高一函数的图像《教》Word文件下载.docx

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”）

（1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝|f（x）|与y＝f（|x|）的图象相同．（　×

　）

（2）函数y＝af（x）与y＝f（ax）（a>

0且a≠1）的图象相同．（　×

（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称．（　×

（4）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（　√　）

（5）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（　×

题型一　作函数的图象

例1　作出下列函数的图象．

（1）y＝（

）|x|；

（2）y＝|log2（x＋1）|；

（3）y＝

；

（4）y＝x2－2|x|－1.

解　

（1）作出y＝（

）x的图象，保留y＝（

）x的图象中x≥0的部分，加上y＝（

）x的图象中x>

0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（

）|x|的图象，如图①实线部分．

（2）将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图②.

（3）∵y＝

＝2＋

，故函数图象可由y＝

的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.

（4）∵y＝

且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图象，再根据对称性作出（－∞，0）上的图象，如图④.

思维升华　图象变换法作函数的图象

（1）熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

的函数．

（2）若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．

　作出下列函数的图象．

（1）y＝|x－2|·

（x＋1）；

（2）y＝

.

解　

（1）当x≥2，即x－2≥0时，y＝（x－2）（x＋1）＝x2－x－2＝（x－

）2－

当x<

2，即x－2<

0时，y＝－（x－2）（x＋1）＝－x2＋x＋2＝－（x－

）2＋

.∴y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．

（2）y＝

＝1－

，该函数图象可由函数y＝－

向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．

题型二　识图与辨图

例2　

（1）（2016·

邯郸模拟）函数f（x）＝2x－tanx在（－

，

）上的图象大致为（　　）

（2）已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝－f（2－x）的图象为（　　）

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）f（x）＝2x－tanx是奇函数，其图象关于原点成中心对称，又f（

）＝

－tan

＝

－1>

0，故选D.

（2）方法一　由y＝f（x）的图象知，

f（x）＝

当x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，所以f（2－x）＝

故y＝－f（2－x）＝

图象应为B.

方法二　当x＝0时，－f（2－x）＝－f

（2）＝－1；

当x＝1时，－f（2－x）＝－f

（1）＝－1.

观察各选项，可知应选B.思维升华　函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

（1）（2016·

武汉模拟）函数y＝

的图象大致为（　　）

（2）（2015·

课标全国Ⅱ）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）y＝

＝1＋

为奇函数且x＝0时函数无意义，可排除C、D，又在（－∞，0），（0，＋∞）上为减函数，故选A.

（2）当点P沿着边BC运动，即0≤x≤

时，在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tanx，

在Rt△PAB中，PA＝

则f（x）＝PA＋PB＝

＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；

当点P与点C重合，即x＝

时，

由上得f

＋tan

＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝

时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f

＝PA＋PB＝

＋

＝2

，知f

＜f

，所以排除D.故选B.

题型三　函数图象的应用

命题点1　研究函数的性质

例3　

（1）已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

（2）若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）图象的对称轴方程是（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝2D．x＝－2

答案　

（1）C　

（2）A解析　

（1）将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝

画出函数f（x）的图象，如图，

观察图象可知，

函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减．

（2）因为f（2x＋1）是偶函数，

所以f（2x＋1）＝f（－2x＋1）⇒f（x）＝f（2－x），所以f（x）图象的对称轴为直线x＝1.

命题点2　解不等式

例4　函数f（x）是定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）的奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，图象如图所示，若x·

[f（x）－f（－x）]<

0，则x的取值范围为________．

答案　（－3,0）∪（0,3）解析　∵f（x）为奇函数，

∴x·

[f（x）－f（－x）]＝2x·

f（x）<

0，结合图象知x的范围为（－3,0）∪（0,3）．

命题点3　求解函数零点问题

例5　（2016·

山东）已知函数f（x）＝

其中m>

0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．

答案　（3，＋∞）

解析　如图，

当x≤m时，f（x）＝|x|；

当x>

m时，f（x）＝x2－2mx＋4m，在（m，＋∞）上为增函数，若存在实数b，使方程f（x）＝b有三个不同的根，则m2－2m·

m＋4m<

|m|.∵m>

0，∴m2－3m>

0，解得m>

3.

思维升华　

（1）利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．

（2）利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f（x）＝g（x）的根就是函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标；

不等式f（x）<

g（x）的解集是函数f（x）的图象位于g（x）图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．

（1）（2015·

课标全国Ⅰ）设函数y＝f（x）的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f（－2）＋f（－4）＝1，则a等于（　　）

A．－1B．1

C．2D．4

（2）已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx.若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A．（0，

）B．（

，1）

C．（1,2）D．（2，＋∞）

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）设f（x）上任意一点为（x，y），关于y＝－x的对称点为（－y，－x），将（－y，－x）代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2（－x），由f（－2）＋f（－4）＝1，得a－1＋a－2＝1，解得a＝2.

（2）先作出函数f（x）＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g（x）＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g（x）＝kx过A点时斜率为

，故f（x）＝g（x）有两个不相等的实根时，k的取值范围为（

，1）．

4．高考中的函数图象及应用问题

考点分析高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提.

一、已知函数解析式确定函数图象

典例1　（2015·

浙江）函数f（x）＝

cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）

解析　∵f（x）＝（x－

）cosx（－π≤x≤π且x≠0），

∴f（－x）＝－f（x），

∴f（x）为奇函数，排除A，B；

当x＝π时，f（x）＜0，排除C.故选D.

答案　D

二、函数图象的变换问题

典例2　若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图象大致为（　　）

解析　由y＝f（x）的图象得到y＝－f（x＋1）的图象，需要先将y＝f（x）的图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f（x＋1）的图象，根据上述步骤可知C正确．

答案　C

三、函数图象的应用

典例3　

（1）已知f（x）＝

则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是________．

北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A．{x|－1＜x≤0}B．{x|－1≤x≤1}

C．{x|－1＜x≤1}D．{x|－1＜x≤2}

（3）（2016·

吉林三校联考）若函数f（x）＝

的图象如图所示，则m的取值范围为（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,2）

C．（0,2）D．（1,2）

解析　

（1）由y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝0，

得f（x）＝1或f（x）＝

①若f（x）＝1，则

或

解得x＝10或x＝

或x＝0.

②若f（x）＝

，则

解得x＝

或x＝

综上，共有5个零点．

（2）令g（x）＝y＝log2（x＋1），作出函数g（x）的图象如图所示.

由

得

∴结合图象知不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1<

x≤1}．

（3）根据图象可知，函数图象过原点，即f（0）＝0，∴m≠0.

0时，f（x）>

0，∴2－m>

0，即m<

2，函数f（x）在[－1,1]上是单调递增的，

∴f′（x）>

0在[－1,1]上恒成立，

f′（x）＝

>

0，

∵m－2<

0，∴只需要x2－m<

∴（x2－m）max<

0，∴m>

1，

综上所述，1<

m<

2，故选D.

答案　

（1）5　

（2）C　（3）D

三、课堂练习

1．（教材改编）函数f（x）＝x＋

的图象关于（　　）

A．y轴对称B．x轴对称

C．原点对称D．直线y＝x对称

解析　函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）且f（－x）＝－f（x），即函数f（x）为奇函数，故选C.

2．（2016·

全国乙卷）函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为（　　）

解析　f

（2）＝8－e2>

8－2.82>

0，排除A；

f

（2）＝8－e2<

8－2.72<

1，排除B；

在x>

0时，f（x）＝2x2－ex，f′（x）＝4x－ex，当x∈

时，f′（x）<

×

4－e0＝0，因此f（x）在

上单调递减，排除C，故选D.

3．（2016·

岳阳模拟）已知函数

则y＝f（2－x）的大致图象是（　　）

答案　A

解析　∵函数

则

故函数f（2－x）是以x＝1为界的分段函数，只有A符合，故选A.

4．函数y＝f（x）在x∈[－2,2]上的图象如图所示，则当x∈[－2,2]时，f（x）＋f（－x）＝________.

答案　0

解析　由图象的对称性知f（x）在[－2,2]上为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0.

5．已知函数f（x）＝

且关于x的方程f（x）－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．

答案　（0,1]解析　当x≤0时，0＜2x≤1，要使方程f（x）－a＝0有两个实根，即函数y＝f（x）与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a≤1.

四、课后练习

1．（2016·

北京海淀区模拟）函数f（x）＝2x＋sinx的部分图象可能是（　　）

解析　方法一　∵f（－x）＝－2x－sinx＝－f（x），∴f（x）为奇函数，排除B、C；

又0<

x<

时，f（x）>

0，排除D，故选A.

方法二　∵f′（x）＝2＋cosx>

0，∴f（x）为增函数，故选A.

2．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝ex＋1B．f（x）＝ex－1

C．f（x）＝e－x＋1D．f（x）＝e－x－1

解析　与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f（x）的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f（x）的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.

3．已知函数f（x）＝

对任意x1，x2∈R，若0<

|x1|<

|x2|，则下列不等式成立的是（　　）

A．f（x1）＋f（x2）<

0B．f（x1）＋f（x2）>

C．f（x1）－f（x2）>

0D．f（x1）－f（x2）<

解析　函数f（x）的图象如图所示，

且f（－x）＝f（x），从而函数f（x）是偶函数且在[0，＋∞）上是增函数．

|x2|，∴f（x2）>

f（x1），即f（x1）－f（x2）<

0.

4．函数y＝

的图象与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析　如图，两个函数图象都关于点（1,0）成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.

5．已知函数f（x）＝e|lnx|，则函数y＝f（x＋1）的大致图象为（　　）

解析　当x≥1时，f（x）＝elnx＝x，其图象为一条直线；

当0<

1时，f（x）＝e－lnx＝

.函数y＝f（x＋1）的图象为函数y＝f（x）的图象向左平移1个单位长度后得到的．故选D.

6．对于函数f（x）＝lg（|x－2|＋1），给出如下三个命题：

①f（x＋2）是偶函数；

②f（x）在区间（－∞，2）上是减函数，在区间（2，＋∞）上是增函数；

③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

答案　B

解析　因为函数f（x）＝lg（|x－2|＋1），所以函数f（x＋2）＝lg（|x|＋1）是偶函数；

因为y＝lgx

y＝lg（x＋1）

y＝lg（|x|＋1）

y＝lg（|x－2|＋1），如图，

可知f（x）在（－∞，2）上是减函数，在（2，＋∞）上是增函数；

图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．

7．设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上是减函数，且图象过点（1,0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为__________________________．

答案　{x|x≤0或1<

x≤2}

解析　y＝f（x＋1）向右平移1个单位得到y＝f（x）的图象，由已知可得f（x）的图象的对称轴为x＝1，过定点（2,0），且函数在（－∞，1）上递减，在（1，＋∞）上递增，则f（x）的大致图象如图所示．

不等式（x－1）f（x）≤0可化为

由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<

x≤2}．

8．设f（x）＝|lg（x－1）|，若0<

a<

b且f（a）＝f（b），则ab的取值范围是________．

答案　（4，＋∞）

解析　画出函数f（x）＝|lg（x－1）|的图象如图所示．

由f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b>

2

（由于a<

b），所以ab>

4.

9.如图，定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________________．

答案　f（x）＝

解析　当－1≤x≤0时，设函数f（x）的解析式为y＝kx＋b，

∴y＝x＋1.

0时，设函数f（x）的解析式为y＝a（x－2）2－1，∵图象过点（4,0），∴0＝a（4－2）2－1，解得a＝

∴y＝

（x－2）2－1.综上，f（x）＝

*10.已知函数

g（x）＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，则实数k的取值范围为________________．

答案　（－∞，

]∪[

，＋∞）解析　对任意的x1，x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）成立，即f（x）max≤g（x）min，

观察

的图象可知，

当x＝

时，函数f（x）max＝

因为g（x）＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－（x－1）|＝|k－1|，

所以g（x）min＝|k－1|，所以|k－1|≥

，解得k≤

或k≥

.故实数k的取值范围是（－∞，

，＋∞）．

11．已知函数f（x）＝2x，x∈R.

（1）当m取何值时，方程|f（x）－2|＝m有一个解？

两个解？

（2）若不等式[f（x）]2＋f（x）－m>

0在R上恒成立，求m的取值范围．

解　

（1）令F（x）＝|f（x）－2|＝|2x－2|，G（x）＝m，

画出F（x）的图象如图所示，

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F（x）与G（x）的图象只有一个交点，原方程有一个解；

2时，函数F（x）与G（x）的图象有两个交点，原方程有两个解．

（2）令f（x）＝t（t>

0），H（t）＝t2＋t，因为H（t）＝（t＋

在区间（0，＋∞）上是增函数，

所以H（t）>

H（0）＝0.因此要使t2＋t>

m在区间（0，＋∞）上恒成立，

应有m≤0，即所求m的取值范围为（－∞，0]．