1+二<
2（|A|+|B|+1）知，d也有界.
pp
于是，当严o时，有
即△z=A^x|+B△y+o（p），即函数z=f（x,y）在点（x°
yo）可微.
定理17.4说明，若函数f在点（xo,y°
）可微，则曲面z=f（x,y在点
Pg,yo,f（xo,yo））的切平面方程为：
z-ZD=fx（xo,yo）（x-X3）+fy（xo,yo）（y-yo）,
过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.
由切面方程知，法线的方向数为：
士（fx（xo,yo）,fy（xo,yo）,-1），即卩
而且是较p高阶的无穷小量.
例7:
求1.083.96的近似值.
设f（x,y）=xy,令xo=1,y）=4,△x=0.08,△y=-0.04,则
396
1.08.=f（x0+Ax,yo+Ay）~f（1,4）+fx（1,4）Ax+fy（1,4）Ay
=1+4X）.08+0>
（-0.04）=1.32.
例8:
应用公式S』absinC计算某三角形面积，现测得a=12.50,
b=8.30,C=3（?
若测量a,b的误差为士0.01,C的误差为士0.1?
求用
此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.
依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为：
|△a|=0.01,|△b|=0.01,|△C|=0.1?
=葛幺.二S的绝对误差限分别为:
1800°
ZSrSFS
I△SI〜|dS|=石迟a+壬心<
111
=jbsinC||△a|+-|asinC||△b|+|abcosC|~0.13.
又S=2absing25.94,S的相对误差限为：
—~-0-13~0.5%.
2S25.94
习题
1、求下列函数的偏导数：
（1）z=xy;
（2）z=ycosx（3）z=；
⑷x=ln（x?
+y2）;
（5）z=ecy；
v'
x+y
（6）z二arctan乂;
⑺z=xydin（xy）；
（8）u=^+---;
（9）u=（xy）z;
（10）u=xyZ.
xxyz
（1）Zx=2xy;
^=x.
（2）z（=-ysinx;
z=cosx.
（4）zx=22X2；
Zy=22y2x+yx+y
（5）Zx=yexy;
z/=xexy.
sin（xy）2sin（xy）sin（xy）2sin（xy）
（7）
zx=ye+xyecos（xy）;
z=xe+xyecos（xy）.
（8）Ux=-2-l；
5=1-刍
xzxy
（9）ux=yz（xy『1;
uy=xz（xyj-1;
uz=（xy）zln（xy）.
（10）
ux=yzxyd;
uy=zy^-1xyInx;
Uz=yzxyInxlny.
解:
Tf（X,1）=X,fx（x,1）=1.
■122
3、设f（x,y）=ys，n^^，Xy，考察f在原点（0,0）的偏导数.0X2+y2=0
f（0•：
x,0）—f（0,0）0—0
•.叭—=啊3?
=°
，二fx（0,0）=0；
又limfl血0_by（0,0）=l]m0sin不存在，fy（0,0）不存在.
4、证明函数z=x2y2在点（0,0）连续，但偏导数不存在
T（』巳0,0）击2+y2=0=z（0,0,•••Z二Jx2+y2在点（0,0）连续.
即两个极限都不存在，二两个偏导数都不存在.
[122
5、考察函数f（x,y）=xysin厂y,xy"
在点（0,0）的可微性.
0x2+y2=0
但在此点不可微.
i.imf（0x，0）-f（0,0）=i.心=0,i.imf（0,0\y）-f（0,0）=i.im口=0,
0x-0x•—0..y-0.，x
...忸"
—fx（0,0Nx-fy（0,0My不存在，...f在点（0,0）不可微.
导数存在，但偏导数在点（0,0）不连续，而f在点（0,0）可微.
x2+yj0,（x,y尸0,
’（/+y2）sin^^
即爲叫,0）f（x,y）=0=f（0,0）,.f在点（0,0）连续.
当貳心0时，fxXgxsi启-占cos占，
爲％2xsinT7H=0,而（xy酥占cos占不存在'
.（x,yiim^0,0）fx（x,y）不存在，即fx（x,y）在点（0,0）不连续,
=0,二fx（0,0）=0同理fy（0,0）=0.
同理fx（x,y）在点（0,0）不连续.
△f—fx（0,0）Ax-fy（0,0）Ay
32+（3）2亠1
p
isin
J3x）2+3y）2J3x）2+Qy）2
x
wAx）2c：
y）2f0,pf0,二f在点（0,0）可微.
1
但iimf（0F—WO—jm,：
xsin找T°
Ax找二0
8求下列函数在给定点的全微分：
（1）z=（+y4-4x2y2在点（0,0）,（1,1）;
（2）z=2x?
在点（1,0）,（0,1）.
（1）丁乙=4£
-8乂『2,zy=4y3-8x2y在（0,0）和（1,1）都连续，
•••z在（0,0）和（1,1）都可微；
又zx（0,0）=0,駅0,0）=0；
Zc（1,1）=-4,駅1,1）=-4;
二dz|（o,o）=O;
dz|（i,i）=-4（dx+dy）.
22X
VX+y-，22
（2）Vzx=2X-=2y23在（1,0）和（0,1）都连续;
x+y讥x2十y2）3
=「-xy在（i,o）和（o,1）也都连续;
..（x2y2）3
•••z在（1,0）和（0,1）都可微；
又Zx（1,0）=0,矶1,0）=0;
Zc（0,1）=1,歇0,1）=0;
二dz|（1,0）=0;
dz|（0,1）=dx.
9、求下列函数的全微分：
（1）z=ysin（x+y）⑵u=xgz+e-z+y.解:
（1）vz<
=ycos（x+y）,z=sin（x+y）+ycos（x+y在R2上都连续，
•z在R2上可微；
且dz=ycos（x+y）dx+[sin（x+y）+ycos（x+y）]dy.
（2）vux=eyz,Uy二xzgz+1,uz=xyeyz-e"
z在R3上都连续，
•u在R3上可微；
且dz=eyzdx+（xz^z+1）dy+（xye<
z-e_z）dz.
10、求曲面z=arctan》在点（1,1,n）的切平面方程和法线方程.
x4
vz在（1,1）处可微，•切平面存在.又2x（1,1）=^^,zx（1,1）=j,•切平面方程为-押-“+扣-“-㈡寸冋，即x-y+2z=n；
n
z-—
法线方程：
2=口=4，即2（1-x）=2（y-1）=n-z.
11-14
"
11、求曲面3x2+y2-z2=27在点（3,1,1）的切平面与法线方程解：
3x2+y2-z2=27两边对x微分得：
6x-2zz<
=0,「.z<
=6xZif=9;
2z-
3x2+y2-z2=27两边对y微分得：
2y-2zzy=0,「.Zy=|y|x：
^!
=1;
•••切平面方程为9（x-3）+（y-1）-（z-1）=0即9x+y-z-27=0;
x-3=y-1=z-1，即x-3=9（y-1）=9（1-z）.
91-1
12、在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0,
并写出该切平面方程和法线方程.
设该点为（xo,yo,xoyo）,•/Zx（x）,yo）=yo；
Z/（Xo,yo）=x；
二切平面方程为y°
（x-x3）+xo（y-yo）-（z-xyo）=o,即卩yox+x）y-z-x）yo=o；
由切平面平行于平面x+3y+z+9=o知,yo=-1;
xo=-3.
二该点切平面方程为-x-3y-z-3=Q即x+3y+z+3=o.
x-Xo=y-yo_z-Xoyo得x+3=y+1=z-3
yoXo-1-1-3-1
•••该切平面的法线方程为：
3（x+3）=y+1=3（z-3）.
13、计算近似值：
（1）1.oo2>
2.oo32X3.oo43;
（2）sin29?
tan46?
.
（1）设u二x/z3;
xo=1,yo=2,z=3;
△x=o.oo2,△y=o.oo3,△z=o.oo4;
则u（1,2,3）=1o8;
4（1,2,3）=108;
q（1,2,3）=1o8;
it（1,2,3）=1o8.
由u（1.002Z003,3.004）=u（1,2,3）+4（1,2,3）Ax+Uy（1,2,3）^y+Uz（1,2,3）^z,得1.002>
2.0032X3.0043〜108（1+0.002+0.003+0.004）=108.972.
⑵设z=sinxtany;
沪討0=4;
△x=-孟△尸益；
则
#nn、1nn、.nn■■-3nn、n2n-
z（6,;
）=2;
zx（6,;
）=tan;
cosn=^;
uz（6,;
）=sinnsecr1;
•••sin29?
〜1-三』+丄〜0.5023.
22180180
14、设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm,高h=40cm.若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm，求此圆台体积变化的近似值.
圆台体积为：
VRrgJhX+R叶i2）,
3
二▼«
30,20,40）=扌（2>
40>
30+40>
20）=32305，
Vr（30,20,40）=n（2X40>
20+40X30）=2800n,
33
冗/cc22、1900冗
Vh（30,20,40）=-（30+30^0+20）=一,
33
当△R=0.3Ar=0.4Ah=0.2时，
3200n2800n1900n3、
△V~>
（3+>
01+>
C2=820介2576（cm3）.
333‘
•此圆台体积约增加了2576cm3.
15、证明：
若二元函数f在点P（x0,yo）的某邻域U（P上的偏导函数fx与fy有界，则f在U（P）上连续.
Tfx,fy在U（P）有界,设此邻域为U（P；
E，则
存在M>
0,使|fx|<
M,|fy|<
M在U（P;
b）内成立.又
|△f|=|f（x+△x,y+Ay）-f（x,y）|=|fx（x+9i△x,y+A『）△x+fy（x,y+&
?
△y）△y|
M|△x|+M|△y|,•?
&
0,?
S=min{©
—},使
12（M1）'
当|△x|<
51△y|<
3时，就有|f（x+△x,y+^y）-f（x,y）|<
—
•••f在U（P;
》上连续.
16、设二元函数f在区域D二[a,b]>
[c,d]上连续.
（1）若在intD内有fx为，试问f在D上有何特性？
⑵若在intD内有fx=fy^0,f又怎样？
⑶在
（1）的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略？
长方形区域
可否改为任意区域？
（1）f（x,y）=©
（y）.即函数值与x无关.理由如下：
对intD内任意两点（Xi,y）,（x2,y），由中值定理知：
f（X2,y）-f（xi,y）=fx（x+&
X2-xi）,y）（x^xi）=0,即f（X2,y）=f（xi,y）,
由（xi,y）,（X2,y）的任意性知,f（x,y）=林y）.
（2）若在intD内有fx=fy^0，则f（x,y）二常数，即函数值与x,y无关.证：
对intD内任意两点（X1,yd,（X2,y2）,由中值定理知存在
丰X1+0i（X2-X1）,刊什02（y2-y1），使得
f（X2,y2）-f（X1,y1）=1X（Ey2）（x^X1）+fx（X1,n（y才y"
：
fx二fyMD,f（X2,y2）耳（X1,y1）.
由（X1,yd,（X2,y2）的任意性知，f（x,y）=常数.
（3）
（1）中关于f在D上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.
例如，在矩形区域D=[—号,|1>
[0,2]上二元函数f（x,y）=0，D中其它部分
在intD内,fx书，但不连续,f（1,1）=1;
f（-1,1）=0,
显然f与x有关，结论不成立.
（1）中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.
r3
例如，设匸{（x,y）|x=O,y》0},D二R-I,则二元函数f（x,y）=0，；
中其它部分
在D上连续，且fx毛，但f（1,1）=1;
f（-1,1>
0,
即f与x有关，结论不成立.
x+y.
17、试证在原点（0,0）的充分小邻域内，有arctan—〜
1+xy
设f（u,v）=arctan—v,uo=0,vo=0Au=xAv=y,贝卩
1+uv
arcta~f（Uo,vo）+fu（uo,vo）Au+fv（uo,vo）Av,其中
X+y
f（uo,vo）=arctan0=0,1U
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